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Cómo demostrar que π (pi) es trascendente

Introducción

El número \pi, constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, \pi, es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:

  • Un número real \alpha es algebraico si existe un polinomio p(x) con coeficientes enteros tal que p( \alpha)=0, es decir, \alpha es raíz de p(x).
  • Un número real \alpha es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que \alpha sea raíz de él.

Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que \pi sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.

El número \pi es trascendente

Vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema:

El número \pi es trascendente sobre \mathbb{Q}.

Demostración

En primer lugar tenemos que si \pi fuera raíz de un polinomio con coeficientes en \mathbb{Q}, entonces el número i \pi también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio p_1 (x). Suponiéndolo de grado n sus raíces serán \alpha _1=i \pi, \alpha _2, \ldots , \alpha _n.

Por otra parte sabemos que e^{i \pi}+1=0. Entonces:

(e^{\alpha _1}+1) (e^{\alpha _2}+1 \ldots (e^{\alpha _n}+1)=0 (1)

Ahora, dado que los \alpha _i son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, p_1(x)=0, las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos p_2 (x)=0, las sumas de cada tres raíces igual, digamos p_3 (x)=0, y así sucesivamente. Entonces la ecuación:

p(x)=p_1(x) p_2(x) \ldots p_n(x)=0

es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los \alpha _i. Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que p(x)=c x^r+ c_1 x^{r-1}+ \ldots + c_r, es decir, un polinomio de grado r con coeficientes en \mathbb{Q} que además cumple que c_r \ne 0, ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de e que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando \beta _1, \ldots , \beta _r a estas raíces obtenemos que:

e^{\beta _1}+ \ldots + e^{\beta _r}+e^0+ \ldots + e^0=0

Esto es:

\displaystyle{\sum_{i=1}^r \beta _i +k=0}

donde k es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún 1).

Definimos ahora la siguiente función:

f(x)=c^s x^{p-1} \cfrac{\lbrack p(x) \rbrack ^p}{(p-1)!}

donde s=rp-1 y p se determinará más adelante.

Tomando ahora la función F(x) así:

F(x)=f(x)+f^\prime (x)+ \ldots + f^{s+p)} (x)

tenemos que

\cfrac{d}{dx} \lbrack e^{-x} F(x) \rbrack =-e^{-x} f(x)

de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:

e^{-x} F(x)- F(0)=- \displaystyle{\int_0^x e^{-y} f(y) dy}

Multiplicamos la igualdad anterior por e^x y tomamos y=\lambda x obtenemos:

F(x)-e^x F(0)=-x \displaystyle{\int_0^1 e^{(1- \lambda )x} f(\lambda x) d \lambda}

Consideremos ahora x en el rango de los \beta _i y sumemos en i. Como \sum e^{\beta _i} +k=0 llegamos a lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{i=1}^r F(\beta _i)+k F(0)=-\sum_{i=1}^r \beta _i \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta _i} f(\lambda \beta _i) d \lambda}

Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de p el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.

Por definición de f se tiene que \displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=0} para 0 < t < p. Cada derivada de orden p o mayor tiene un factor p y un factor c^s y f^{t)} (\beta _i) es un polinomio en \beta _i como mucho de grado s. La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre c^s esa suma es un número entero. Entonces, al tener a p como factor se tiene lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=p k_t}, con t=p, \ldots , p+s

Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más k F(0). VEamos ahora qué es F(0).

Se tiene lo siguiente:

\begin{matrix} f^{t)} (0)=0, \; t=0, \ldots , p-2 \\ f^{p-1)} (0)=c^s c_r^p \; (c_r \ne 0) \\ f^{t)} (0)= p (entero), \; t=p, p+1, \ldots \end{matrix}

Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de p+c^s c_r^p k. Este término no es divisible por p tomando este primo p >k,c,c_r. Por tanto, para valores suficientemente grandes de p se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando p tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que \pi era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:

El número \pi es trascendente

Aplicación

Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de \pi es la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Fuente:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Noviembre de 2009 | 8 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Pi

Poesía

Examinemos una mañana de niebla la red que se ha construido durante la noche. Los hilos pegajosos están cargados de gotitas y, combándose bajo su carga, se han convertido en multitud de catenarias dispuestas en orden exquisito. Si el sol atraviesa la niebla, el conjunto se ilumina con fuegos iridiscentes y se convierte en un racimo de diamantes.

El número e ha alcanzado su gloria.

Jean Henry Fabre

INFINITUM. Citas matemáticas

Muy poético el párrafo de Fabre, ¿verdad?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de Noviembre de 2009 | 3 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas

Sin raíces racionales

Os dejo el problema de esta semana:

Demostrar que para n > 1 la ecuación

\cfrac{x^n}{n!} + \cfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \ldots + \cfrac{x^2}{2!} + x + 1 =0

no tiene raíces racionales.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Noviembre de 2009 | 17 Comentarios
Categorías: Juegos

Cómo demostrar que el número e es trascendente

Introducción

El número e, base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:

  • Un número real \alpha es algebraico si existe un polinomio p(x) con coeficientes enteros tal que p( \alpha)=0, es decir, \alpha es una raíz de p(x).
  • Un número real \alpha es trascendente si no es algebraico, es decir, si \alpha no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número e entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Noviembre de 2009 | 7 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Otras constantes

El postulado de Bertrand

Introducción

En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:

Postulado de Bertrand

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p entre n y 2n, es decir:

\forall n > 1, \exists p \mbox{ primo tal que } n < p < 2n

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Noviembre de 2009 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos

Osados

¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar? ¿No es el azar la antítesis de toda ley?

Joseph Bertrand

MacTutor

¿Estáis de acuerdo?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Noviembre de 2009 | 33 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas

Factores primos

Os dejo el problema de esta semana:

Demuestra que el número 19^{1976}+76^{1976}:

  1. Es divisible por el primo de Fermat F_4=2^{2^4}+1, y
  2. Es divisible por al menos otros cuatro números primos distintos aparte de F_4.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Noviembre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Juegos

Joseph Bertrand: un postulado para la eternidad

Joseph BertrandJoseph Louis François Bertrand fue un matemático francés del siglo XIX que nació en París el 11 de marzo de 1822 y murió en la misma ciudad el 5 de abril de 1900. Sus trabajos se centraron principalmente en teoría de números, geometría diferencial, teoría de la probabilidad, economía y termodinámica.

Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.

Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.

Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:

  • Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
  • Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
  • Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
  • Notas sobre teoría de probabilidad.

Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:

  • Traité d’arithmetique
  • Traité élémentaire d’algèbre

dirigidos a alumnos de secundaria, y:

  • Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
  • Thermodynamique
  • Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité

para alumnos de niveles superiores.

Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:

Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?

En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.

Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:

Joseph BertrandPero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n.

Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.

En realidad esta es la versión débil del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo n número natural mayor que 3 existe un número primo p tal que n < p < 2n-2, aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.

Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…

Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Noviembre de 2009 | 12 Comentarios
Categorías: Matemáticos, Números primos

Maldita inactividad

Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto.

Leonardo da Vinci

INFINITUM. Citas matemáticas

Eso es lo que poco a poco nos está pasando a más de uno (dios, con lo que yo era en los últimos cursos de carrera…). Aunque, no lo puedo negar, este blog está consiguiendo que ese proceso de destrucción sea más lento. ¿Qué pensáis? ¿Alguno se ve reflejado en esta frase?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Noviembre de 2009 | 18 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas

Uno de congruencias

Ya que nuestro artículo de ayer lunes está relacionado con congruencias aquí os traigo como problema para esta semana uno también relacionado con ellas. Ahí va el enunciado:

Determina todos los enteros positivos n \ge 2 que satisfacen que para cualesquiera enteros positivos a,b primos relativos con n se cumple lo siguiente:

a \equiv b (mod \; n) si y sólo si ab \equiv 1 (mod \; n).

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Noviembre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Juegos

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