Introducción
El número
, constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número,
, es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:
- Un número real
es algebraico si existe un polinomio
con coeficientes enteros tal que
, es decir,
es raíz de
.
- Un número real
es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que
sea raíz de él.
Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que
sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.
El número
es trascendente
Vamos a demostrar el siguiente resultado:
Teorema:
El número
es trascendente sobre
.
Demostración
En primer lugar tenemos que si
fuera raíz de un polinomio con coeficientes en
, entonces el número
también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio
. Suponiéndolo de grado
sus raíces serán
.
Por otra parte sabemos que
. Entonces:
(1)
Ahora, dado que los
son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales,
, las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos
, las sumas de cada tres raíces igual, digamos
, y así sucesivamente. Entonces la ecuación:

es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los
. Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que
, es decir, un polinomio de grado
con coeficientes en
que además cumple que
, ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de
que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando
a estas raíces obtenemos que:

Esto es:

donde
es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún
).
Definimos ahora la siguiente función:

donde
y
se determinará más adelante.
Tomando ahora la función
así:

tenemos que

de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:

Multiplicamos la igualdad anterior por
y tomamos
obtenemos:

Consideremos ahora
en el rango de los
y sumemos en
. Como
llegamos a lo siguiente:

Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de
el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.
Por definición de
se tiene que
para
. Cada derivada de orden
o mayor tiene un factor
y un factor
y
es un polinomio en
como mucho de grado
. La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre
esa suma es un número entero. Entonces, al tener a
como factor se tiene lo siguiente:
, con 
Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más
. VEamos ahora qué es
.
Se tiene lo siguiente:

Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de
. Este término no es divisible por
tomando este primo
. Por tanto, para valores suficientemente grandes de
se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando
tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que
era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:
El número
es trascendente
Aplicación
Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de
es la imposibilidad de cuadrar un círculo.
Fuente:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Noviembre de 2009 | 8 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Pi
Examinemos una mañana de niebla la red que se ha construido durante la noche. Los hilos pegajosos están cargados de gotitas y, combándose bajo su carga, se han convertido en multitud de catenarias dispuestas en orden exquisito. Si el sol atraviesa la niebla, el conjunto se ilumina con fuegos iridiscentes y se convierte en un racimo de diamantes.
El número e ha alcanzado su gloria.
Jean Henry Fabre
INFINITUM. Citas matemáticas
Muy poético el párrafo de Fabre, ¿verdad?
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de Noviembre de 2009 | 3 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas
Os dejo el problema de esta semana:
Demostrar que para
la ecuación

no tiene raíces racionales.
A por él.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Noviembre de 2009 | 17 Comentarios
Categorías: Juegos
Introducción
El número
, base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:
- Un número real
es algebraico si existe un polinomio
con coeficientes enteros tal que
, es decir,
es una raíz de
.
- Un número real
es trascendente si no es algebraico, es decir, si
no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.
Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número
entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Noviembre de 2009 | 7 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Otras constantes
Introducción
En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:
Postulado de Bertrand
Dado
un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo
entre
y
, es decir:

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Noviembre de 2009 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos
¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar? ¿No es el azar la antítesis de toda ley?
Joseph Bertrand
MacTutor
¿Estáis de acuerdo?
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Noviembre de 2009 | 33 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas
Os dejo el problema de esta semana:
Demuestra que el número
:
- Es divisible por el primo de Fermat
, y
- Es divisible por al menos otros cuatro números primos distintos aparte de
.
A por él.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Noviembre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Juegos
Joseph Louis François Bertrand fue un matemático francés del siglo XIX que nació en París el 11 de marzo de 1822 y murió en la misma ciudad el 5 de abril de 1900. Sus trabajos se centraron principalmente en teoría de números, geometría diferencial, teoría de la probabilidad, economía y termodinámica.
Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.
Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.
Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:
- Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
- Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
- Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
- Notas sobre teoría de probabilidad.
Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:
- Traité d’arithmetique
- Traité élémentaire d’algèbre
dirigidos a alumnos de secundaria, y:
- Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
- Thermodynamique
- Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité
para alumnos de niveles superiores.
Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:
Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?
En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.
Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:
Pero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:
Dado
un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo
tal que
.
Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.
En realidad esta es la versión débil del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo
número natural mayor que 3 existe un número primo
tal que
, aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.
Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…
Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Noviembre de 2009 | 12 Comentarios
Categorías: Matemáticos, Números primos
Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto.
Leonardo da Vinci
INFINITUM. Citas matemáticas
Eso es lo que poco a poco nos está pasando a más de uno (dios, con lo que yo era en los últimos cursos de carrera…). Aunque, no lo puedo negar, este blog está consiguiendo que ese proceso de destrucción sea más lento. ¿Qué pensáis? ¿Alguno se ve reflejado en esta frase?
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Noviembre de 2009 | 18 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas
Ya que nuestro artículo de ayer lunes está relacionado con congruencias aquí os traigo como problema para esta semana uno también relacionado con ellas. Ahí va el enunciado:
Determina todos los enteros positivos
que satisfacen que para cualesquiera enteros positivos
primos relativos con
se cumple lo siguiente:
si y sólo si
.
Suerte.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Noviembre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Juegos