Porque todo tiende a infinito
Ah, reconozco al león por su garra.
(Refiriéndose a Newton.)
Johann Bernoulli
Como comentamos el otro día en el post sobre la cicloide, esta curva ha dado lugar a muchas historias y disputas entre matemático. La frase de este post fue el final de una de ellas.
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Aquí os dejo el enunciado del problema de esta semana:
Si
y
son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:
Suerte.
Este artículo es mi aportación a la segunda edición del Carnaval de matemáticas organizada por Juan Pablo.
El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz.
Siento este mundo de las curvas tan extenso podemos encontrar muchas con características muy interesante. La cicloide es, sin lugar a dudas, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este artículo.
La universidad es una de las mejores etapas en la vida de un estudiante, al menos bajo mi punto de vista. En esta época de la vida académica uno se adentra en un mundo totalmente nuevo, en el que vive multitud de historias y en el que conoce a muchísima gente.
Al menos ese fue mi caso. Tuve la suerte de encontrarme con muy buenas personas en mi etapa universitaria en Granada, personas que me ayudaron mucho en aquellos momentos y con las que compartí experiencias inolvidables. Por desgracia siempre queda gente con la que no llegas a relacionarte tanto, aunque no haya una razón para ello. Gente que comparte el día a día contigo pero con la que no tienes tanto contacto.
Aunque hace ya unos cuantos años que terminó ese período sigo recordando a muchos de mis compañeros, tanto a los más cercanos (evidente) como a los que no lo fueron tanto. Isa pertenece, por desgracia, a este último grupo. Y digo por desgracia porque siempre me pareció una magnífica persona, siempre con una sonrisa en la boca, siempre dispuesta a echar una mano. Y, adentrándome ya en la parte académica, porque siempre fue una estudiante brillante. Y cuando digo brillante quiero decir tremendamente brillante. Lola, una de sus amigas en aquella época (no sé si antes de comenzar la carrera ya os conocíais), puede confirmar que Isa estuvo siempre por encima de todos los que compartimos clase con ella. Por este motivo no me extraña que haya llegado hasta donde ha llegado. Y por ser como es me alegro una barbaridad.
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No es posible que existan números carentes de interés, pues, de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés.
Martin Gardner
Interesante razonamiento del señor Gardner, que además viene al pelo después de ver la interesante propiedad del número 26 que os mostré hace un par de días.
A la vista del título del post está bastante claro la temática del problema de esta semana, ¿verdad? Ahí va:
Calcula el máximo común divisor siguiente:
Suerte.
Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:
El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado (
) y un cubo (
).
Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.
En este artículo vais a poder ver esta demostración.
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Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:
Todos los números contenidos de una sola forma en
son primos o dobles de primos donde
e
son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma
gozan de la misma propiedad dando a la letra
valores convenientes.
Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como , para
e
primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.
Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de
tales que una expresión del tipo
cumple la misma propiedad. A estos valores de
es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).
Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
es la única representación del número 9 como . Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que
. Por tanto deberíamos decir que
es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como
es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).
Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:
En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.
Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.
Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.
Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue . Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
es . ¿Alguien se atreve?
Fuentes:
En compañía de amigos, los escritores pueden discutir sobre sus libros, los economistas sobre el estado de la economía, los abogados sus últimos pleitos y los hombres de negocios sus últimas adquisiciones, pero los matemáticos no pueden hablar sobre sus matemáticas en absoluto. Y cuanto más profundo es su trabajo, menos comprensible es.
Alfred Adler
Estoy de acuerdo con Adler. Para un matemático es muy complicado explicarle a alguien que no esté muy metido en el asunto qué es lo que hace. Seguro que algunos de vosotros os habéis encontrado en una situación así alguna vez. Los comentarios son la mejor manera de contar vuestras experiencias.
Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Encontrar todos los valores de
para los cuales las curvas
y
son tangentes entre si.
A por él.
Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.
Introducción
Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones [...]