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Ensaya’10: V Certamen “Teresa Pinillos” de ensayos de divulgación científica y humanística

Al igual que hace un par de años me informan desde Nexociencia sobre la nueva edición del Certamen de ensayos de divulgación científica y humanística Teresa Pinillos. Os dejo la información que me han enviado así como el cartel anunciador:

  • Con el objetivo de impulsar la comprensión pública de la ciencia, la Asociación Nexociencia organiza el V Certamen Teresa Pinillos de ensayos de divulgación científica y humanística, Ensaya’10, cuya convocatoria hemos abierto recientemente.

    El certamen Teresa Pinillos está abierto a todos los campos del conocimiento, desde las ciencias experimentales hasta las sociales y humanas. Los trabajos, que tendrán una extensión de entre 1500 y 2500 palabras, pueden versar sobre diversos temas científicos, desde aquellos de orientación divulgativa hasta otros centrados en el análisis crítico de la situación actual de la ciencia. Un jurado formado por profesionales reconocidos de la divulgación científica y
    el mundo académico evaluará los ensayos de acuerdo a su capacidad divulgativa, calidad literaria e interés social y otorgará un primer premio de 2500 euros y un segundo de 1000, así como varios premios especiales a los mejores ensayos en determinados campos del conocimiento.

    Los ensayos deberán ser enviados por correo electrónico a participantes.ensaya@nexociencia.org antes del próximo 15 de junio. Para obtener más información sobre el certamen, así como las bases completas de esta quinta edición, se puede consultar la página Web www.unirioja.es/ensaya o ponerse en contacto con Nexociencia a través del correo electrónico nexociencia (arroba) nexociencia (punto) org.

Así que ya sabéis, si queréis participar en el certamen poneos en contacto con ello mediante alguno de los cauces anteriormente citados. Y si alguien lo hace me encantaría que nos comentara con qué tipo de ensayo ha participado.

Gran placer

Un científico merecedor de tal nombre, sobre todo un matemático, experimenta en su trabajo la misma impresión que un artista; su placer es tan grande y de la misma naturaleza.

Jules Henri Poincaré

INFINITUM. Citas matemáticas

Aunque mucha gente no lo entienda, el matemático experimenta una magnífica sensación realizando su trabajo. Como dice Poincaré, un gran placer; y, como dice Isa, un subidón.

¿Qué pensáis?

Sumas de fracciones y 2010

Os dejo el problema de esta semana, en este caso relacionado con el año en el que estamos:

Demostrar que para cualesquiera números reales positivos x_1, \ldots,x_{2010} se verifica que

\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_4} + \ldots + \frac{x_{2009}}{x_{2010}} + \frac{x_{2010}}{x_1} \geq 2010

Suerte.

La línea de Nagel

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Breve reseña biográfica de Nagel

Christian Heinrich von Nagel

Christian Heinrich von Nagel

Christian Heinrich von Nagel, geómetra alemán, nació el 28 de febrero de 1803 en Stuttgart, Alemania, y murió el 27 de octubre de 1882 en la también alemana Ulm.

En 1821 Nagel comenzó a estudiar Teología, terminando sus estudios en 1825. Pero durante esos cuatro años sus intereses también se dirigieron hacia las matemáticas y la física.

Tanto fue así que llegó a ser profesor de matemáticas de secundaria en la ciudad alemana de Tübingen. Pero la cosa no quedó ahí. En 1826 Nagel se doctora gracias a su trabajo De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis (Sobre triángulos rectángulos construibles desde una ecuación algebraica). Más tarde, en 1830, Nagel se traslada a Ulm donde trabaja en el Gymnasium (escuela de secundaria preparatoria para estudios superiores) de esa localidad.

Su principal contribución a las matemáticas se encuadra en la geometría del triángulo. En este artículo vamos a ver, entre otras cosas, dos construcciones relacionadas con el triángulo que llevan su nombre: el punto de Nagel y la línea de Nagel.

Introducción

Como la distancia del baricentro G a un vértice es el doble de la distancia de G al punto medio del lado opuesto, la homotecia con centro G y razón -1/2 transforma el triangulo \triangle A_0B_0C_0, antimedial o anticomplementario de \triangle ABC, en el triángulo \triangle ABC, y éste en su triángulo medial o complementario \triangle A_1B_1C_1.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

En geometría del triángulo se llama a veces complemento de un punto P a su imagen P_1 en la homotecia \mathcal{H}_{G,-1/2} y anticomplemento de P a su imagen P_0 en la homotecia \mathcal{H}_{G,-2}

El punto G, un punto P, su complemento P_1, y su anticomplemento P_0 están alineados, y situados de forma que P_1 es el punto medio de PP_0 y P_0G = 2PG.

Si en la figura colocamos el punto P en el circuncentro O de \triangle ABC, el punto P_0 es el circuncentro del triángulo antimedial (que es el ortocentro de \triangle ABC), el punto P_1 es el circuncentro del triángulo medial (es decir el centro del círculo de 9 puntos), y la linea PP_0 es la linea de Euler del triángulo.

En cambio si colocamos el punto P en el incentro I de \triangle ABC, el punto P_0 es el incentro del triángulo antimedial, el punto P_1 el incentro del triángulo medial, y la linea PP_0 es la linea que en Wolfram MathWorld han decidido llamar un tanto arbitrariamente línea de Nagel, por el hecho de que el incentro del triángulo antimedial es el punto de Nagel M, como demostraremos a continuación.

Por otro lado el punto de Spieker S es por definición el incentro del triángulo medial, y de las observaciones anteriores se concluye que el incentro I, el baricentro G, el punto de Spieker S y el punto de Nagel M están alineados, S es el punto medio del segmento IM y GM = 2IG.

El punto de Nagel


Llamamos ceviana de Nagel a la línea, AE en la figura, que une un vértice con el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta al vértice con el lado opuesto.

El punto A, al ser la intersección de una tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita opuesta a A con la linea que une los centros de estas circunferencias es centro de una homotecia que transforma la circunferencia exinscrita en la circunferencia inscrita. Esa homotecia lleva el radio I_AE al radio IF, paralelo a I_AE y por tanto perpendicular a BC.

Por tanto la ceviana AE pasa por el punto F, diametralmente opuesto en el círculo inscrito al punto de tangencia de ese círculo con el lado opuesto a A.

Como vimos en el post sobre los círculos tritangentes CD=EB y por tanto si A_1 es el punto medio de BC, DA_1 = A_1E.

Como también DI=IF, resulta que las líneas A_1I y AE son paralelas.

Y como la homotecia \mathcal{H}_{G,-2} , que transforma el triángulo en su antimedial, transforma la linea A_1I en una línea que pasa por A paralela a A_1I, es decir en la ceviana de Nagel $AE$, resulta que las cevianas de Nagel concurren en un punto, el punto de Nagel M y ese punto es el incentro del triángulo antimedial.

Del post sobre círculos tritangentes concluimos también que las cevianas de Nagel bisecan el perímetro del triángulo, es decir las dos partes del perímetro del triángulo situadas a uno y otro lado de cada ceviana de Nagel tienen igual longitud.

El punto de Spieker

El punto de Spieker es el centro del circulo inscrito en el triangulo medial, o circulo de Spieker, y tiene algunas propiedades bastante interesantes.


Si en la figura A_1 es el punto medio de BC y prolongamos el lado CA hasta E de forma que AE=AB, y F es el punto medio de CE, BE y A_1F son paralelas y A_1B + BA + AF = A_1C+CF.

Camo BE es perpendicular a AH, y esta línea es la bisectriz exterior de \angle BAC, A_1F es paralela a la bisectriz interior de \angle BAC, y por tanto es una bisectriz del triángulo medial.

Por tanto las lineas que unen el punto medio de cada lado con el punto de Spieker, es decir las bisectrices del triángulo medial, bisecan el perímetro del triángulo, como las cevianas de Nagel.

Si FK=FA, los segmentos  FK, KC, CA_1 son respectivamente iguales a los segmentos FA, AB, BA_1, y los puntos medios de esos segmentos iguales están situados a la misma distancia de la recta A_1F.

Entonces el centro de gravedad de una masa distribuida uniformemente por el perímetro del triángulo está en la linea A_1F. Como también está en las otras bisectrices del triángulo medial, resulta que el punto de Spieker es el centro de gravedad del perímetro del triángulo.

El punto medio de BC es equidistante de los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas opuestas a B y C con el lado BC, y por tanto está en el eje radical de esas circunferencias.

Como el eje radical es perpendicular a la línea que une los centros, que es la bisectriz exterior del ángulo en A, resulta que el eje radical de las dos circunferencias exinscritas es la bisectriz del triángulo medial, y por tanto el punto de Spieker es el centro radical de las tres circunferencias exinscritas, es decir las tangentes desde el punto de Spieker a las circunferencias exinscritas tienen la misma longitud.

Las circunferencias de Jenkins de \triangle ABC son las tres circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos.

Las tres circunferencias de Jenkins se cortan en el punto de Spieker, puesto que la inversión respecto al círculo ortogonal a las tres circunferencias exinscritas, cuyo centro es el punto de Spieker, transforma los lados del triángulo en las circunferencias de Jenkins.

Y además si el punto de Spieker está sobre la circunferencia inscrita en \triangle ABC, las tres circunferencias de Jenkins son tangentes a una recta perpendicular a la línea de Nagel, y en otro caso el centro J de la circunferencia tangente a las tres circunferencias de Jenkins está en la línea de Nagel, porque esa circunferencia es inversa de la circunferencia inscrita.

Por cierto este último punto J no está, me parece, en la ETC. ¿Será nuevo? Según Geogebra su primera coordenada trilineal para (6,9,13) es 166.495..y no se encuentra en la página de búsqueda de la ETC.

La siguiente figura intenta ilustrar las propiedades anteriores.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.




Fuentes utilizadas para la reseña biográfica:

Celebrando infinitamente el día de Pi

Unos cuantos decimales de Pi

Unos cuantos decimales de Pi

Como muchos de vosotros sabréis hoy, dia 14 de marzo, es el día de Pi. por si alguien no sabe por qué, la razón es que en el mundo anglosajón las fechas se escribe de la forma Mes/Día/Año. De esta forma el día de hoy sería el 3/14.

Todos los años escribo algo relacionado con Pi este día. Y este año no va a ser menos. Vamos a celebrar el día de Pi de forma infinita.

¿De forma infinita?

Vamos a celebrar este día de Pi de forma infinita mostrando diversas sumas y productos infinitos donde aparece este maravilloso número. Vamos con ellas:

  • Según parece, fue François Viète quien dio la primera expresión numérica exacta en la que aparece Pi. Concretamente fue este producto infinito:

    \cfrac{2}{\pi}=\sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \dots

  • (Leer el resto del post)

El león

Ah, reconozco al león por su garra.

(Refiriéndose a Newton.)

Johann Bernoulli

INFINITUM. Citas matemáticas

Como comentamos el otro día en el post sobre la cicloide, esta curva ha dado lugar a muchas historias y disputas entre matemático. La frase de este post fue el final de una de ellas.
(Leer el resto del post)

Ecuación con factoriales

Aquí os dejo el enunciado del problema de esta semana:

Si a, b y c son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:

a! b!=a! + b! +c!

Suerte.

La cicloide: ¿cuál es el camino más corto?

Este artículo es mi aportación a la segunda edición del Carnaval de matemáticas organizada por Juan Pablo.

Introducción

El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz.

Siento este mundo de las curvas tan extenso podemos encontrar muchas con características muy interesante. La cicloide es, sin lugar a dudas, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este artículo.

¿Qué es la cicloide?

(Leer el resto del post)

Isa Fer, de la UGR al ICM

La universidad es una de las mejores etapas en la vida de un estudiante, al menos bajo mi punto de vista. En esta época de la vida académica uno se adentra en un mundo totalmente nuevo, en el que vive multitud de historias y en el que conoce a muchísima gente.

Al menos ese fue mi caso. Tuve la suerte de encontrarme con muy buenas personas en mi etapa universitaria en Granada, personas que me ayudaron mucho en aquellos momentos y con las que compartí experiencias inolvidables. Por desgracia siempre queda gente con la que no llegas a relacionarte tanto, aunque no haya una razón para ello. Gente que comparte el día a día contigo pero con la que no tienes tanto contacto.

Aunque hace ya unos cuantos años que terminó ese período sigo recordando a muchos de mis compañeros, tanto a los más cercanos (evidente) como a los que no lo fueron tanto. Isa pertenece, por desgracia, a este último grupo. Y digo por desgracia porque siempre me pareció una magnífica persona, siempre con una sonrisa en la boca, siempre dispuesta a echar una mano. Y, adentrándome ya en la parte académica, porque siempre fue una estudiante brillante. Y cuando digo brillante quiero decir tremendamente brillante. Lola, una de sus amigas en aquella época (no sé si antes de comenzar la carrera ya os conocíais), puede confirmar que Isa estuvo siempre por encima de todos los que compartimos clase con ella. Por este motivo no me extraña que haya llegado hasta donde ha llegado. Y por ser como es me alegro una barbaridad.
(Leer el resto del post)

Todos los números son interesantes

No es posible que existan números carentes de interés, pues, de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés.

Martin Gardner

INFINITUM. Citas matemáticas

Interesante razonamiento del señor Gardner, que además viene al pelo después de ver la interesante propiedad del número 26 que os mostré hace un par de días.

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