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¿Sabía que…

…existe una partición muy curiosa de los números no negativos en dos conjuntos en relación con la representación de un número como suma de dos elementos de cada uno de ellos?

Ayer mismo nuestro admirado fede me envió una demostración sobre un hecho muy curioso y he decidido publicarla. La cuestión es la siguiente:

Sea X el subconjunto de los enteros no-negativos que tienen un numero par de unos en binario y sea Y el de los que tienen un número impar de unos en binario, es decir:

X = \{ 0, 3, 5, 6, 9, 10, \ldots \} \quad Y = \{ 1, 2, 4, 7, 8, 11, \ldots \}

Entonces se cumple la siguiente propiedad:

El número de representaciones de cualquier no-negativo N como suma de dos elementos distintos de X es el mismo que el número de representaciones de N como suma de dos elementos distintos de Y.

Además \{ X,Y \} es la única partición de los no-negativos que tiene esa propiedad.

Vamos a ver la demostración de este hecho.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Diciembre de 2009 | 14 Comentarios
Categorías: ¿Sabía que ...?

Dando la vuelta a la tortilla

Respecto al ordenador he oído una y mil veces decir: “les guste o no a los matemáticos, el ordenador está ahí”. Yo no estoy de acuerdo con esta afirmación. Nos gusta el ordenador y lo usamos. Más, vuelvo la frase por pasiva y respondo que “les guste o no el ordenador, las matemáticas están ahí”.

B. Eckman

INFINITUM. Citas matemáticas

Ya vimos hace un tiempo algo relacionado con esto. ¿Qué os parece la frase?

Por cierto, ¿alguien sabe quién es B. Eckman?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Diciembre de 2009 | 15 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas

Calculemos la curiosa integral

El problema de esta semana es una ¿simple? integral:

Calcula la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^1 [10^x] dx}

siendo [a], como siempre, la parte entera de a (esto es, [4,12]=4).

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Diciembre de 2009 | 18 Comentarios
Categorías: Juegos

Fracciones continuas y combinatoria

El grueso de este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Una fracción continua es una expresión del tipo:

x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}

donde a_0 es un número entero y los demás a_i son enteros positivos.

La representación de un número real de este tipo en fracción continua tiene varias propiedades que hacen que dicha representación sea más interesante que la representación decimal habitual:

  • La representación en fracción continua de un número es finita si y solo si ese número es racional.
  • La representación en fracción continua de un racional simple es generalmente corta.
  • La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1.
  • Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua [1, 1, 1, \ldots ] representa al número áureo y [1, 2, 2, 2, \ldots ] a \sqrt{2}.
  • El truncado de la representación en fracción continua de un número x da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la mejor posible.

Todo número real puede representarse como fracción continua, pero en este artículo vamos a centrarnos en la representación continua de ciertos números racionales.

Fracción continua de un número racional

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Diciembre de 2009 | 7 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Curiosidades

Las aportaciones de Euler a la notación matemática

Leonhard EulerComo hemos comentado alguna vez Leonhard Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia en lo que a publicaciones se refiere. Por ello sus aportaciones se extienden por todas las ramas de las matemáticas (hasta creó alguna), tanto pura como aplicada.

Lo que puede que no todo el mundo conozca es la multitud de aportaciones que dejó Euler a la notación matemática. Ningún otro matemático ha contribuido a ello tanto como el gran Leonhard. Euler popularizó algunas notaciones y creó otras que se siguen utilizando a día de hoy. Vamos con ellas:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Diciembre de 2009 | 7 Comentarios
Categorías: Historia

Productivo y original

Multiplicó sus producciones más allá de lo que hubiera osado alcanzar fuerzas humanas y, sin embargo, fue original en cada una de ellas.

(Refiriéndose a Euler)

Jean Antoine-Nicolas Caritat, marqués de Condorcet

INFINITUM. Citas matemáticas

No lo podría haber expresado mejor, señor Condorcet.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de Diciembre de 2009 | 6 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas

Manifiesto: En defensa de los derechos fundamentales en internet

Llego tarde, sí, el día era ayer jueves, pero ciertas cuestiones me impidieron publicarlo. Pero creo que debo contribuir a la distribución de este manifiesto.

Manifiesto: En defensa de los derechos fundamentales en internet

Ante la inclusión en el Anteproyecto de Ley de Economía sostenible de modificaciones legislativas que afectan al libre ejercicio de las libertades de expresión, información y el derecho de acceso a la cultura a través de Internet, los periodistas, bloggers, usuarios, profesionales y creadores de internet manifestamos nuestra firme oposición al proyecto, y declaramos que:

  • 1.- Los derechos de autor no pueden situarse por encima de los derechos fundamentales de los ciudadanos,como el derecho a la privacidad, a la seguridad, a la presunción de inocencia, a la tutela judicial efectiva y a la libertad de expresión.
    2.- La suspensión de derechos fundamentales es y debe seguir siendo competencia exclusiva del poder judicial. Ni un cierre sin sentencia. Este anteproyecto, en contra de lo establecido en el artículo 20.5 de la Constitución, pone en manos de un órgano no judicial -un organismo dependiente del ministerio de Cultura-, la potestad de impedir a los ciudadanos españoles el acceso a cualquier página web.
    3.- La nueva legislación creará inseguridad jurídica en todo el sector tecnológico español, perjudicando uno de los pocos campos de desarrollo y futuro de nuestra economía, entorpeciendo la creación de empresas, introduciendo trabas a la libre competencia y ralentizando su proyección internacional.
    4.- La nueva legislación propuesta amenaza a los nuevos creadores y entorpece la creación cultural. Con Internet y los sucesivos avances tecnológicos se ha democratizado extraordinariamente la creación y emisión de contenidos de todo tipo, que ya no provienen prevalentemente de las industrias culturales tradicionales, sino de multitud de fuentes diferentes.
    5.- Los autores, como todos los trabajadores, tienen derecho a vivir de su trabajo con nuevas ideas creativas, modelos de negocio y actividades asociadas a sus creaciones. Intentar sostener con cambios legislativos a una industria obsoleta que no sabe adaptarse a este nuevo entorno no es ni justo ni realista. Si su modelo de negocio se basaba en el control de las copias de las obras y en Internet no es posible sin vulnerar derechos fundamentales, deberían buscar otro modelo.
    6.- Consideramos que las industrias culturales necesitan para sobrevivir alternativas modernas, eficaces, creíbles y asequibles y que se adecuen a los nuevos usos sociales, en lugar de limitaciones tan desproporcionadas como ineficaces para el fin que dicen perseguir.
    7.- Internet debe funcionar de forma libre y sin interferencias políticas auspiciadas por sectores que pretenden perpetuar obsoletos modelos de negocio e imposibilitar que el saber humano siga siendo libre.
    8.- Exigimos que el Gobierno garantice por ley la neutralidad de la Red, en España ante cualquier presión que pueda producirse, como marco para el desarrollo de una economía sostenible y realista de cara al futuro.
    9.- Proponemos una verdadera reforma del derecho de propiedad intelectual orientada a su fin: devolver a la sociedad el conocimiento, promover el dominio público y limitar los abusos de las entidades gestoras.
    10.- En democracia las leyes y sus modificaciones deben aprobarse tras el oportuno debate público y habiendo consultado previamente a todas las partes implicadas. No es de recibo que se realicen cambios legislativos que afectan a derechos fundamentales en una ley no orgánica y que versa sobre otra materia.

    Autor: gaussianos | Publicado el 4 de Diciembre de 2009 | 18 Comentarios
    Categorías: Noticias

Ni Newton ni Leibniz

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Introducción

La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.

Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de Diciembre de 2009 | 17 Comentarios
Categorías: Cálculo, Historia

Hágase la luz

Mi experiencia al hacer matemáticas es la de entrar en una mansión a oscuras. Entras en la primera habitación y está a oscuras, completamente a oscuras. Tropiezas con los muebles, te tambaleas. Poco a poco aprendes dónde está cada mueble. Y finalmente, tras unos seis meses, encuentras el interruptor y das a la luz. De repente todo se ilumina y puedes ver dónde estás exactamente. Entonces entras en la siguiente habitación a oscuras…

Andrew Wiles

INFINITUM. Citas matemáticas

Preciosa, a la vez que acertada, descripción de lo que son las matemáticas para gran parte de la gente (excluimos de aquí a genios tipo Ramanujan, que vivieron toda su vida con la luz encendida). ¿Estáis de acuerdo?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de Diciembre de 2009 | 11 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas

Coseno algebraico

Siguiendo con la temática de los números algebraicos y trascendentes de la semana pasada os dejo el siguiente problema:

Demostrar que cos(x) es algebraico si x es un múltiplo racional de \pi.

Ánimo. A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de Diciembre de 2009 | 13 Comentarios
Categorías: Juegos

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