Llego tarde, sí, el día era ayer jueves, pero ciertas cuestiones me impidieron publicarlo. Pero creo que debo contribuir a la distribución de este manifiesto.
Manifiesto: En defensa de los derechos fundamentales en internet
Ante la inclusión en el Anteproyecto de Ley de Economía sostenible de modificaciones legislativas que afectan al libre ejercicio de las libertades de expresión, información y el derecho de acceso a la cultura a través de Internet, los periodistas, bloggers, usuarios, profesionales y creadores de internet manifestamos nuestra firme oposición al proyecto, y declaramos que:
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Introducción
La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.
Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de Diciembre de 2009 | 17 Comentarios
Categorías: Cálculo, Historia
Mi experiencia al hacer matemáticas es la de entrar en una mansión a oscuras. Entras en la primera habitación y está a oscuras, completamente a oscuras. Tropiezas con los muebles, te tambaleas. Poco a poco aprendes dónde está cada mueble. Y finalmente, tras unos seis meses, encuentras el interruptor y das a la luz. De repente todo se ilumina y puedes ver dónde estás exactamente. Entonces entras en la siguiente habitación a oscuras…
Andrew Wiles
INFINITUM. Citas matemáticas
Preciosa, a la vez que acertada, descripción de lo que son las matemáticas para gran parte de la gente (excluimos de aquí a genios tipo Ramanujan, que vivieron toda su vida con la luz encendida). ¿Estáis de acuerdo?
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de Diciembre de 2009 | 11 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas
Siguiendo con la temática de los números algebraicos y trascendentes de la semana pasada os dejo el siguiente problema:
Demostrar que )
es algebraico si 
es un múltiplo racional de 
.
Ánimo. A por él.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de Diciembre de 2009 | 13 Comentarios
Categorías: Juegos
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Introducción
Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados:
El juego en cuestión consiste en lo siguiente:
Vosotros tomáis uno de los tres dados y después yo tomo uno de los dos que quedan. A continuación tiráis vuestro dado y yo el mío. Gana la tirada quien saque mayor puntuación.
Juego sencillo y además elegís primero. La pregunta es:
¿Qué dado escogeríais para tener mayor probabilidad de ganar el juego a la larga, es decir, después de un número grande de tiradas?
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de Noviembre de 2009 | 13 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Estadística
Introducción
El número , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, , es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:
- Un número real
es algebraico si existe un polinomio )
con coeficientes enteros tal que =0)
, es decir, es raíz de .
- Un número real es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que sea raíz de él.
Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.
El número es trascendente
Vamos a demostrar el siguiente resultado:
Teorema:
El número es trascendente sobre 
.
Demostración
En primer lugar tenemos que si fuera raíz de un polinomio con coeficientes en , entonces el número 
también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio )
. Suponiéndolo de grado 
sus raíces serán 
.
Por otra parte sabemos que 
. Entonces:
 (e^{\alpha _2}+1 \ldots (e^{\alpha _n}+1)=0)
(1)
Ahora, dado que los 
son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, =0)
, las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos =0)
, las sumas de cada tres raíces igual, digamos =0)
, y así sucesivamente. Entonces la ecuación:
=p_1(x) p_2(x) \ldots p_n(x)=0)
es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los . Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que =c x^r+ c_1 x^{r-1}+ \ldots + c_r)
, es decir, un polinomio de grado 
con coeficientes en que además cumple que 
, ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de 
que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando 
a estas raíces obtenemos que:
Esto es:
donde 
es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún 
).
Definimos ahora la siguiente función:
=c^s x^{p-1} \cfrac{\lbrack p(x) \rbrack ^p}{(p-1)!})
donde 
y 
se determinará más adelante.
Tomando ahora la función )
así:
=f(x)+f^\prime (x)+ \ldots + f^{s+p)} (x))
tenemos que
 \rbrack =-e^{-x} f(x))
de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:
- F(0)=- \displaystyle{\int_0^x e^{-y} f(y) dy})
Multiplicamos la igualdad anterior por 
y tomamos 
obtenemos:
-e^x F(0)=-x \displaystyle{\int_0^1 e^{(1- \lambda )x} f(\lambda x) d \lambda})
Consideremos ahora en el rango de los 
y sumemos en 
. Como 
llegamos a lo siguiente:
+k F(0)=-\sum_{i=1}^r \beta _i \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta _i} f(\lambda \beta _i) d \lambda})
Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.
Por definición de 
se tiene que } (\beta _i)=0})
para 
. Cada derivada de orden o mayor tiene un factor y un factor 
y } (\beta _i))
es un polinomio en como mucho de grado 
. La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre esa suma es un número entero. Entonces, al tener a como factor se tiene lo siguiente:
} (\beta _i)=p k_t})
, con 
Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más )
. VEamos ahora qué es )
.
Se tiene lo siguiente:
} (0)=0, \; t=0, \ldots , p-2 \\ f^{p-1)} (0)=c^s c_r^p \; (c_r \ne 0) \\ f^{t)} (0)= p (entero), \; t=p, p+1, \ldots \end{matrix})
Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de 
. Este término no es divisible por tomando este primo 
. Por tanto, para valores suficientemente grandes de se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:
El número es trascendente
Aplicación
Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de es la imposibilidad de cuadrar un círculo.
Fuente:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Noviembre de 2009 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Pi
Examinemos una mañana de niebla la red que se ha construido durante la noche. Los hilos pegajosos están cargados de gotitas y, combándose bajo su carga, se han convertido en multitud de catenarias dispuestas en orden exquisito. Si el sol atraviesa la niebla, el conjunto se ilumina con fuegos iridiscentes y se convierte en un racimo de diamantes.
El número e ha alcanzado su gloria.
Jean Henry Fabre
INFINITUM. Citas matemáticas
Muy poético el párrafo de Fabre, ¿verdad?
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de Noviembre de 2009 | 4 Comentarios
Categorías: Citas matemáticas
Os dejo el problema de esta semana:
Demostrar que para 
la ecuación
!} + \ldots + \cfrac{x^2}{2!} + x + 1 =0)
no tiene raíces racionales.
A por él.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Noviembre de 2009 | 19 Comentarios
Categorías: Juegos
Introducción
El número , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:
- Un número real es algebraico si existe un polinomio con coeficientes enteros tal que , es decir, es una raíz de .
- Un número real es trascendente si no es algebraico, es decir, si no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.
Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Noviembre de 2009 | 12 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Otras constantes
Introducción
En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:
Postulado de Bertrand
Dado un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo entre y 
, es decir:
En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Noviembre de 2009 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos
