¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N?

Una pelota, tal y como la conocemos, es una figura (que podemos considerar como) esférica en tres dimensiones. Cualquier figura de este tipo cumple que su volumen depende de su radio. De hecho este volumen no es para nada desconocido, tiene una fórmula bien sabida por todos desde nuestra etapa escolar. Si llamamos R al radio de la esfera en cuestión, el volumen de esta pelota en dimensión 3 es:

V=\cfrac{4}{3} \; \pi R^3

Si tomamos la pelota con radio igual a 1, el volumen será entonces el siguiente:

V=\cfrac{4}{3} \; \pi \approx 4,18879

¿Qué magnitud tiene este resultado? Pues en principio depende de la unidad de medida del radio: metros, centímetros, kilómetros…Pero bueno, este detalle no es el que más nos interesa para este artículo. Lo que nos interesa saber es que esta pelota se denomina bola unidad en \mathbb{R}^3.

Bien, ¿y cómo es la bola unidad en dimensión 1? ?Y en dimensión 2? ¿Y en dimensiones mayores? Y puestos a preguntar, ¿cómo son sus respectivos volúmenes? ¿Cómo cambian según cambia la dimensión? Vamos a intentar responder a esta preguntas.

Volumen de la bola unidad en \mathbb{R}^n

Para empezar vamos a ver qué es la bola unidad:

La bola unidad en \mathbb{R}^n es el conjunto de puntos (x_1, \ldots ,x_n) tales que:

x_1^2+ \ldots + x_n^2 \le 1

Vamos a ver exactamente qué es la bola unidad en las tres dimensiones que somos capaces de ver/imaginar:

  • Dimensión 1: La bola unidad es el conjunto de puntos x tales que x^2 \le 1, es decir, el intervalo [-1,1].
  • Dimensión 2: En este caso la bola unidad es el conjunto de puntos (x,y) tales que x^2+y^2 \le 1. Estos puntos representan la circunferencia de centro (0,0) y radio 1 junto con su parte interna, esto es, el círculo de centro (0,0) y radio 1:

    Círculo unidad

  • Dimensión 3: Aquí la bola unidad es el conjunto de puntos (x,y,z) que cumplen que x^2+y^2+z^2 \le 1, o lo que es lo mismo la esfera (maciza) de centro (0,0,0) y radio 1:

    Esfera unidad (maciza)

Bien, ahora la historia sería calcular el volumen de cada una de ellas, pero claro, hay que interpretar bien la historia. En realidad, lo que conocemos coloquialmente como volumen sólo es aplicable a dimensión 3. En dimensión 1 el volumen sería la longitud y en dimensión 2 sería el área. Llamando V(n) al volumen de la bola unidad en dimensión n, obtenemos los siguientes resultados:

  • El volumen 1-dimensional de la bola unidad de dimensión 1 es V(1)=2 (la longitud del intervalo).
  • El volumen 2-dimensional de la bola unidad de dimensión 2 es V(2)=\pi (el área del círculo).
  • El volumen 3-dimensional de la bola unidad de dimensión 3 es V(3)=\frac{4}{3} \; \pi \approx 4,18879 (el volumen que calculamos al principio de esta entrada).

Parece que el volumen va aumentando conforme aumenta la dimensión, hecho bastante evidente por otra parte. Si seguimos calculando el volumen de la bola unidad para dimensiones mayores llegamos a los siguientes valores aproximados:

  • Para N=4, V(4) \approx 4,9348.
  • Para N=5, V(5) \approx 5,26379.
  • Para N=6, V(6) \approx 5,16771

¡Un momento! Para N=6 el valor aproximado del volumen es menor que para N=5…¿No habíamos dicho que el volumen aumenta conforme aumenta la dimensión? Pues en realidad no es así.

Mediante cálculo en varias variables se puede encontrar una expresión que nos calcula el volumen de la bola unidad N-dimensional en función de N. Es la siguiente:

V(N)=\cfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}

siendo \Gamma la función Gamma.

Tomemos esta fórmula como una función real de variable real. ¿Cómo se comporta esta función para valores grandes de N? Pues…de manera sorprendente, dada nuestra intuición acerca del comportamiento del volumen de la bola unidad N-dimensional. Os dejo una gráfica de la función V(x) para valores de x entre 1 y 30:

Gráfica de V(x)

¡¡El volumen de la bola unidad N-dimensional tiende a cero cuando N tiende a infinito!! Es decir, para valores grandes de N, el volumen N-dimensional de la bola unidad en dicha dimensión es muy muy pequeño. De hecho la funcion V(x) es creciente hasta el punto x \approx 5,25695, y a partir de ahí decrece.Teniendo en cuenta que uno imagina que conforme la dimensión es mayor la bola unidad es cada vez más grande, este resultado choca con nuestra intuición. Y más aún si tenemos en cuenta que la bola unidad N-dimensional contiene a todas las bolas unidad de dimensión menor que N.

¿Por qué entonces el volumen es tan pequeño para dimensiones grandes? Para responder a esta pregunta tenemos que tener en cuenta que en cada caso hablamos de volumen N-dimensional, algo así como la cantidad de puntos de \mathbb{R}^N que pertenecen a la bola unidad de dimensión N. Teniendo en cuenta que el hecho de que más de dos de las coordenadas de un punto sean mayores que \textstyle{\frac{1}{\sqrt{2}}} implica que el punto está fuera de la bola unidad, es más o menos claro que conforme aumentamos el número de coordenadas del punto (es decir, aumentamos la dimensión) será cada vez más complicado encontrar puntos con una o ninguna coordenada mayor que dicho número. Vamos, que la probabilidad de encontrar puntos así será cada vez más pequeña, con lo que el volumen también será cada vez menor, acercándose a cero cuando la dimensión tiende a infinito.

Que curiosas, a la par que interesantes, son las dimensiones superiores…


Fuente principal:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

22 Comentarios

  1. ¡¡¡¡¡Wow!!!! Las dimensiones altas no son nada fáciles de imaginar, pero son fascinantes.

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  2. También es curioso (creo y si lo he hecho bien) es que, según crecen las dimensiones, un perímetro cada vez mayor, “encierra” un volúmen cada vez menor llegando en la dimensión infinita a que “un perímetro infinito encierra un volúmen nulo”.

    ——————————————————————
    NOTA:

    Por simplicidad lo haré con “un cubo encierra una esfera”, pero supongo que se puede hacer con un “n-caedro” (ej. un dodecaedro).

    La esfera unitaria puede ser encerrada en un cubo de lado 2.
    En una dimensión n el número de aristas viene dado por las combinaciones que se obtienen de dejar fijas n-1 dimensiones (a 0 o a 1) en cada vértice de orígen y destino variando únicamente la dimensión pendiente.

    Arista
    ( 1, 0, 1, …, 0, 0, 0, 1 ) – ( 1, 0, 1, …, 1, 0, 0, 1 )

    Así, el número de aristas de longitud 2 del hipercubo de dimensión n son

    A(n)=n2^{n-1}

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  3. Ten en cuenta que, con esa fórmula, estás comparando el volumen de la bola de dimensión N con el “cubo” de dimensión N. Al subir al dimensión, a partir de 5, la bola ocupa cada vez menos porcentaje de volumen del correspondiente cubo. Es esa relación la que tiende a cero.

    Se ve más fácil si conservas el radio R en las fórmulas.

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  4. En parte sí y en parte no, de ahí que dijera “supongo que se puede hacer con…”. Aunque tienes razón que hice mal en tomar el cubo.

    En lugar de mi malogrado cubo, usemos una arandela (un círculo, vamos), en tal caso, el perímetro del círculo que encierra la hiperesfera se mantiene constante, mientras que el volúmen se reduce para n>5.

    Si a cada nueva dimensión, añadimos una arandela (ej. siempre perpendicular a todas las anteriores), obtenemos el mismo resultado que al que quería llegar con el cubo.

    La explicación es que la longitud siempre es de dimensión 1, mientras que el volúmen es de dimensión n. (Pero no deja de ser curioso).

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  5. Antes de leer el post imaginaba una tendencia creciente hasta que realmente te paras a pensarlo. ¡Muy interesante!

    Si te paras a pensarlo, cuanto mas dimensiones existan menores serán el tamaño de las coordenadas particulares de cada eje (x, y z, t…). Exactamente, para N dimensiones: x={1 \over \sqrt[2] {N}}

    No se si esto tendrá que ver pero presumo que si.

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  6. Como bien comentan acá http://math.stackexchange.com/questions/15656/volumes-of-n-balls-what-is-so-special-about-n-5 no tiene mucho sentido preguntarse si “el volumen aumenta (o no) conforme aumenta la dimensión” porque no tiene sentido comparar “volumenes” (incluso haciendo la salvedad de que son “hipervolúmenes”) en dimensiones diferentes. Es como preguntar qué es más grande, si una superficie de un metro cuadrado o un volumen de un centímetro cúbico.

    Lo qué sí tiene sentido es preguntarse por la razón entre el volumen de la esfera y el volumen del cubo unitario en N dimensiones -y ahí sí tenemos ese número y ese gráfico.

    Pero lo mas lógico -más intuitivo- sería comparar con el volumen del cubo que lo contiene. Y entonces sí tenemos un hecho matemático con sentido, y sería la misma función que pones, pero con \pi/4 en lugar de \pi. Peeero: aquí la paradoja se pierde. Porque desaparece el máximo y la función ahora es estrictamente decreciente. Por ejemplo, se ve que la esfera cubre peor el cubo que la contiene de lo que la circuferencia cubre su cuadrado. Y tambien la hiperesfera de -digamos- dimension 20 cubre mucho peor a su hipercubo.

    http://goo.gl/69vjR

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  7. hernan, eres un aguafiestas :P. La cuestión no es que sea una paradoja, digamos, al uso, sino que cuando uno lo escucha va contra su propia intuición, aunque luego tenga cierto sentido. Por otra parte, interesante tu comentario sobre el volumen de la esfera y el del cubo que la contiene.

    lucagali, muy interesante tu trabajo. Si alguien se ha quedado con la duda de por qué el volumen de la bola unidad n-dimensional es ése, que le eche un ojo a este trabajo.

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  8. Pepitozamora, sí, en cierto modo por ahí puede ir la historia. Digamos que cuanto mayor es N más complicado es encontrar un punto dentro de la bola unidad.

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  9. Sí, el rol de aguafiestas es el que mejor se me da 😉

    Dos vueltas de tuerca para terminar de aguarla. Primero. Imaginemos esa secuencia de “esferas unitarias” de dimension 1,2,3… y digamos : “miren qué hecho curioso, el \’volumen\’ primero aumenta y despues disminuye”. Imaginemos que alguien hace el mismo dibujo mental, pero sus “esferas unitarias” las dibuja todas con diámetro=1 (en lugar radio=1); en su caso, el “hecho curioso” no se presentará. O sea, que la propiedad depende de la escala elegida, o sea que no tiene relevancia geométrica.

    Segundo. Qué tal si en lugar de hablar de hiperesferas hablamos de hipercubos? ¿El \’ volumen\’ de los hipercubos aumenta al incrementar las dimensiones o no? Se ve que la respuesta depende de cuánto mide la arista, o sea, de la escala. Lo mismo.

    Con respecto a lo de lucagali: yo la deducción que conocía se basaba en postular que el volumen de la hiperesfera de dimensión N y radio R debe ser de la forma V(N,R)=g(N) R^N. Después vemos que el volumen de dimensión N se puede obtener integrando el volumen de dimensión N-1:

    V(N,1) =\int_0^1 \sqrt{1-x^2} x^{N-1} V(N-1,x) dx

    Aplicando la formula anterior, y cambiando la integral por x=sen(t) e integrando dos veces por partes se llega a una recursión.
    Es más o menos lo que está acá: http://www-staff.lboro.ac.uk/~coael/hypersphere.pdf

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  10. Interesante… me encantan las dimensiones superiores. Me he leido hace poco Planilandia, y he pasado malos días intentando visualizar tesaractos (no las superficies cúbicas del teseracto, sino el teseracto en sí).

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  11. primero: No pretendo molestar

    segundo:

    Volumenes n-dimensionales, este no es mas que un nombre, que no nos soprenda descubrir que satisface ciertas propiedades, ¡vamos! no hay que dotar de esoterismo a las matematicas.

    Si en lugar de llamarse ‘volumen’ (n-dimensional) se llamara ‘fefo’ al numero que le estamos asociando a la bola unitaria n-dimensional ¿seguirian siendo tan particularmente “llamativos” dicho numero y la propiedad que satisface?
    (cuando digo “llamativo” no me refiero a la utilidad que pueda tener, si no al valor que le damos como dato “curioso”).

    Podriamos decir, que el ‘fefo’ de la bola unidad de dimension 1,2,3 coincide con el volumen de la misma, ¿seria soprendente saber que el ‘fefo’ va decreciendo conforme la dimension tiende a infinito?

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  12. Sí, porque durante toda mi vida, los “volúmenes” que yo he visto y que mi cerebro ha comprendido se comportan (subjetivamente) de una forma que mi cerebro ha asimilado como “normal” (aun cuando esa normalidad fuera errónea).

    Por eso, cuando algo modifica la comprensión que mi cerebro tiene de “algo” contradiciendo lo aprehendido se produce la sorpresa.

    Es diferente cuando algo (ej. los “fefos”) modifica la comprensión ampliandola, entonces, símplemente aprendo y no me produce sorpresa.

    Es tentador observar al mago intentando descubir el truco, pero, en tal caso, no disfrutarás de la magia. En cambio, observa la prestidigitación y deja que tu cerebro se sorprenda del suceso maravilloso que acaba de percibir (luego ya pensarás en el truco).

    Disfrutar de las matemáticas tiene (creo yo) un poco de magia, debes dejarte marvillar por los “extraños” sucesos que percibes.

    (Por ejempo M ha hecho referencia a otro sorprendente suceso de las matemáticas, cuya sorpresa, únicamente puede venir, de nuestro conocimiento [erróneo o parcial] previo).

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  13. En realidad no hay ninguna paradoja en los resultados numéricos de este interesante trabajo. Simplemente estamos ante una argumentación falaz.

    Esta falacia, más o menos implícita, está generada por la forma en que se sugiere relacionar [1], [2], [3] y [4] y [5] con [6]:

    [1]: «¡Un momento! Para N=6 el valor aproximado del volumen es menor que para N=5…¿No habíamos dicho que el volumen aumenta conforme aumenta la dimensión? Pues en realidad no es así».

    [2]: «uno imagina que conforme la dimensión es mayor la bola unidad es cada vez más grande,… »

    [3]: «hablamos de volumen N-dimensional, algo así como la cantidad de puntos de
    \mathbb{R}^N que pertenecen a la bola unidad de dimensión N».

    [4]: «… conforme aumentamos el número de coordenadas […] la probabilidad de encontrar puntos así será cada vez más pequeña, con lo que el volumen también será cada vez menor… »

    [5]: «la bola unidad N-dimensional contiene a todas las bolas unidad de dimensión menor que N».

    [6]: «con lo que el volumen también será cada vez menor, acercándose a cero cuando la dimensión tiende a infinito».

    La conclusión [6], verdadera, es la que lleva a pensar que sucede lo mismo con [1], [2], [3], [4] y [5].

    ¡Pero no es así! Que en una deducción la conclusión sea verdadera (y bajo ciertas restricciones en la definición de “volumen”, la conclusión [6] lo es) ello no implica que sus premisas lo sean, ni tampoco implica que la deducción sea lógicamente válida.

    La falacia surge al considerar conmensurables y por ende comparables a magnitudes que no lo son. Y aquí se está sugiriendo que las unidades de cierta magnitud “volumen” son comparables entre distintas dimensiones.

    A pesar del cuidado que se toma en cierta etapa del trabajo para distinguir entre longitudes, áreas y volúmenes, las que son inconmensurables (de más está decir que no tiene ningún sentido comparar, por ejemplo, la superficie de un círculo con el volumen de una esfera “para ver cuál es mayor” pues superficie y volumen no usan las mismas unidades de medida; no son comparables; no son con-medibles; no son con-mensurables), un par de renglones más abajo, en [1], sorprendentemente se realiza una comparación así.

    En cualquier trabajo puede redefinirse un término del lenguaje corriente (como ser “volumen”) para denotar un nuevo concepto… siempre y cuando se señalen debidamente cuáles connotaciones de su interpretación corriente permanecerán vigentes y cuáles no.

    En la comparación señalada se introduce un nuevo concepto, y para denominarlo se utiliza el término corriente “volumen”. Pero es evidente que este nuevo concepto, que podríamos denominar más claramente “volumen generalizado para distintas dimensiones N”, no permite comparaciones numéricas entre volúmenes obtenidos a partir de distintos N. Con lo cual, la breve argumentación expuesta en este propio párrafo invalida a [1] (verifíquelo aquí arriba).

    En [2] este mismo argumento inválido es reiterado algo más toscamente, pues para la supuesta conmensura del “tamaño” de bolas de distinta dimensión se utiliza la muy ambigua expresión “es […] más grande”.

    En [3] se está introduciendo tácitamente otra curiosa hipótesis: la de que una esfera (tridimensional) de radio uno, “tiene más puntos” que un círculo (bidimensional) de radio uno.

    En [4], a partir simplemente de que sería “más complicado encontrar puntos” que cumplan cierta cierta propiedad se deriva, sin más, que “la probabilidad de encontrar punto así será cada vez más pequeña” (¿¿complicado implica poco probable’??) deduciendo luego, a partir de ello, que “el volumen será cada vez menor”, conclusión a la cual no sólo no es válido arribar a partir de estas premisas sino que, nuevamente, hace un uso ambiguo del término “volumen”.

    Toda esta argumentación concluye con que “el volumen se acerca a cero cuando la dimensión tiende a infinito”.

    Esta conclusión es verdadera… pero no a partir de las consideraciones del artículo, sino como conclusión del desarrollo (no presentado) de la expresión analítica de V(N).

    Exponiendo esta conclusión al final del trabajo, se completa la falacia al sugerirse tácitamente que es su argumentación la que deriva en dicha conclusión. Y no es así. La conclusión proviene de que el límite de V(N) es cero, o más precisamente, de que el gráfico está sugiriendo que el límite de V(N) es cero cuando N tiende a infinito.

    Puede sospecharse, además, cierto intento de presentar una sorprendente situación donde la medida del contenido superaría a la medida del continente, razón por la que se introduce [5], pero (como era de esperar con este ‘volumen generalizado’) no se logra plasmar en resultados concretos. Por tanto, esta situación apenas queda sugerida.

    Por supuesto, que una argumentación sea falaz no indica que haya mala fe (a las falacias enunciadas sabiendo a priori que su argumentación no es válida se las llama sofismas). Considero que no estamos en presencia de un sofisma.

    Probablemente esta argumentación haya surgido del entusiasmo del autor ante un resultado que intuitivamente lo haya fascinado antes de llegar a demostrarlo.

    Con lo cual el post no deja de ser muy instructivo. Es un buen ejemplo de que la intuición, como motor, es muy necesaria para avanzar en la ciencia… pero no es suficiente. =o)

    Adhiero, sí, a la simpática declaración “qué curiosas, a la par que interesantes, son las dimensiones superiores…”. Y lo hago, pues sí que me resulta atractivo intentar conceptualizar las medidas V(N) haciendo variar N.

    Más particularmente incrementando N, pues una bola unitaria cuyo V(N) resulta cada vez menor para N > 5, parecería contar por otro lado con cierta cualidad invariante que, quizá asociada a cierto vínculo entre la dimensión N cada vez mayor en \mathbb{N} y la función V(N) cada vez menor en \mathbb{R}, generalice aquella cualidad -más allá del radio- que percibimos como constante en el segmento, el círculo y la esfera unitarios (ahora soy yo el que utiliza la intuición, pero en este caso sin pretender demostrar nada), y que al percibirla como constante, o bien no existe con lo que nuestra intuición falla, o bien sí existe por lo cual, al ser constante, no es V(N) sino alguna otra función de N.

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  14. ¡Me encantó el artículo, es increíble pensar en cómo puede comportarse cierto volumen a medida que las dimensiones tienden a ser mayores!

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  15. @ Roberto Tait

    Un punto puede tener 1, 2, 3 o N coordenadas, pero sigue siendo un punto, no un hiperpunto. Por tanto, el número de ellos SÍ que se puede comparar. En el artículo se indica explicitamente: “hablamos de volumen N-dimensional, algo así como la cantidad de puntos de que pertenecen a la bola unidad de dimensión N”. Primero, indica N-dimensional, es decir, un concepto de volumen distinto para cada N, y segundo: “algo así como la cantidad de puntos”, cosa que si se puede comparar. Me parece que el que parte de una premisa errónea eres tú:

    “La falacia surge al considerar conmensurables y por ende comparables a magnitudes que no lo son. Y aquí se está sugiriendo que las unidades de cierta magnitud “volumen” son comparables entre distintas dimensiones.”

    Supones que el autor parte de comparar volúmenes (o su generalización) en distintas dimensiones, cuando lo que hace es el número de puntos.

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  16. Hola.

    Permitidme una puntualización. Usando el teorema de Fubini y cálculo de primer curso se obtiene la siguiente fórmula recurrente para el volumen de una n-esfera de radio 1:

    V(n) = (2pi/n)*V(n-2)

    Y, por recurrencia,

    V(n) = ((2pi)^k)/d

    siendo k la parte entera de n/2 y d=1·3·5·…·n, si n es impar; y d=2·4·6·…·n si n es par.

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  17. Perdón, me olvidé dividir d por 2 cuando n es impar:

    V(n) = ((2pi)^k)/d

    siendo k la parte entera de n/2 y d=1·3·5·…·n/2, si n es impar; y d=2·4·6·…·n si n es par.

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  18. Hola, me gustaría saber si es posible seguir este procedimiento para encontrar el volumen de una esfera 3N-dimensional, o ¿qué debe hacerse en ese caso?

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