¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

Aquí encontrará todo lo relacionado con f

¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:

a⁰ = 1
0^b = 0

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale 0⁰?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?.

Muchos diríais: 0⁰ es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación 0⁰, sino que queremos saber cuál es el valor del número 0⁰ (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a 0⁰?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación 0⁰, pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: x^x. Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

lim_x->0x^x = ” 0⁰ ” = A;

log A = lim_x->0log (x^x) = [Propiedad de los logaritmos] = lim_x->0x·log x = ” 0·(-infinito) “;

Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos x como 1/x al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital:

log A = lim_x->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = lim_x->0(1/x)/(-1/x²) = [Operamos] = lim_x->0(-x) = 0;

Por tanto log A = 0 –> A = 1

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

0⁰ = 1

Algo del estilo ocurre con 0!. Sabemos que n! = n·(n – 1)·(n – 2)·…·2·1. Pero, ¿qué pasa con 0!?. Pues muy sencillo: 0! = 1. Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento:

4! = 3!·4 –> 3! = 4!/4 = 6;
3! = 2!·3 –> 2! = 3!/3 = 2;
2! = 1!·2 –> 1! = 2!/2 = 1;
1! = 0!·1 –> 0! = 1!/1 = 1

Por tanto:

0! = 1

Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería decir. Os acosejo que leáis los comentarios que he hecho explicado un poco más estos dos temas.

Posts aleatorios

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Septiembre de 2006
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147 comentarios

lafundacion | 24 de Noviembre de 2006 | 18:55

Fascinante. Me he quedado de piedra. Simple y rapida demostracion.
meneame.net | 24 de Noviembre de 2006 | 18:55

¿cuanto vale 0 elevado a 0? y 0!?

Fantasticas demostraciones de lo que siempre he pensado que eran indeterminaciones.
Zifra | 24 de Noviembre de 2006 | 18:56

Me vale la de 0!, pero la otra, uyuyuyuyuyuyuy….

¿Qué significa eso de “la función más lógica”? Esa frase repele mi alma matemática.
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 18:58

zifra cierto, esa frase igual queda algo coja. Lo que quería decir con lógica es que es la función más sencilla que podemos utilizar para este caso y en la que se ve más claramente que evaluando en cero obtenemos 0^0.

Más formalmente: lo que he hecho sería equivalente a extender de forma continua la función x^x. Como su límite cuando x->0 vale 1 podemos decir que 0^0 debe tomar valor 1 para que la función sea continua. ¿Te convence ahora?
Caminante | 24 de Noviembre de 2006 | 18:59

Sigo sin entender lo de la función más lógica. X^X no me parece una función representativa, porque por lo mismo podemos decir que X/X es una indeterminación (0/0), operamos y obtenemos 1. Ya está resuelto y en menos pasos. En realidad es lo mismo que dices tú: cualquier nº multiplicado por 0 es 0, y cualquier nº dividido por 0 es infinito…

El problema es que la X de arriba no siempre es igual que la X de abajo. Sería más exacto decir que coges la función X^Y (o Y^X) (en mi ejemplo X/Y). Claro, en ese caso la cosa se complica, pues tendríamos dos límites que no tienen por qué converger a la misma velocidad.

El razonamiento de 0! también me parece incorrecto. Dices
1!=1·0! –> 0!=1!/1 = 1
¿? ¿Cómorrrr? ¡¡¡Pero si no has definido 1! !!!
Al final tienes que parar en un punto, y por convenio es que 0!=1. Pero podría haber sido perfectísimamente que 2!=2, N!=N*N-1! para números >=2, y al igual que no existe factorial de negativos no permitirlo para el 1 o el 0. Es lo que tienen los convenios.

Lo que cuentas me parece igual a las demostraciones de 1=-1. Veamos: -1=sqrt(-1^2)=sqrt(1)=1
Se basa en una sutil trampa que engaña al principio.
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 18:59

Caminante voy por partes:

¿x^x no te parece una función representativa? Lee mi comentario anterior. En principio esa función no está definida en 0, pero podemos definirla y hacerla continua en cero dándole el valor del límite. Eso es lo que quería decir cuando afirmo que 0^0 = 1.

¿Que la x de arriba no es siempre igual que la x de abajo?. Son exactamente iguales si hablamos de límite cuando x->0.

Yo hablaba numéricamente. Con tu ejemplo pasa igual. En principio la función x/x no está definida en cero. Pero podemos coger una extensión continua de esa función que está definida en cero y cuyo valor en cero es 1 ya que su límite en cero es 1. Y sería algo parecido: numéricamente hablando 0/0 = 1 (muy importante eso de numéricamente).

¿Que no he definido 1!?. ¿Y qué es esto entonces?:

n! = n·(n – 1)·(n – 2)·…·2·1

Igual me ha faltado poner que esa definición es válida para n mayor o igual que 1, pero vamos, creo que es bastante intuitivo a partir de la definición. Con ese razonamiento quería hacer ver que el hecho de que por convenio se elija 0! = 1 tiene bastante sentido. Nada más.

Y sobre el ejemplo que tú pones, no lo veo comparable a lo que yo he comentado, ya que en tu ejemplo hay un fallo en el razonamiento que hay que descubrir (es evidente que debe haber un fallo ya que llegamos a un resultado falso a todas luces). Los casos que comento no van por esa línea.

Por otra parte te felicito por tu comentario. Con posts como este intento que la gente se coma la cabeza, que razone, que me critique y que me discuta si no está de acuerdo conmigo, y veo que lo consigo. De todas formas espero que mi explicación te convenza .

Saludos
Caminante | 24 de Noviembre de 2006 | 19:00

Me alegro que no te lo tomaras a mal el comentarios. A ver. Te contesto rápidamente (lo siento, pero estoy en el curro).

El primer caso veo el fallo porque tratas solamente un caso muy particular. Si lo haces con un caso general (base y exponentes diferentes) entonces la cosa cambiaría mucho. Pero ¿si quieres demostrar 0^0=1 porqué quiero un caso general? Porque acabas usando límites y operaciones de simplificación (esa es la parte que me parece un poco trampa en la argumentación).

Hace poco leí un comentario de Asimov acerca de si chocara un cuerpo imparable contra un objeto inamovible. Venía a decir que es imposible porque si existe uno no existe otro por definición. Aquí pasa algo igual. Parece que intentas demostrar un error de definición matemático: algo elevado a 0 = 1, 0 elevado a algo = 0, ¡se contradice!. En ese caso estoy de acuerdo: está mal definido. Y no estoy en contra de tu resultado: buscamos la solución más lógica y lo redefinimos como a^0=1 para todo a y 0^a=0 si a!=0. Así habrás/habremos tomado una decisión bastante lógica pero arbitraria (la mejor entre dos opciones si lo prefieres).

Sobre el factorial. El factorial se define:
Fact(0)=1
Fact(1)=1
Fact(N)=N*N-1

Los dos primeros casos son básico, pero son ambos puntos de parada arbitrarios (en algún sitio habrá que deternerse).
Y evidentemente es que no queda otra con Fact(0), porque sería tonto definir Fact(n)=n*n-1*n-2*…*2*1*0

Te pido disculpas si había leido tu artículo pensando que intentabas darle un sentido más matemático que de sentido común.

Hasta luego
Caminante
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:01

A ver, voy a intentar explicarlo otra vez: puede que tal y como está escrito el artículo no se entienda bien, pero básicamente lo que yo quería hacer es extender x^x de manera continua al valor cero. El artículo está enfocado en orden inverso, por decirlo de alguna forma. Por eso lo de 0^0 = 1.

Quiero aclarar, por si alguien se ha liado: en límites, ya sean de sucesiones o de funciones, 0^0 es una indeterminación. Que quede claro. Con este artículo quería referirme al caso en el que pudiéramos encontraros 0^0 como número, y no como exponencial de funciones o sucesiones que tienden a cero simultáneamente. Espero que este quede claro.

El hecho de tomar “0^0 = 1″ numéricamente hablando no me parece para nada arbitrario, ya que lo que estamos haciendo es darle a x^x el valor 1 en x = 0, que es lo que vale su límite cuando x->0.

Sobre la definición de factorial: a mí no me lo definieron así. Me lo definieron como yo he puesto para n mayor o igual que 1 y me dijeron que 0! = 1 sin más explicaciones. No pretendía dar una demostración de este hecho con este post. Lo que pretendía era que la gente a la que se lo definieron igual que a mí comprenda por qué esa definición de 0! = 1. Que tiene sentido, que no es un valor arbitrario.
omalaled | 24 de Noviembre de 2006 | 19:02

Hola.

Quisiera intentar aportar mi granito de arena. Respecto a Caminante, lo de Asimov no es muy buen ejemplo. En un choque no existe el concepto de velocidad, pues la velocidad es la “derivada del espacio respecto del tiempo” y en ese punto, la función presenta un “quiebro”, o sea, un punto no derivable. Cosa que no quita argumentación a tu idea, pero quería dejar claro ese punto.

Respecto a lo del 0!, tengo otra idea y es hacer la binomial sobre 2. La binomial sobre 2 nos dice (por ejemplo), cuántos choques de mano hay en un grupo de n personas. Pues n sobre 2. 5 personas sería 5!/2!(5-2)!=10; pues 2 sobre 2 sería 2!/2!(2-2)!=1 El 1 lo conocemos positivamente, y de ahí debemos extraer que el denominador, el térmono (2-2)!=0!=1
Ro | 24 de Noviembre de 2006 | 19:02

Hola.

En mi opinión 0^0 no esta definido, no hay ningún número que sea igual a 0^0, de la misma forma que no hay nada que sea igual a 0/0. Cosa distinta es que determinadas funciones tomen ciertos valores cuando se acerquen al cero. Tu tomas la función x^x y efectivamente en el límite vale 1, Pero igualmente, por ejemplo, la función x^(1/ln(x)) toma el valor e cuando x tiende a 0+.
Tu función es más sencilla y de alguna forma es la función “natural” para lo que tu pretendes, pero de ahí a decir que el valor más coherente para 0^0 es 1, me parece que es dar un salto quizás demasiado grande.
Un saludo
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:03

Esa es la parte que puede que se haya interpretado peor. Al parecer lo que se entiende del post es que 0^0 = 1 siempre por el tema del límite. Yo no quería decir eso. Era algo así como: si en algún momento nos encontramos con 0^0 numérico tendríamos que darle el valor que se obtiene de extender de forma continua la función x^x para que todo funcionara bien, y ese valor es 1. Por eso he intentado aclarar que su en un límite nos encontramos 0^0 eso es indeterminado y tendríamos que usar algún método de cálculo de límites para saber su valor, no pudiendo por tanto darle a ciegas el valor 1.

Ya digo, probablemente haya equivocado el enfoque del post y debía haberlo escrito de otra forma, pero mi intención era la que he intentado explicar en los comentarios a raíz de vuestras críticas (constructivas todas por cierto).
0xC | 24 de Noviembre de 2006 | 19:04

Hola, excelente blog, los felicito, muy interesante.
yo les traigo un problema, se ve fácil, pero requiere de un nivel aceptable de matematicas.

Esta vez trata sobre ecuaciones diferenciales…

Encontrar la ecuacion diferencial que satisface la sigueinte ecuacion:

r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 –> donde r=k

Tips: Eliminacion de constantes arbitrarias….
Despejas constantes y derivas, despejas y derivas, etc….

Fácil ¿no?………
0xC | 24 de Noviembre de 2006 | 19:04

en mi comentario les deje un problema… Saludos..
Jorge | 24 de Noviembre de 2006 | 19:05

Lo de que 0!=1 de deduce de la combinatoria, binomio de Newton y triángulo de Pastal/Tartaglia. Además, 0! se puede interpretar como el producto de ningún factor, así que el resultado ha de ser el neutro del producto, es decir, 1 (de la misma forma que sumar ningún sumando da el neutro de la suma, el 0).

Sobre 0^0… me parece que nos estáis tomando el pelo a base de bien. Veamos. Sobre el cálculo del límite… no habéis considerado hacer el límite por la derecha o por la izquierda y ser si son iguales.

Pero lo peor de todo es la base de partida.

0^b = 0 siempre que b sea mayor de 0. Si b es 0 o menor de 0 entonces ya no sirve esa igualdad: por ejemplo, 0^(-1) = 1/0.

a^0 = a/a, es decir, una división, y todos sabemos que no se puede dividir por 0, así que a^0=1 si y sólo si a es distinto de 0.

Etcétera.

Ya que estáis con ello, ¿porqué no probáis a hayar el valor numérico de la raíz cuadrada de 4? Unos dicen que es +2, y otros que es -2. Pero es imposible que puedan ser dos valores distintos
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:06

Sobre lo del punto de partida: creo que queda claro lo que quería decir viendo la frase

En nuestra época de colegio nos dicen que…

Evidentemente eso no es cierto, sólo quería recalcar que eso es lo que nos dicen. Al menos a mí me lo dijeron así.

Sobre los límites laterales: vale, límite por la derecha solamente.

Y lo otro: Raíz cuadrada de 4 = 2.
Para obtener el -2 habría que escoger la menos raíz cuadrada de 4.

Saludos
nieves (abelgalois) | 24 de Noviembre de 2006 | 19:07

yo creo que lo de 0 elevado a 0 es así de fácil…si es 0 elevado a x , con x tendiendo a cero..entonces será 0…y si es x elevado a 0 con x tendiendo a cero ,entonces será 1.
y no os comáis más el coco..
Sois geniales y generáis mucha controversia… xxddd.
Un saludo neok y diamond

(lo había puesto fuera de post,perdón)
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:08

Gracias nieves.

Y no te preocupes por el comentario en otro lugar, no problem
raiz_de_5 | 24 de Noviembre de 2006 | 19:08

Está mal. No se puede definir en la aritmética un valor para 0^0, es decir, usando sólo números y operaciones básicas en un número finito de pasos. De hecho, sólo encontrarás ese símbolo en cálculos con funciones, y entonces se impone el uso de límites, si es que existen. La idea es que el símbolo 0^0 no puede nunca ser un número, de la misma forma que tampoco puede ser un número 0/0, o el infinito, como bien matiza RO. El motivo es que, precisamente, el límite de funciones de tipo 0^0 no siempre es el mismo, dependiendo de las funciones implicadas en el cálculo, lo que daría un conjunto de valores posibles para 0^0, que es contradictorio con la idea de número. Similarmente, 0/0 puede tomar cualquier valor finito o infinito, y por eso se dice que no puede ser un número porque realmente ¡son muchos números a la vez!.
Cuando asignas un valor númérico constante a 0^0, intuyo que introduces contradiciones no permitidas en las matemáticas.
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:09

Definitivamente equivoqué el enfoque del post ya que parece que no se me ha entendido.

Lo que quería decir básicamente era:

0^0 es una indeterminación, pero si tuviéramos que darle un valor numérico (es decir, si tuviéramos que extender de forma continua la función x^x), ¿cuál le daríamos?

Y le daríamos el valor 1, ya que es el valor del límite de x^x cuando x->0.

Y aunque lo he hecho ya varias veces lo vuelvo a recalcar: si al evaluar un límite nos encontramos con un 0^0 eso es una indeterminación.

Saludos
Ro | 24 de Noviembre de 2006 | 19:09

Sin ánimo de polemizar, yo creo que el asunto está mal “planteado” de partida. No tenemos que darle un valor numérico a 0^0, de hecho no podemos, tal cosa no existe. Lo de extender la función x^x de forma continua es otra cuestión.
Me “chirría” especialmente la frase “y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario”.
Acid | 24 de Noviembre de 2006 | 19:11

No me gusta el razonamiento:
Cuando se llega al paso
log A = 0 … no implica A = 1
Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

Te pongo otro ejemplo:
y = x^2
log y = 2*log x
¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
¿implica esto x = 1??
Hay que tener en cuenta que x=-1
también cumple la ecuación…
Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar.

Para mi, 0^0 simplemente no está definido. (así que es indefinido o indeterminado)

Cuando definimos la operación “elevado a” si la definimos en números naturales asumimos que n^m es multimplicar n por sí mismo m veces… pero no tiene sentido multiplicar un número por sí mismo 0 veces… Eso es un convenio cuando se extrapola, pero la extrapolación no vale cuando n es cero.
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:11

Ya he explicado en los comentarios que creo que me equivoqué al enfocar el tema y por tanto no se ha entendido bien lo que quería decir. Prefiero no volver a explicarlo para no repetirme.

Respecto a tu ejemplo: log y = 0 implica log x = 0, evidentemente. Y eso implica sin ningún género de dudas que x = 1, ya que el logaritmo está definido sólo para números reales positivos. Por tanto no cabe una solución negativa, ya que el logaritmo de un número negativo no existe.
Lorena | 24 de Noviembre de 2006 | 19:12

Mmmm… no existen?
karluyz | 24 de Noviembre de 2006 | 19:13

Digamos que lo que tratas de establecer, me queda clarisimo. No obstante entiendo, que para meterse en esas profundidades han de tenerse claros muchísimos conceptos y definiciones.
No se debe aseverar cosas que no hemos estudiado, como por ejemplo que los logaritmos de números negativos no existen.
Ejemplo: log(-2)=log(2)+πi
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:13

karluyz en todo momento estamos hablando de logaritmos de números reales. Si en el razonamiento estuvieran involucrados los números complejos lo habría dicho.

Y en esta situación el logaritmo de un número negativo no se puede hacer, al igual que el logaritmo de 0.
Indeterminado | 24 de Noviembre de 2006 | 19:14

¿Álguien me podría explicar cómo se aplica la Regla de l’Hôpital? En la Wikipedia pone unos ejemplos que creo que no se corresponden.

No veo lo siguiente:

log A = limx->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = limx->0(1/x)/(-1/x2) = [Operamos] = limx->0(-x) = 0;
^DiAmOnD^ | 24 de Noviembre de 2006 | 19:14

Indeterminado ¿cuál es exactamente el paso que no entiendes?
Pulpux | 24 de Noviembre de 2006 | 19:15

Para caminante:

Pusiste

Sobre el factorial. El factorial se define:
Fact(0)=1
Fact(1)=1
Fact(N)=N*N-1

y es

fact (n)= n * fact(n-1)

y lo que dijo diamond sería bastante lógico aunque la “verdadera” explicación la daría por el triangulo de tartaglia.

Continuando con la logica que dió Diamond:

dividiendo por n ambos miembros de la ecuacion fact (n)= n * fact(n-1)
nos queda
fact(n) /n = fact(n-1)

por lo tanto

Fact(1) / 1 = fact(0) = 1

Saludos a todos y me encantó este blog!!!
Francisco | 24 de Noviembre de 2006 | 19:16

¿¿¿¿¿¿¿
No me gusta el razonamiento:
Cuando se llega al paso
log A = 0 … no implica A = 1
Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

Te pongo otro ejemplo:
y = x^2
log y = 2*log x
¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
¿implica esto x = 1??
Hay que tener en cuenta que x=-1
también cumple la ecuación…
Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar. ??????????

uno: el logaritmo de x.. no tiende a menos infinito cuando x tiende a cero??
que sentido tiene calcular el logaritmo de cero?
el logaritmo de un numero a devuelve el numero al cual debe ser “elevada” la base del logarito para obtener a. sin importer la base, èsta tendria que e evarse solo a menos infinito para que sea cero..
y la base.. sea 10 o e.. solo elevada a 0 da 1!!!!
( lo que significa que sólo el log(1)=0 => si log(a)=0 -> a=1)

dos: logaritmo de -1?? real??? el logaritmo de -1 es pi*i, siendo i, la unidad imaginaria o raiz cuadrada de menos uno, la forma euleriana de un complejo.
siendo asi, 2*log(-1) jamas podria ser cero.. solo es un valor imaginario..

tres: las matematicas, el calculo y el algebra son absolutos.. NO DEPENDEN DEL MATEMATICO.. para mi y parab ti.. tiene que ser lo mismo..no se puede interpretar distinto.. solo es… se sabe o no se sabe.. nada mas.. ( no es por aparentar saber.. pero asi es la cuestion.. la intuicion suele llevar a error.. sobre todo a un niver mas alto.. se puede demostrar con un solo ejemplo que algo es falso.. pero puedes demorarte una vida tratando de demostrar algo que crees vedadero..)

PARA EL PROBLEMA DE 0 A LA 0————
para el caso dado.. el limite de x a la x tiende a uno.. pero hay muchas maneras de acercarse a cero elevado a cero.. y no todas tienden a uno.. si su pudiera demostrar que todas la formas de acercarse tiendan a uno cuando x tienda a cero, tendras tu respuesta. pero sin embargo.. si tomo lA siguiente funcion: x^(x^(-2), que tambien tiende a cero elevado a cero cuando x tinde a cero.. y le aplico el limite (cuando x tiende a cero).. y se obtiene nada mas que.. cero (distinto a uno)
entonces.. se puede decir que cero a la cero depende de la forme en que te acerques al valor cero.. por lo tanto NO podemos decir que valga 1… entonces..nos queda un valor indeterminado…

PARA EL CASO DE O!—
es una demostracion que puede hacerse mediante la funcion gama, tomando en cuenta que gama(x)=(x-1)!
lo dejo propueso por si alguien se anima..
gama(x)= la integral de cero a infinito de (u^(x-1)*e(-u)*du)
alex | 20 de Diciembre de 2006 | 12:10

¿cual seria la funcion represntativa de e^x??
Naka Cristo | 20 de Diciembre de 2006 | 16:05

x^(x^(-2)) tiende a 1 cuando x tiende a 0. (Por lo menos según Maple)
^DiAmOnD^ | 20 de Diciembre de 2006 | 23:42

Pues me da que Maple se equivoca…

Pronto hablaremos de programas informáticos
Naka Cristo | 21 de Diciembre de 2006 | 9:27

Sí, he debido decirle antes algo mal.
^DiAmOnD^ | 21 de Diciembre de 2006 | 11:15

Igual lo que escribiste en el programa fue (x^x)^(-2)
Nauar | 5 de Enero de 2007 | 11:06

Hola a todos, a mí me sale una contradicción:

dado que 0^0 = 1
y que 0^0 = 0^2*0^(-2) y 0^2 = 0 y 0^(-2) = 0

Tenemos que:

1 = 0^0 = (0^2)*(0^(-2)) = 0 * 0 = 0 => 1=0??

Agradecería que alguien me lo pudiera explicar.
^DiAmOnD^ | 5 de Enero de 2007 | 16:02

Nauar echa un ojo a todos los comentarios y verás que la intención del post no era decir que 0^0=1 siempre, sino que si tuviéramos que definir la función x^x para que fuera continua en cero deberíamos darle el valor 1, ya que su límite cuando x tiende a 0 por la derecha vale 1. En principio 0^0 es indeterminado, el límite de una función que tiende a 0^0 puede valer cualquier cosa.

Por otra parte en tu razonamiento tienes un error: 0^(-2) no es cero, ya que es 1/0^(2), que tiende a infinito. Por tanto obtendrías 0*infinito, lo cual también es indeterminación.
NuezMoscada | 18 de Enero de 2007 | 17:03

En teoría de conjuntos se define la exponenciación de números naturales del siguiente modo:
n^m es el número de funciones que puedes definir de m en n.
eso da de forma inequívoca que 0^0=1 COMO NÚMEROS, como límites es otro asunto.
Chimpún.
Tiresias | 13 de Marzo de 2007 | 11:51

NuezMoscada… si 0 es el conjunto vacío ¿cómo defines una función del vacío en sí mismo? Esa definición no arregla el problema… piensalo…
jxe | 8 de Marzo de 2008 | 23:57

esto es muy complicado sin embargo en potencias todos saben que cero es 1, y el exponente es el cero(º) siempre va ser 1 en tonces 0º es = que 1 elevado a 1 no?

0º = 1º= 1
si me resolicion de este problema es correta contacteme porfavor !!!
gracias
jose ignacio
peter | 25 de Marzo de 2008 | 22:36

la demostración de que 0^0 es uno es mucho más simple a mi parecer. un número dividido entre sí mismo es 1 siempre no? es decir que, por ejemplo: 0^3 : 0^3= 1

Y por otra parte, por propiedades de potencias:
0^3 : 0^3 = 0^3-3 = 0^0, y como hemos visto antes, es igual a 1

saludos y gracias! si ven alguna contradicción no duden en contestar!
Omar-P | 25 de Marzo de 2008 | 23:54

No se puede dividir por cero.
Enrique | 26 de Marzo de 2008 | 15:17

Me parece mejor demostrar que 0! = 1 usando la función Gamma. Simplemente calculariamos Gamma de uno.
GABRIEL DAVID MONTENEGRO G | 27 de Marzo de 2008 | 0:14

PARA RESPONDER 0^0 ES INDETERMINADO

Como la potenciacion es una operacion, en particular, para cada par de numeros existe uno y un solo un resultado:

sea X un # real tenemos:

propiedad 1 0^0=0
propiedad 2 X^0=1

luego es una contradicion para la definicion de operacion en numeros reales. esto significa Indeterminado.

ayudado por una amiga de puertas de sol Suba, gracias

GABRIEL DAVID MONTENEGRO G – F.U.S.M.
ING. SISTEMAS
WAA | 7 de Mayo de 2008 | 2:29

Hola,

No olvideis que el “0″ aunque es maravilloso, es una cifra inicialmente inventada por los antiguos solo para poder representar potencias de 10 y no para representar “la nada” o la “separación” entre la recta real en sus parte negativa y positiva, y por lo tanto no es una cantidad como tal lo son los demás números, por ello fallarán en rigor algunas leyes aplicables a los demás números reales.
Es mejor no asegurar nada de cero a la cero, por medio de funciones. Imaginence que el cero puede existir en cualquier intervalo abierto o cerrado de la recta real si se interpreta como “la nada”
Marcos | 7 de Mayo de 2008 | 14:01

Recuerdo una discusión de hace un tiempo en la lista Snark, sobre si el cero era un número o no.

El cero es un número como cualquier otro (además es mi número favorito); no entiendo por qué hay necesidad de asignarlo a conceptos totalmente distintos de los números como “la nada”. El cero es simplemente la cantidad de elementos del conjunto vacío, o la cantidad de cosas en “la nada”.
Sive | 8 de Mayo de 2008 | 8:46

La demostración de $0^0$ no me satisface, es arbitraria como alguien a apuntado por ahí. Sin embargo si me satisface el resultado, es decir $0^0=1$ .

Me satisface el resultado porque es coherente con la aritmética, por ejemplo:

$(a+b)^2 = a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2$

Si ahora hacemos b=0, tenemos según el primer término de la igualdad:

$(a+0)^2 = a^2$

Y según el segundo:

$a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2 = a^20^0 + 2a^10^1 + a^00^2$

Lo cual da como resultado $a^2$ si y solo si $0^0=1$ .
Sive | 8 de Mayo de 2008 | 9:42

También me gusta el razonamiento de NuezMoscada…
Anton | 14 de Mayo de 2008 | 20:47

NO ESTOY DE ACUERDO.

No puedes hallar el valor de 0^0 a través de x^x de la misma forma que no puedes hallar el valor de 0 / 0 como x/x. Lo que aquí tenemos no es una función (ya sé que lo has puesto con negritas, lo triste es que hayas caído dos líneas más abajo).

La única razón por la que los números elevados a cero dan 1 es: 2^0 =2^(3-3)= 2^3 / 2^3 = 1

He usado el 3 para los exponentes como podria haber usado otro.

La diferencia entre el dos y el cero es que al hacer eso te queda un cero en el deminador. Lo cual no existe, no es ni siquiera un número imaginario o algo así. Simplemente, no existe.

En cuanto al factorial de 0, prefiero ir a la definición, que es lo único realmente conocido:

n! = n·(n – 1)·(n – 2)

donde n=0, quedaría

0! = 0

Sólo una cosa más. No es que te hayas explicado con poca claridad, es que yo estoy en absoluto desacuerdo. Saludos.
Anton | 14 de Mayo de 2008 | 20:54

Como indica la wikipedia: “Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.”

Es una cuestión de comodidad. Un convenio.
Winted | 14 de Mayo de 2008 | 21:15

Respecto a 0^0 me parece tan simple como que se ha malentendido la proposición. Se refiere a la igualdad hablando de límites, que se especifica. Creo que ha armado un poco de alboroto innecesariamente. Y respecto al facotiral, con indicar que es por convenio, como se ha hecho, queda suficientemente claro, cosa que en mi opinion no tiene sentido mas que para esta demostración, pero bueno. No veo mas problema en esto. No sé qué opinarán ustedes.
Sive | 15 de Mayo de 2008 | 10:54

Ambos resultados son convenciones. El de 0! está muy aceptado, y el de 0^0 no tanto, pero también.

Pero no basta con decir que se toman tales o cuales valores por conveniencia. Hay que argumentar dicha conveniencia.

Por ejemplo, en el caso de 0^0 hay dos opciones:

1) La fórmula del binomio de Newton no es válida cuando alguno de los sumandos es cero. Lo cual nos obligaría a acordarnos de estudiar este caso especial en algunos desarrollos.

2) Definimos 0^0=1 y Santas Pascuas.

En el caso de 0! también se puede usar la fórmula del binomio de Newton como argumento. Hay dos posibilidades:

1) La fórmula del binomio de Newton no sirve para calcular los coeficientes primero y último que son 1 por definición (aparecen factoriales de cero tambien en estos casos).

2) Definimos 0!=1 y Santas Pascuas.
Sive | 15 de Mayo de 2008 | 11:22

Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para demostrar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?
Sive | 15 de Mayo de 2008 | 11:23

Quise poner (en negrita la errata):

Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para argumentar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?
Omar-P | 15 de Mayo de 2008 | 12:22

Todo número elevado a la cero es 1.
Winted | 15 de Mayo de 2008 | 17:17

Cero no siempre simboliza un número.
Omar-P | 15 de Mayo de 2008 | 17:36

¿Y que simboliza entonces?
Hector | 24 de Mayo de 2008 | 23:23

yo pense que era indeterminacion!
Andres Fielbaum | 7 de Julio de 2008 | 2:07

respecto a la discusion del n!, me parece que si es mas natural definirlo como 1. por que?
porque uno puede definir n!=pitatoria_{k=1}^n(k)
lo cual, para n=0, significa no multiplicar ningun numero, y en ese caso, lo mas usual suele ser adoptar el neutro multiplicativo, i.e., 1, al igual que se hace con la suma, que usualmente se asume como cero…

de todos modos, por supuesto que sigue siendo, como siempre, una convencion, pero asi se ve menos arbitraria

respecto a lo de 0^0, no estoy de acuerdo con eso de la “funcion mas natural”, pues uno puede tomarse infinidad de funciones… es cierto que esa quiza sea la primera que a uno se le ocurre, pero eso no significa nada… de hecho, con la convencion mas usual 0*infinito=0, puede sonar mas razonable 0^0=0, pero sigue siendo solo tomando casos particulares.
Pedro | 29 de Julio de 2008 | 19:47

Sólo es un caso particular, en lo general no se llega a cumplir!
giannini | 5 de Agosto de 2008 | 23:09

hola , les agradeceria si alguien es capas de darme diez ejemplos que cumplan esta misma igualdad 2^4=4^2
Sergio | 6 de Agosto de 2008 | 13:02

Yo creo que esto es algo muy, muy sencillo, y que, a mi modo de ver, lo podría explicar en un colegio de primaria:

0^0 (y no es un emoticono al revés) es lo mismo que decir 0 veces 0. Y si cualquier número por cero veces es 0, 0 en sí es un número, por lo que 0^0 = 0.
Omar-P | 6 de Agosto de 2008 | 14:48

No Sergio. Todo número elevado a la cero es 1. Por lo tanto 0^0=1.
Sive | 21 de Agosto de 2008 | 21:53

Sergio, cero veces cero es lo mismo que cero multiplicado por cero, y por supuesto, el resultado es cero.

Estamos exponenciando, no multiplicando.

La multiplicación de A por B equivale a la suma de B sumandos, todos iguales a A.

AxB = A + A + A + … + A (hay B sumandos, todos iguales a A).

Si B es cero, la operación resultante es muy extraña porque hay cero sumandos. ¿Cómo se hace eso si… ¡en realidad no hay operación!? Tal vez nuestra intuición nos diga que el resultado de una operación en blanco (¿¿¡¡!!??) es cero, pero la intuición está muy bien como guía, no prueba nada.

Si antes de poner las Aes, comenzamos sumando cero, es decir:

AxB = 0 + A + A + A + … + A (hay B+1 sumandos, uno es 0, y los demás son A).

El resultado no se altera, con la ventaja de que ahora, decir que hay cero Aes nos presenta un resultado directo, en lugar de una misteriosa operación en blanco. A saber: que A·0 es igual a 0 sin importar el valor de A (porque no interviene en la operación resultante).

Hagamos lo mismo con la exponenciación:

Elevar A a B equivale a la multiplicación de B factores, todos iguales a A.

A^B = A · A · A · … · A (hay B factores, todos iguales a A).

Si B es cero, hay cero factores y la operación resultante es igual de extraña que la anterior. Para sortear esta singularidad se puede proceder de la misma forma que antes, sólo que esta vez comenzamos multiplicando por el elemento neutro del producto, es decir el 1, así:

A^B = 1 · A · A · A · … · A (hay B+1 factores, uno es 1, y los demás son iguales a A).

Ahora A ^ 0, nos da un resultado directo en lugar de una desconcertante operación en blanco. Además no importa el valor de A, incluso si A es cero, el resultado es 1.
Asier | 21 de Agosto de 2008 | 22:56

Muy buena y convincente explicación, Sive.
Sive | 24 de Agosto de 2008 | 2:18

Gracias Asier.

En realidad, supongo que te habrás dado cuenta, lo que he intentado transmitir es la idea del producto vacío, cuyo resultado es 1.

El producto vacío en wikipedia (en inglés):

http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

Curiosamente (lo acabo de ver) se comenta brevemente en el articulo el dilema que discutimos aquí.
Sive | 24 de Agosto de 2008 | 3:46

Curiosamente, en el enlace que puse antes, hay un enlace a otro artículo en wikipedia donde se trata explícitamente este problema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

A vuelo de pajaro, he podido ver el argumento de NuezMoscada, todos los mios, y alguno más.
samael | 25 de Agosto de 2008 | 15:48

cual es la capacidad de numeros facotirales, o decir hasta que numeros es los numeros facotirales o que capacidad tiene el factorial de numeros
Omar-P | 25 de Agosto de 2008 | 21:56

Los números factoriales son infinitos.
daniel | 2 de Diciembre de 2008 | 2:48

pues desde que supe que 2+2=5 todo es posible
Eardil | 2 de Diciembre de 2008 | 3:31

yo solo digo que:
0^0= (0^1)(0^(-1))= 0/0
martin | 11 de Diciembre de 2008 | 5:08

el factorial de 0 me parece correcto…pero no estoy segvro del 0^0
Javi Gallo | 11 de Diciembre de 2008 | 5:32

No me convence para nada la resolución. Igual me pareció que había empezado bien, jaja. Pero usa L’Hopital, que es una técnica muy avanzada como para aplicarla a este problema. Estoy seguro que no se fijó que muy probablemente metió la pata y esto es como la “paradoja” del huevo y la gallina. Antes de usar L’Hopital, por favor, fijate en la demostración el teorema, y en las demostraciones de todos los teoremas que se usan para probar L’Hopital…jaja. Seguro en alguna de ellas se utiliza alguna convención para el 0^0! De hecho… pegate una vuelta por los polinomios de Taylor, y las series de Taylor, y ahí vas a encontrar los (x – a)^n…

Para mi, 0^0 = 1, igual que lo que dices, por casi una infinidad de evidencias que tengo. Por eso voy a dar una…:

0^0 es, de alguna manera, multiplicar cero cosas una cantidad “cero” de veces… eso no tiene sentido, de la misma manera que no tiene mucho sentido decir que es 0… decir que es 0 es sólo intuición, y a veces la intuición falla… Pero, 0^0 es una productoria de rango vacío de ceros! Se entiende? No pongo símbolos porque no sé latex, jaja… en fin, imagínense el símbolo del productorio. Pero por los axiomas de la lógica de primer orden (que trata de cuantificadores, como el productorio), debería ser 1 porque el 1 es el ELEMENTO NEUTRO de la multiplicación. Justamente, se utiliza el axioma de “Rango Vacío”.

De la misma manera pasa con la sumatoria de rango vacío… En una sumatoria donde no hay nada que sumar, el resultado es 0, porque 0 es el elemento neutro de la suma.

En general, para cualquier cuantificador (como la sumatoria, la productoria, el cuantificador universal, el existencial, y todas las yerbas conmutativas y asociativas), si el rango es vacío, no importa lo que se opere, el resultado será el elemento neutro del cuantificador.

Ese es sólo un ejemplo… también muchas veces es conveniente decir que 0^0 = 1 cuando se derivan programas, que es muy parecido a hacer pruebas sencillas por inducción. Me animo a decir que los computólogos estamos CASI seguros que 0^0 = 1.
fermat | 19 de Diciembre de 2008 | 1:53

Teorema. $0^{0}$ es una indeterminación. (“Probare por el momento que $0^{0}\neq 1$ y $0^{0}\neq 0$ ”)

Demostración;

(i) Supongamos que $0^{0}=1$

Por lo tanto el $\ln$ de tal número existe.

$\ln0^{0}=\ln1 \Rightarrow \ln0^{0}=0 \Rightarrow 0\ln0=0$

Llegandose a una contradicción pues $\ln0 \rightarrow-\infty$ de lo cual se obtiene una indeterminación.

Por lo tanto $0^{0}\neq 1$

(ii) Supongamos que $0^{0}=0$

Como $0=-0$ entonces tenemos:

$0^{0}=0^{-0} \Rightarrow 0^{-0}=\frac{1}{0^{0}}$

como $0^{0}=0$ y $\frac{1}{0^{0}}=0^{0} \Rightarrow \frac{1}{0}=0$

Teniendose nuevamente una contradicción pue $\frac{1}{0}$ es indeterminado.

Por lo tanto $0^{0}\neq 0$ .

PROBARE MAS ADELANTE QUE “ $0^{0}\notin\mathbb{R}$ ”
Omar-P | 19 de Diciembre de 2008 | 3:34

No has leído el encabezamiento del post.
fermat | 19 de Diciembre de 2008 | 8:13

Omar en matemáticas no basta con decir que algo es indeterminado se debe probar, y eso es algo que no veo en toda la discusion; pues si digo que cero a la cero es indeterminado y no se le puede dar un valor real debo sustentar completamente el por que.

Por otro lado ya tengo completa mi solución pues simplemente basta con fijarnos que:

$\forall \ a\in\mathbb{R}, (0^{0})^{a}=0^{0}$

y el unico número real que cumple esto es el 1.

Por lo tanto $0^{0}\notin\mathbb{R}$
Omar-P | 19 de Diciembre de 2008 | 22:57

Pues podemos armar una tabla en donde aparezcan las enésimas potencias de los números no-negativos en las columnas y en donde aparezcan las potencias de cada número no-negativo en cada fila. La tabla comienza con:

1, 0, 0, 0, 0,…
1, 1, 1, 1, 1,…
1, 2, 4, 8, 16,…
1, 3, 9, 27, 81,…

Notamos que T(0,0) = 1, es decir 0^0 = 1.
fermat | 19 de Diciembre de 2008 | 23:14

Omar lo que usted hace “no” es una demostración matematica
Omar-P | 19 de Diciembre de 2008 | 23:20

Nunca dije que lo fuera, pero existen tablas construídas así.
Omar-P | 20 de Diciembre de 2008 | 0:09

Alguien puede ilustrarnos sobre lo que hay en la página 30 de este libro:
T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976.
fermat | 20 de Diciembre de 2008 | 2:16

Mirare el apostol y hablaremos nuevamente
Omar-P | 20 de Diciembre de 2008 | 12:07

¿Sabía que… el buscador Google funciona también como una calculadora?
Ingresa una cualquier expresión en la casilla de búsqueda y te dará un resultado.
Si probamos, por ejemplo, con 0^0 el resultado es 1.
Omar-P | 20 de Diciembre de 2008 | 12:18

Veamos que dicen las calculadoras y programas:

Calculadora del Google…………: 0^0 = 1
Calculadora del Windows XP.: 0^0 = 1
GWBASIC………………………………: 0^0 = 1
Calculadora KenKo KK-105B.: 0^0 = Error

¿Alguien puede aportar más resultados?
MATHEMATICA, MAPLE, FORTRAN, etc.
hernan | 20 de Diciembre de 2008 | 15:59

fermat: lo tuyo tampoco me parece una “demostración matemática”, me parece que has leído por arriba el cuerpo del post o tienes demasiada confianza en que las operaciones matemáticas “deben valer” algo, cuando en algunos casos se trata sólo de fijar convenciones (coherentes, eso sí).
Así, el post no pretende “demostrar” que $0^0=1$ , eso no se puede (como tampoco se puede demostrar que no es 1) mientras no tengamos bien definidas los aximoas o reglas que sirven de punto de partida.

A mí me parece muy convincente, según lo expuesto, adoptar la convención $0^0=1$ .

Tu “demostración” de que no puede valer 1 no es concluyente. Aplicas la regla usual del logaritmo de una potencia y llegas a que $0^0=1 \Rightarrow 0 \log 0 = 0$ lo cual, según tú, es una falsedad. Pero a esta objeción pueden darse dos respuestas:
Primero: alguien puede decir: digamos que la regla $\log a^b= b \log a$ es válida, pero solo para $a \ne 0$ . Esto no te gustará (a mí tampoco) pero no creo que haya razones de peso para negarle ese derecho, no se cae nada.
Segundo (más convincente): si damos por buena la aplicación de la regla, todo lo que has demostrado es que aceptar la convención $0^0=1$ nos obliga a aceptar la convención $0 \log 0 = 0$ . Esto a tí te parece absurdo, es una indeterminación porque es “cero por infinito”; pero esta “indeterminación” es en esencia del mismo tipo que la original, nada impide asignarle un valor convencional, mientras no implique incoherencias. Y no veo que las implique.
De paso, esa convención $0 \log 0 = 0$ es muy usada (sobre todo aparece en el cálculo de la entropía de Shannon, cuando consideramos símbolos de probabilidad nula); es cierto que en ese caso suele usarse el argumento del límite para justificarla (ya que ahí es claro que los ceros pueden verse como provenientes de un mismo x que se hace tender a cero).
fermat | 20 de Diciembre de 2008 | 22:42

Hernan mientras no se fijen esas convenciones de las que tu hablas, la demostración esta sujeta a la teoria y la axiomatica actual, por lo tanto es valida.

De aceptar su punto de vista, entonces todas las demostraciones, en todas las ramas de la matemática no serían concluyentes, pues la axiomática es suceptible a cambios.

Esta es la forma filosoficamente ideal que debe tener todo cientifico, y eso esta muy bien, pero a lo que yo voy y analiso segun su critica, es que si un estudiante de secundaria me pregunta en este momento, con la teoria actual que tenemos; ¿si $0^{0}$ pertenece a algun conjunto númerico?, probaria que no. y si me pregunta ¿puede llegar a pertenecer? lo enviaría a que hablara con usted.
fermat | 21 de Diciembre de 2008 | 0:28

señores me e equivocado, ofrezco mil disculpas a Omar y Hernan por mi terquedad;

MI “error” radica en que;

Por definición se tiene:

$\ln{a}^{b}=b\ln{a}$ si y solo si $a>0$

Y yo estoy tomando $a=0$

seguire pensando

por el momento les dejo este link muy interesante sobre el mismo tema; http://eltopologico.blogspot.com/2008/04/cero-elevado-la-cero.html
Sive | 23 de Diciembre de 2008 | 18:12

Lo que parece que no se entiende es que todo esto no es más que una convención. No se trata de pruebas, porque no las hay, como ya ha comentado hernan. En este caso sólo se puede argumentar la conveniencia de adoptar uno u otro resultado, aunque sólo sea en determinados contextos.
Sive | 23 de Diciembre de 2008 | 18:26

En el enlace que ha puesto fermat, el autor desarrolla un argumento a favor del resultado $0^0=1$ . Un argumento que también se ha comentado aquí de pasada.

Sin embargo, es importante dejarlo claro, sigue sin demostrarse nada. Lo único que demuestra la página es que es la convención $0^0=1$ es coherente con la teoría de conjuntos.
Omar-P | 23 de Diciembre de 2008 | 20:32

Si aparece 0^0 dentro de una fórmula para realizar un cálculo práctico en la vida cotidiana, digamos para la construcción de un aparato tecnológico, ¿Qué valor adoptaríamos?. Me parece que lo más conveniente sería adoptar 0^0 = 1.
fermat | 23 de Diciembre de 2008 | 21:00

Sive creo que lo que hace Gustavo en el topo logico, es una prueba valida, no es un simple argumento, ya que los conjuntos numericos, se construyen desde la parte conjuntista, a partir de los cardinales, empezando por los naturales; lo cual creo yo no lo hace ninguna otra rama de las matemáticas, pues siempre en otras ramas aparecen los conjuntos numericos como objetos matematicos sacados de debajo de la manga, por ende la teoria de conjuntos es la mas indicada a precisar el valor de $0^{0}$ , pues se le esta dando el valor al natural cero elevado a la cero (que es tambien un número natural); por lo tanto esto no es ninguna convencion es una demostración, pues para llegar a una convencion no se necesita dar tantas bueltas simplemente se hubiese convenido decir que $0^{0}=1$ , como se hace por recurrencia con el $0!$ , cero factorial si es una convención, pues se le esta dando el valor de 1, sin derecho a reclamos, simplemente con la intencion de que no se presenten inconcistencias mas adelante en la teoria.

Para justificar aun mas esto pueden ver en el libro “INTRODUCTION TO SET THEORY” de Hrbacek y Jech pag 97
o en “SET THEORY” de Jech pag 29.

En estos libros se deja este ejercicio para que sea “demostrado” este hecho.
Sive | 23 de Diciembre de 2008 | 23:56

Antes que nada, si vas hacia atrás en los comentarios, verás que hace mucho tiempo que NuezMoscada comentó esta “demostración” (que para mí no es tal), y ya dije que era una de las que más me gustaban (pero no como prueba, sino como argumento para la convención).

Admito que tiene una fuerte apariencia de prueba, pero es una ilusión. No es una prueba porque toda la demostración se sostiene en una convención local de la teoría de conjuntos.

Me explico: la teoría de conjuntos define la operación de exponenciación como mejor que le interesa, como mejor le conviene (exactamente igual que se hace con todas las operaciones de las matemáticas, tampoco hay que alarmarse por esto).

La teoría de conjuntos, digo, aporta una definición propia de la exponenciación basada en un problema concreto (el de las funciones de A en B). Y en este problema concreto, resulta que sí: $0^0=1$ .

Pero fuera de esta rama de las matemáticas, donde la exponenciación es otra cosa, esto sólo sirve como argumento para la conveniencia.

Obviamente, dentro del contexto de la teoría de conjuntos (como en los libros que comentas), aceptada ya la convención relativa a la exponenciación, si se puede decir que que está probado que $0^0=1$

Además, creo que no es más que el argumento “combinatorio”, agazapado detrás de unas cuantas definiciones.
Wilson | 16 de Enero de 2009 | 5:43

$0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
\begin{equation}
\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}
\end{equation}
saludos
Wilson | 16 de Enero de 2009 | 5:44

$ latex 0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
$latex
\begin{equation}
\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}
\end{equation}
saludos
$
Wilson | 16 de Enero de 2009 | 5:45

$0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
mper23 | 16 de Enero de 2009 | 20:31

Me parece, aunque no me he leído todos los post, que las convenciones numéricas no pueden establecerse si confunden; como hay casos en que la indeterminación 0^0 no da 1, no debe usarse.

También quiero comentar que las funciones no pueden hacerse continuas: o lo son o las cambiamos por otras que sí lo son, pero no son las originales. Creo que a esto contribuye llamar a ciertas discontinuidades “evitables”. ¿Se dan cuenta los evitadores de discontinuidades que a algunos nos gustan mucho las funciones con agujeros?

Estupendo blog, por cierto.
Sive | 30 de Enero de 2009 | 6:41

mper23: no hay ninguna confusión si se matiza (como se hace en el mensaje original del hilo), que la convención no se aplica cuando hablamos de límites. Evidentemente, esta matización implica que la demostración basada en el límite de $x^x$ , es inválida (porque la elección de la función es arbitraria), pero este es un detalle que se ha discutido ampliamente en los comentarios posteriores, y a mi parecer se ha subsanado con argumentos mucho más fuertes.
arkanuz | 7 de Abril de 2009 | 21:23

Hola amigo

Muy buena tu demostracion, casi me la creo, pero hay un problema con la aplicacion de la regla de Hopital y tiene que ver con la continuidad de la funcion 1/x cuando x->0
visita http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
para ver el error, sino lo ven pueden escribirme y lo comento con detalle
saludos
tureyna | 16 de Mayo de 2009 | 2:24

o sea como 0 a la potencia 0 tiene 2 respuestas primero a =1 y segundo a=0 . podrian explicarme xfa
Andor | 18 de Mayo de 2009 | 14:37

Muy sencillo.
Por un lado sabemos que cualquier número elevado a 0 da 1, con lo que $0^0=1$ .
Por otro tenemos que 0 elevado a cualquier número da 0, y con eso tendríamos que $0^0=0$ .
El problema es que el 0 no es “cualquier número” y no debe ser tratado como tal en este caso.
Por eso se dice que este tipo de operaciones están indeterminadas.
Lorena | 23 de Mayo de 2009 | 5:01

ok, me dices q 0º=1 y si decimos q cualquier numero Xº=1 entonces por Propiedad Transitiva de la Igualdad me estás diciendo que 0=X ; x€R, es decir, q 0 es igual a cualquier número??? contraejemplo: 0º=1 ^ 5º=1 como 1=1 ==>0=5????

no entiendo? :-S creo q eso SI es una indeterminación aun cuando no estemos hablando de una función o suseción….!!
Andor | 23 de Mayo de 2009 | 16:36

La potenciación no es una aplicación biyectiva. Las raíces cuadradas tienen siempre dos resultados. Por eso no es correcto aplicar transitividad. Por ejemplo:

2²=4, -2²=4 => 2=-2?

Además 0° es una indeterminación, no es ni 1, ni 0, ni ningún número real.

Es algo mucho más fácil que todo eso:
Se dice que cualquier número real elevado a 0 es 1 por que $\frac{{x}^{y}}{{x}^{y}}=1$ y
$\frac{{x}^{y}}{{x}^{y}}=x^{y-y}=x^0$

También se dice que cualquier potencia de 0 es igual a 0 por que cualquier número multiplicado por 0 da 0:

$0^{y}=0 \cdot 0 \cdot 0 \ldots =0$
Yo | 9 de Junio de 2009 | 8:22

perdon pero no puedes aplicar la regla de l’hopital, no cumple las hipotesis para aplicarla, tu conclusion es falsa, luego cero a la cero no existe de existir dirias que existe la division entre cero, repasa las leyes de los exponentes y veras
Andor | 9 de Junio de 2009 | 15:27

¿Quién dice que he utilizado la regla de l’Hopital?
Simplemente he escrito propiedades de la multiplicación y la potenciación. En ningún lugar he escrito nada sobre límites.
Por favor pensad un poco antes de escribir; como he dicho arriba es mucho más sencillo que todo eso que ponéis, y como también he dicho 0° es una indeterminación. Algo distinto sería hablar de límites cuando x ó y tienden a 0 en $x^y$ .
Espero que ahora esté claro lo que quería decir.
karla | 21 de Junio de 2009 | 20:10

hola mira en la buskeda de mira tarea de probabilidad me encontre con un dilema no entinedo el porque de cero factorial(0!) es =1 y al explicacion ke encontre no me es muy clara para sali de duda…
sugerencia podrian poner mas maneras de como saber el por que del cro factorias es uno.
gracias
kiwi23 | 8 de Julio de 2009 | 16:38

mm… interesantes los comentarios
a mi me explicaron 0! con el triangulo de tartaglia y elemental teoria de conjuntos, me gusto mucho, aunque tambien decir que la explicacion de diamond es tambien clara y sencilla

respecto a 0^0…. he visto la explicacion mediante los limites y si esta bien, pero me ha surgido una pequeña duda:
cualquie numero elevado a 0 es 1 no? bueno la demostracion mas sencilla y clara es esta:
teniendo en cuena la regla de potencias: podriamos tener:
x^y/x^y, pero eso es igual a x^(y-y) q es igual a x^0
pero como x^y/x^y es 1, pues x^0=1
ahora aplicando la misma logica respecto 0^0….
sabemos que 0^x siendo cualquier numero distinto de 0 q es lo q queremos saber, pues es igual a 0…
entonces tenemos 0^x/0^x = 0^(x-x) q es igual a 0^0, pero si 0^x es 0, tenemos al final que es igual a 0/0 que si es una indeterminacion…
pues ahi tengo la dudilla, si alguien me puede decir en que me he equivocado! gracias
Nicolás Milano | 8 de Julio de 2009 | 17:51

Yo tengo una pequeña duda (perdonen si es una tontería) : la función factorial… ¿tiene inversa?
Es decir, si tenemos por ejemplo la ecuación n!= a, ¿podemos, si conocemos el valor de a, conocer el valor del factorial sin tener que estar probando por tanteo hasta llegar al resultado? ¿Hay alguna fórmula que nos permita hacer eso? ¿Hay una fórmula inversa del factorial? ¿Es la función factorial biyectiva? Desde ya muchas gracias.
Dani | 8 de Julio de 2009 | 18:13

La función factorial está definida en los naturales. Si consideras el conjunto de llegada los naturales también, por supuesto no tiene inversa. Que es creciente creo que es evidente, pues $(n+1)!=(n+1)n!>n!$ , pero como 2!=2 y 3!=6, el 5 por ejemplo no tiene preimagen (además de muchísimos pares ningún impar mayor que 1 la tiene, evidentemente). Si consideras el conjunto de llegada como la imagen de la función factorial está claro que sí tiene inversa, pues como dije es estrictamente creciente. El conseguir una fórmula creo que no es trivial, pero se puede probar. El caso es que hay tan pocos números que estén en la imagen del factorial que no es algo intuitivo ni mucho menos.
PD: Las cosas salen muchísimo más elegantes si usas la función gamma, lo que pasa es que está función va de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y no es biyectiva. Si la restringes a $[1,+\infty)$ sí lo es, y entonces creo que se podría encontrar (en principio) una descripción analítica de la inversa restringida. A ver si alguien se anima a intentarlo.
Nicolás Milano | 8 de Julio de 2009 | 18:21

Gracias, Dani. Sinceramente no tengo idea de cómo conseguir la fórmula (vale decir que mis conocimientos sobre análisis matemático son bastante pobres), pero igual será una experiencia interesante. Muchas gracias.
Alberto Cid | 9 de Julio de 2009 | 10:02

kiwi23,
Tu razonamiento no es válido.
x^y/x^y no es siempre 1 …
En el caso en que x^y fuese 0 no puedes hacer eso.
Y es que precisamente en el caso que estamos tratando x^y podría ser cero… Sea x=0 , sea y distinto de cero : x^y=0
Si x es distinto de cero, x^y distinto de cero y la prueba sería válida: x^0 = 1 cuando x distinto de 0
carlos | 25 de Julio de 2009 | 3:30

epale, ya va, eperame un pelo, no se supone que cero elevado a la cero es cero, ya que como se puede multiplicar un cero por nada, por ejemplo:
1 elevado a la 2 seria 1*1
2 elevado a la 3 seria 2*2*2

pero como me como esa de que cero elevado a la cero es uno, te lo creo si me dices 1 elevado a la 1 o elevado a la 2 o a la enesima potencia, CHAMO, MATEMATICA ELEMENTAL DE PRIMARIA, Y DE SECUNDARIA, NO ME VENGAS CON FRASES ENREDADAS Y CON FORMULAS QUE TAN SOLO TU Y DIOS ENTIENDEN
makoto | 17 de Agosto de 2009 | 2:10

Lo que quisiera saber es porque el factorial de cero es
1, si sacas factorial de 1 es porque lo estas multiplicando
por 1, pero con el factorial de cero no estas multiplicando
nada, acaso cero solo no es un numero vacio.
Agustin | 25 de Agosto de 2009 | 16:32

Yo quiero analizar una función (sucesión) y me gustaría que me ayuden. Que me dicen de lo siguiente:

n^n/n!
mper23 | 25 de Agosto de 2009 | 22:26

(A Sive, hace muchos meses): Si matizamos lo bastante, seguro que podemos poner 0⁰=37,o 0⁰=i, por ejemplo. Bromas aparte, no me veo intentando hacer que las matemáticas se entiendan mejor defendiendo esta convención. Los que la podemos admitir, con más matices o menos, ya estamos curados de espanto.
sergio | 20 de Octubre de 2009 | 6:45

0!=1, no solo es por convencion. Una forma de expresar a la funcion n! es mediante la funcion gamma, definida como ∫(e^(-x))(x^(n-1))dx, valuada de 0 a infinito. Así, Γ(n)=(n-1)!. Por lo tanto, Γ(1)=0!, y como Γ(1)=∫e^(-x)dx desde 0 hasta infinito, y esta integral vale 1, entonces 0!=1.

yo no se nada, solo lo lei en yahoo respuestas y creo que la persona tiene razon.
Neto | 21 de Octubre de 2009 | 16:42

no estoy muy deacuerdo con la demostracion del principio, observen esto:

0^0=0^(a-a)=(0^a)*(0^-a)=(0^a)/(0^a)

de lo anterior se pueden afirmar dos cosas:

1.-como cualquier cantidad dividida por si misma es 1 entonces lo anterior es 1.

2.-si efectuamos las potencias, obtendriamos 0/0, esto se dice que no esta definido (diferente a indefinicion), porque recuerden que en un cociente lo que buscamos es un numero que al multiplicarse por el denominador nos de el numerador:

4/2=2 porque 2*2=4
18/3=6 porque 6*3=18

pero en el caso de 0/0 necesito un numero que multiplicado por 0 me de 0, es decir esto puede cumplir con:

0/0=c

donde c puede ser cualquier numero que pertenezca a los reales. por lo tanto 0^0 no esta definido.
sive | 26 de Octubre de 2009 | 10:30

Neto, sigamos tu demostración pero para 0^3, por ejemplo:

0^3=0^(5-2)=(0^5)*(0^-2)=(0^5)/(0^2)

Si desarrollamos el numerador y el denominador llegamos a 0/0 y por tanto 0^3 es indefinido.

Sin embargo sabemos vale cero.

Algo falla
Koy | 16 de Noviembre de 2009 | 19:30

Sive y Neto cometen un error cuando utilizan en sus “demostraciones”

$0^{-a}=\frac{1}{0^{a}}$

ya que dicha propiedad se utiliza siempre y cuando la base sea diferente de cero.

Seria bueno que miraran este blog http://eltopologico.blogspot.com/2009/07/otra-addenda-00-1.html
Joaquín | 11 de Diciembre de 2009 | 10:13

Hola,

Tened cuidado porque en el artículo estáis suponiendo ciertas implicaciones que son falsas:

Primero, definís una función $f(x)=x^x$ ,

Si calculamos $\lim_{x\to0}f(x)$ , nos encontramos con que ese límite no existe, ya que como:

$\lim_{x\to a} f(x) \Leftrightarrow \lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to a^-} f(x)$

y en nuestro caso $\lim_{x\to 0^+} f(x)\neq \lim_{x\to 0^-} f(x) \Rightarrow \nexists \lim_{x\to 0} f(x)$

No se puede tomar logaritmos después! porque ahí estáis suponiendo que existe A tal que $\lim_{x\to 0} f(x)=A$ y este límite, ya se ha demostrado que no existe!,

Entonces, lo que hacéis después de suponer esto, no tiene porqué ser cierto.

Una cita curiosa, que comenta distintas opiniones sobre este asunto, la podéis consultar en:

http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf

Inclusive el argumento que os pongo de los limits laterales.

un saludo

un saludo
gaussianos | 11 de Diciembre de 2009 | 15:00

Joaquin, el límite cuando $x \to 0^-$ no se puede calcular ya que esa función no está definida para números negativos.
Trackback | 27 Dic, 2009

¿Cuánto vale 0 elevado a 0? « Al margen de Fermat
C.P.R. | 9 de Enero de 2010 | 14:13

Buenas.

Me parece fascinante la discusión.
No soy una experta en el tema, no soy matemática, pero me parece muy interesante. Lo añado a favoritos.

Un saludo, C.P.R.
agsutina mendieta | 9 de Marzo de 2010 | 22:03

gracias me rerererer sirvio
Victor Manuel | 20 de Marzo de 2010 | 4:55

A ver…

3/3=1
2/2=1
1/1=1
¿0/0=1?

Por otro lado

0/3=0
0/2=0
0/1=0
¿0/0=0?

Es decir, 0/0 esta indeterminado

Ahora, si:

a^n/a^n=a^0

y además

a^n/a^n=(a/a)^n

entonces: a^0=(a/a)^n

si a=0

entonces 0^0=(0/0)^n

pero como 0/0 esta indeterminado, entonces 0^0 es indeterminado.

¿Cómo ven?
Victor Manuel | 20 de Marzo de 2010 | 5:01

Hum-Sa:
Me mentiste…

indivisa manent
HM2P33 | 20 de Marzo de 2010 | 19:55

Bueno quería ver si puedo dar una explicación a mi modo de ver “lógica” de porque 0^0=1

Si definimos la potenciación de números enteros, veremos que el exponente corresponde a la cantidad de veces que aparece la base por si misma en el producto:
Siguiendo este concepto se tiene:

0^0= 1. 0^0 (por axioma de los nº reales)
1. 0^0= 1 (ya que el cero al estar elevado a la cero, no figura ninguna vez la base multiplicándose por si misma, es decir si fuera 0^1 la base aparecería una vez multiplicando. Pero como esta elevado a la cero, es como si no existiera. De ahí que cualquier número elevado a la cero sea igual a 1)

supongamos a^0 = 1 . a^0 = 1 (como la base no figura multiplicando ninguna vez)

Bueno esta explicación fue la que se me ocurrió para explicar este resultado. De igual forma no tengo demasiada formación matemática aún (estoy en primer año de Lic. en Física), pero espero haber podido aportar algo útil.

Muchos Saludos y felicitaciones por el blog!
Trackback | 22 Mar, 2010

Los números de Munchausen | Gaussianos
Gabriel | 25 de Marzo de 2010 | 10:15

Estoy alucinado.
Parece que la gente no entiende lo que es una indeterminación.
josejuan | 25 de Marzo de 2010 | 22:20

Gabriel, no seas tan intransigente.

Por supuesto que estrictamente cualquiera de las expresiones enunciadas es indeterminado, pero éstas, según en qué contextos se traten, son consideradas determinadas o bien (si lo prefieres) se les da un sentido determinado.

Por ejemplo, si bien t/t es indeterminado cuando t=0, con t->0 se considera 1 (algo elemental en análisis para extender continuidad a una función discontinua).

Por eso, al contrario que tú, opino que abrir este tipo de cuestiones es muy interesante, sobre todo para que la gente que no lo conozca, no le extrañen cosas como que en tal problema se llega a (informalmente) que 0/0=1.
Gabriel | 26 de Marzo de 2010 | 21:03

Vamos a ver JoseJuan.
Las dos expresiones NO son una indeterminación. 0! es uno. El factorial de un número es un caso particular de la función gamma, y utilizando dicha función, se ve fácilmente (resolviendo una integral inmediata) que el faltorial de cero es uno.
Ahora bien, 0^0 es una indeterminación. No vale uno, ni dos, ni tres… ¿Cuánto vale? No está definido su valor. No tiene valor. Ahora bien, sí se puede determinar a qué valor se acerca una función del tipo X^Y cuando X se acerca a cero y cuando Y también lo hace. Y resulta que dicho valor depende del ritmo al que X e Y se acerquen a cero. Luego no podemos decir que X^Y se acerque siempre a un mismo valor, para poder así asignar dicho valor a 0^0.
Éste es el significado de una indeterminación, 0^0 puede tomar cualquier valor dependiendo del ritmo al que se acerque la base y el exponente a cero. En consecuencia, no podemos definirle un valor concreto… es una indeterminación.
Por ejemplo, 3^2 es 9, y cualquier función del tipo X^Y que nos inventemos, donde X se acerque a 3 e Y se acerque a 2, siempre se acercará su resultado a 9. No depende de cómo sean estas funciones. Por eso, no es una indeterminación, vale siempre 9.
Gracias.
Sive | 30 de Marzo de 2010 | 10:55

Gabriel, que cuando se estudian límites digamos (y demostremos) que 0^0 es infinito, no es incompatible con que se adopte la convención de que 0^0 (sin más, sin límites) es cualquier otra cosa, siempre que la conveniencia se argumente adecuadamente.

Por ejemplo, cuando calculando un límite llegamos a 1 elevado a infinito, automáticamente concluimos que se trata de una indeterminación, porque matemáticamente se ha demostrado que es así.

Sin embargo, 1 elevado a infinito, sin más, es 1.
Gabriel | 30 de Marzo de 2010 | 14:52

Sive… perdona que te diga que no entiendes el concepto de indeterminación. ¿De verdad crees que si a 0^0 se le pudiera dar un valor, no lo habría hecho ya alguno de los genios que han existido? Hemos tenido que esperar a que se invente Internet para que cualquiera lo diga en un blog.
Con lo que me has dicho de uno elevado a infinito, me terminas de demostrar de que no te enteras. Por supuesto que uno elevado a un número cada vez más grande tienede a uno, pero un número que tiende a uno elevado a un número que tiende a infinito, no tiene que ser uno. De hecho, dependiendo del ritmo al que se acercan las sucesiones a uno y a infinito, puede dar cualquier valor. Por eso, es una indeterminación.
Está mal dicho decir que uno elevado a infinito es una indeterminación, puesto que es uno. Lo que hay que decir es que algo que tiene a uno elevado a algo que tiende a infinito es una indeterminación.
Perdona la rudeza, pero es que me molesta mucho cuando me encuentro en Internet cosas como estas. Primero, hay que coger un libro serio y mirar qué son las cosas. Para no decir disparates.
Gracias.
^DiAmOnD^ | 31 de Marzo de 2010 | 4:45

Si la gente fuera capaz de leer razonadamente todo lo que dice en este artículo y en los comentarios (tantos en los míos como en los de muchos otros) no se dirían ciertas cosas. Pero lo voy a volver a intentar:

Gabriel, dime en qué lugar del artículo se dice que el límite de una sucesión con límite cero elevada a otra sucesión con límite cero da resultado 1 y estaré encantado de borrarlo. Por favor, vuelve a leer el comentario de Sive (que, por cierto, has tratado de forma tan despectiva) e intenta entenderlo.

Ah, y no, no hemos tenido que esperar a que aparezca Internet para que cualquiera lo diga en un blog, el hecho de que $0^0=1$ sea el convenio más razonable está fundamentado desde hace tiempo y de más de una forma. Date una vuelva por El Topo Lógico y busca los artículos que tienen publicados en relación con este tema.
Omar-P | 31 de Marzo de 2010 | 9:13

0^0 es una indeterminación. Pero si se hace necesario adoptar un resultado numérico entonces el convenio mas razonable es decir que 0^0 = 1.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000007
josejuan | 31 de Marzo de 2010 | 9:34

“…el límite de una sucesión con límite cero elevada a otra sucesión con límite cero da resultado 1…”

Yo lo digo ¡que pasa! ( ;P )

$\lim_{x\rightarrow 0}x^{x}=\allowbreak 1$

¿algún problema?

Y ya que repito, me expliqué mal al decir “enunciadas”, debí decir “enumeradas” pues me refería a la serie de indeterminaciones que han ido saliendo en todos los post (yo no he escrito en ningún sitio que 0! sea indeterminado, como Gabriel me ha adjudicado).

Gabriel dice: …Éste es el significado de una indeterminación, 0^0 puede tomar cualquier valor dependiendo del ritmo al que se acerque la base y el exponente a cero. En consecuencia, no podemos definirle un valor concreto… es una indeterminación….

Errónea conclusión, tú puedes tomar límites diferentes L1, L2, … para que te den valores diferentes en el límite (y1, y2, …), pero una vez fijado el límite en estudio, podrás determinar si su límite es un valor contreto o realmente indeterminado.

Un ejemplo muy claro lo puedes ver en

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero#Divisi.C3.B3n_por_cero_en_los_n.C3.BAmeros_reales

Es decir, que nadie dice que 0/0 no sea indeterminado (que es en lo que te cierras), únicamente, que al estudiar los límites puedes dar un valor concreto a la indeterminación que se produce en el límite (es decir, en 0).

Y la utilidad de todo ésto que tú directamente desechas, es (entre otras) extender funciones no definidas en algún punto, a las que se les extiende.

Tómate por favor las dos funciones siguientes:

f1(x)=x/x
f2(x)=x^2/x

según tú, nada se puede hacer con ellas en x=0.

Sin embargo, es habitual redefinirlas “añadiéndoles” el punto en cuestión, es decir

$g_{1}(x)=f_{1}(x)~si~x\prec \succ 0$
$g_{1}(x)=1~si~x=0$

$g_{2}(x)=f_{2}(x)~si~x\prec \succ 0$
$g_{2}(x)=0~si~x=0$

Que sí, que f1(0) sigue siendo indeterminado, ¡pero los límites han dado un valor definido a las funciones! y éstos límites no han sido arbitrarios (sino, por favor, mírate la definición de límite de una función).

Y también, como estarás pensando, efectivamente podríamos haber hecho

$g_{1}(x)=123456~si~x=0$

y tan contentos (hemos quitado igualmente la indeterminación), pero entonces ya no estamos hablando del valor que una expresión indeterminada puede adoptar usando límites, sino de poner un valor arbitrario.

Sólo siento el tono en que deriva la conversación, sigo pensando que abrir éste tema puede ser muy productivo para quienes están estudiando.
Gabriel | 12 de Abril de 2010 | 10:15

Hola nuevamente.
* Lo primero, es que quiero pedir disculpas a Sive y a todo aquel que le haya molestado el tono de mi anterior intervensión. No quiero crispar ningún foro. Estoy de acuerdo en que lo primero es la educación.
* Lo segundo, es que no comprendo que a 0^0 se le quiera asignar un valor que sea el límite de una función particular para hacerla continua. ¿Qué pasa con las otras funciones que dan un valor distinto a 0^0?
Por supuesto, que los límites que ha puesto josejuan más arriba son los que se han utilizado para hacer esas funciones contínuas. El problema es que no todas las funciones del tipo de g_1 (por ejemplo) dan como límite 1. Luego al límite de cero partido por cero no se le puede dar el valor 1 intentando que sea válido para cualquier función que tienda a cero parido por cero. Es sólo cierto para esa función y otras más, pero no para todas.
Igualmente ocurre con 0^0, dependiendo de la función, tomará un valor u otro. Luego no le podemos asignar un valor a 0^0 ya que su valor depende de la función que se acerque a dicho límite.
Por el contrario, a 3^0, sí que le podemos asignar un valor, puesto que cualquier función que fabriquemos cuyo límite sea 3^0 veremos que SIEMPRE da 1. Por eso, 3^0 no depende de ninguna función. Por eso, a 3^0 se le puede dar el valor por convenio de 1 para hacer continuas a todas las funciones que tienden a 3^0.
* Lo tercero. De verdad que creo que estamos discutiendo algo muy básico. Seguramente también podamos discutir si 2+2 son cuatro o no. Si repasamos los apuntes de análisis matemático veremos qué es una indeterminación.
Bueno… Gracias.
Vicente | 4 de Junio de 2010 | 14:40

Cero elevado a cero es una indeterminación como una catedral de grande, al igual que cero entre cero y muchas otrás indeterminaciones. Nada tiene que ver con que sea el valor de una función a que sea un valor numérico. El que diga lo contrario está confundiendo al personal que lee esta noticia. El que quiera que haga la prueba y con una calculadora pruebe a elevar el cero al cero, etc.

NO confundamos más a la gente que se hace lío con las matemáticas.

Un saludo.
Omar-P | 4 de Junio de 2010 | 15:35

Tienes razón en decir que cero elevado a la cero es una indeterminación, pero decir que se puede utilizar una calculadora como prueba no es correcto. Fíjate por ejemplo en la calculadora del escritorio de WINDOWS y verás que 0^0 = 1. Claro que, en otras calculadoras, puede aparecer la indeterminación, pero eso no ocurre en todas las calculadoras ni en todos los lenguajes de programación. Hay software que produce ciertos errores y por ello no pueden considerarse estos resultados como pruebas matemáticas.
Vicente | 4 de Junio de 2010 | 16:18

Omar-P evidentemente lo de la calculadora era una prueba fácil, y me refería a una calculadora científica, no a una escolar y menos a la del Windows. La calculadora lleva un programa que si está bien hecho mostrará error al elevar cero a cero o mostrará indeterminación. Simplemente digo que este artículo confunde a las personas que dudan en las matemáticas y crea mucha confusión. Y que decir que 0 elevado a 0 es 1 es generar una confusión innecesaria cuando está claro que es una indeterminación al igual que el 0 dividido entre 0. Pero no hay que tener miedo a las indeterminaciones, las indeterminaciones no son más que la evidencia de la exactitud. Porque lo que no se puede contar al dividirlo entre nada nos da un resultado sin concretar y por tanto es indeterminado.
Naka Cristo | 6 de Junio de 2010 | 12:31

Cuando decimos que $0^0$ es una indeterminación sólo queremos decir que es un punto donde no se cumple $\lim_{x\rightarrow a}{(f(x))}^{g(x)}={(\lim_{x\rightarrow a}f(x))}^{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}$ .

Pero eso no implica que no podamos definir el valor de $0^0$ . Claro, seguirá sin poderse aplicar la fórmula de límites. Pero puede sernos útil (y consistente) definirlo como 1 para cuestiones de combinatoria.
Milagros | 8 de Junio de 2010 | 6:11

Porfa ayuda con esta serie que no me sale
1,1,1,1,2,24,x
Cuanto vale x……
por favorrrrrrrrrrr
josejuan | 8 de Junio de 2010 | 8:49

Pues realmente puede ser cualquier valor, pero yo diría que x=246
josejuan | 8 de Junio de 2010 | 8:50

…
Bruno Giordano | 11 de Junio de 2010 | 4:26

Es que sí, puede ser cualquier valor.

Yo, personalmente, elegiría x=48, siguiéndola de la siguiente manera:

1,1,1,1,2,24,48,816,1632,3264,64128,128256,…

Pero lo cierto es que se pueden conjeturar muchas cosas de ello: tantas como uno quiera.

Sobre el tema principal del artículo: bueno, definir 0^0 = 1 simplificaría la definición de x^x para que esta función fuera contínua en todos sus puntos, ahorrándonos la definición en dos renglones: f(x)= (x^x ↔ x≠0 ˅ 1 ↔ x=0)

Sobre que 0! valga 1, es una desición tan arbitraria como decir que x^0 = 1. Normalmente ese tipo de convenciones se realizan para preservar alguna propiedad al extender una definición; en el último caso: x^a = x^(0+a) = x^0.x^a, donde obviamente sirve que x^0 sea definido como 1.
Naka Cristo | 11 de Junio de 2010 | 8:54

Terence Tao ha hecho un buzz relacionado con $0^0$ .

http://www.google.com/buzz/114134834346472219368/hTVJiP5LoPb/Bill-Thurstons-On-proof-and-progress-in
Sive | 14 de Junio de 2010 | 13:06

Creo que esta discusión (o debate, si os gusta más la verborrea moderna), no llega a ninguna parte porque para empezar ni siquiera estamos de acuerdo en algo fundamental, que sólo se ha nombrado de pasada (salvo josejuan, que sí lo ha tratado con más profundidad).

A saber: que cero elevado a cero, es lo que acordemos que sea.

¿De verdad alguien cree tener una prueba irrefutable que demuestre que cero elevado a cero es indeterminado, o uno, o cero, o lo que sea?

La espero ansioso.
Jonas Castillo Toloza | 14 de Junio de 2010 | 23:28

una de las leyes de la potenciaciòn dice que a^b/a^c = a^(b-c)
si b = c tenemos a^b/a^b = 1
si b= 0 nos queda a^0/a^0 = 1
a puede ser cualquier valor incluyendo el cero
Sive | 15 de Junio de 2010 | 14:40

@Jonas Castillo Toloza, ya se ha comentado esa ‘demostración’, que no es tal, en el comentario:

http://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/#comment-30682

… y siguientes.
seba | 23 de Junio de 2010 | 4:03

Hola
Yo lo explicaria de esta manera:
para X#0.
X^1=(X x 0)+ X;
X^2=X x X;
X^3=X x X x X;
X^N=X x X x X x X….x X(n veces) n#0;
X^0=(X x 0)+1;
y para este caso:
0^0=(0 x 0)(de la nada no se puede ser nada); a mi entender 0^0=0;
Y en el caso del factorial
X!=X(X-1)(X-2)…..(X-(X-1)
Se usa esta formula:
X!/(X-K)! ; X>K
por ejemplo si queremos sacar 4 cartas de un mazo de 52 cuantas combinaciones pueden haber reemplazamos:
52!= 52!/(52-4)!=52×51x50×49x48!/48!(se simplifican los factoriales)
=52×51x50×49=6.497.400
para el caso de 0! reemplazo;
0!/(0-0)!=0!/0!
=1×1!/1!(simplifico los factoriales);
=1×1=1;
no parece descabellado.
PD: Igual si no me acerco a lo del debate lo del Factorial me parece que es un convenio por que si no fuese 0!= 1;quedaria asi:axa-1xa-2x….x(a-a+1)x0=0;
y toda la multiplicacion consecuente multiplada por cero, el resultado seria cero,entonces no tendria sentido que existiera el factorial.
Saludos