¿Cuántos poliedros regulares hay?

La respuesta a la pregunta que aparece en el título de este post es bastante conocida, y por internet se puede encontrar gran cantidad de información al respecto. Muchos de nosotros sabemos que solamente existen cinco poliedros regulares (hablamos de poliedros convexos) y que las demostraciones de este hecho son tan sencillas como variadas.

En este blog ya apareció una en este comentario de nuestro lector Dani, en el post sobre la fórmula de Euler. Lo primero que vamos a hacer en este post es dar esta demostración, pero escrita de manera diferente intentando que se entienda lo mejor posible.

Demostración de que hay cinco poliedros regulares

Como todos sabemos, un poliedro es una figura tridimensional limitada por polígonos regulares, que son las caras del poliedro. Se llama arista al segmento común a dos caras y vértice al punto donde concurren tres o más caras.

Para que el poliedro sea regular se tiene que dar que todas sus caras sean polígonos regulares iguales y que en cada vértice concurran el mismo número de caras. Por otra parte, si tomamos las caras que concurren en un vértice y las aplastamos hasta que queden en un plano, el ángulo formado por todas ellas debe ser menor que 360º, ya que si es igual o mayor que 360º no se podrá formar un poliedro regular convexo.

Bien, sabiendo todo esto lo que vamos a hacer es ir valorando todas las posibilidades. Supongamos que queremos formar un poliedro con triángulos equiláteros (recordad que las caras deben ser polígonos regulares), donde, como sabemos, cada ángulo mide 60º. Podríamos juntar tres de ellos para formar un vértice, obteniendo un ángulo de 180º. Como es menor que 360º esta configuración sería válida. De hecho da como resultado el tetraedro:

Tetraedro

También podríamos juntar cuatro triángulos equiláteros para formar un vértice. En este caso formarían un ángulo de 240º, que al ser también menor que 360º dará lugar a otro poliedro regular, el octaedro en este caso:

Octaedro

Y podríamos juntar cinco triángulos equiláteros, formando así un ángulo de 300º, menor que 360º también. Tenemos así otro poliedro regular, el icosaedro:

Icosaedro

¿Qué ocurre si tomamos más de cinco triángulos equiláteros? Pues que el ángulo que formaría el desarrollo plano de esa configuración sería mayor o igual que 360º, por lo que no tendríamos un poliedro regular convexo.

Pasemos a la siguiente opción, el cuadrado, en el que cada ángulo mide 90º. Si tomamos tres cuadrados obtenemos un ángulo de 270º, menor que 360º, por lo que tenemos poliedro regular, el cubo (o hexaedro):

Cubo

Si tomamos cuatro cuadrados o más, el ángulo que se formaría es mayor o igual que 360º, por lo oque tampoco nos sirve.

Pasamos al pentágono regular, cuyos ángulos miden 108º. Si tomamos tres de ellos tendríamos un ángulo de 324º, que al ser menor que 360º nos da otro poliedro regular más, el dodecaedro:

Dodecaedro

Si tomamos cuatro o más pentágonos tendríamos un ángulo mayor que 360º.

Siguiente opción, el hexágono regular, en el que los ángulos miden 120º. Tomando tres de ellos ya tendríamos un ángulo de 360º, hecho que descarta la posibilidad de que se pueda construir un poliedro regular convexo con hexágonos.

Y de aquí en adelante la situación es análoga. Con cualquier polígono regular con más de seis lados se tiene que al juntar tres de ellos iguales el ángulo formado es mayor que 360º, por lo que no se puede construir un poliedro regular con ellos. Tenemos así demostrado que solamente existen cinco poliedros regulares convexos.


Esto se cumple si hablamos de \mathbb{R}^3, de tres dimensiones. ¿Qué ocurre en el resto de casos, tanto menores como mayores que 3? Bien, en realidad os he engañado un poco. En el título del post no debería poner poliedro, sino polítopo, que es la generalización a dimensión n de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro. Es decir, vamos a ver cuántos polítopos regulares hay en cualquier dimensión, sean irracionales o no.

¿Cuántos polítopos regulares hay?

Vamos a partir de lo que ya conocemos, de lo que ocurre en dimensión 3, para ir hacia abajo y hacia arriba. Cada poliedro regular en \mathbb{R}^3 tiene un cierto número de caras, que son polígonos en \mathbb{R}^2. Sabemos que existen infinitos polígonos regulares: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, etc. Por tanto en dimensión 2 hay infinitos polítopos regulares. Y cada uno de ellos está limitado por segmentos, por lo que en dimensión 1 existen un único polítopo regular: el segmento. Ya tenemos completo el camino hacia abajo. Veamos qué ocurre cuando aumentamos la dimensión.

Comenzamos con dimensión 4, en \mathbb{R}^4. Para construir un polítopo en \mathbb{R}^4 podemos tomar como cara cualquiera de los cinco poliedros regulares que hay en \mathbb{R}^3. Bien, pues con ellos podemos construir seis polítopos regulares en \mathbb{R}^4, que son el pentacorón (análogo del tetraedro), el hipercubo (análogo del cubo), el hexadecacoron (análogo del octaedro), el hecatonicosacoron (análogo del dodecaedro), el hexacosicoron (análogo del icosaedro) y el icositetracoron (sin análogo en tres dimensiones).

En dimensión 3 hay 5, en dimensión 4 hay 6…¿y en dimensión 5? Pues…3. Sí, hay 3 polítopos regulares en dimensión 5: el hexateron (equivalente al tetraedro), el penteracto (equivalente al cubo) y el triacontakaiditeron (equivalente al octaedro), que se construyen con los seis polítopos regulares de \mathbb{R}^4. No hay más.

Y lo curioso es que en dimensiones superiores ocurre lo mismo: no hay más que tres polítopos regulares para n mayor o igual que 6, que son el n-tetraedro, el n-cubo y el n-octaedro.

Recapitulando, tenemos lo siguiente:

Dimensión Nº de polítopos regulares
1
1
2
Infinitos
3
5
4
6
>4
3

Curioso que no haya una aparente relación entre las distintas cantidades de polítopos regulares en todas las dimensiones. Aunque posiblemente si dicha relación existiera sería aún más curioso, ¿verdad?

Quiero terminar con una frase de Claudi Alsina, autor del libro Las mil caras de la belleza geométrica, de la colección El mundo es matemático, que es de donde saqué la idea de este artículo:

Así, la regularidad omnipresente para n \ge 3 es la del n-cubo, n-tetraedro y n-octaedro; la regularidad en la línea es simple convexidad; el plano es rarísimo; el icosaedro y el dodecaedro son dos regalos del cielo, auténticas patologías espaciales, y el espacio de cuatro dimensiones es muy extraño respecto a todos los espacios que están más allá de la tridimensionalidad.


Las imágenes de los poliedros regulares en dimensión 3 son de la página Poliedro Regular de la Wikipedia en español.

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16 comentarios

  1. 161803398874 | 16 de agosto de 2011 | 11:42

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    Curioso, me lo comentaron en una asignatura: “Geometría e Imaginación” que la daba Ceferino Ruíz que seguro conoces, pero nunca había indagado más allá de ahí. La demostración de que en dimensiones mayores que 3 existen exactamente esos ¿es también simple o engorrosa?

  2. Trackback | 16 ago, 2011

    Bitacoras.com

  3. Trackback | 16 ago, 2011

    ¿Cuántos poliedros regulares hay?

  4. gaussianos | 16 de agosto de 2011 | 13:25

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    Pues el caso es que no conozco las demostraciones para n > 3, pero supongo que serán complicadas.

  5. Anonimous | 16 de agosto de 2011 | 13:38

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    Sobre los de Dimensión 2, no estoy de acuerdo con como se ha calculado, yo iría por otro lugar, que polígonos regulares son capaces de completar una superficie:
    Triangulo.
    Cuadrado.
    Hexágono.
    Creo que esta visión se ajusta más al espíritu de los polítopos que aquí se describen.
    En cuando a los de dimensión 1, creo que carece de sentido plantearlo.

  6. 161803398874 | 16 de agosto de 2011 | 13:44

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    Anonimous: Lo que planteas en dimensión dos no tiene nada que ver con cuántos polígonos regulares hay, si no más bien con qué polígonos regulares sirven para completar la teselación de un plano.

  7. zurditorium | 16 de agosto de 2011 | 14:59

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    Buenas, buen post. La verdad es que no sabía cuantos habría para dimensiones mayores a 3, no me lo había planteado nunca. Bueno, tenía claro que al menos 1 habría y de hecho me esperaba que en dimensión 4 hubiese menos que en dimensión 3.

    Por cierto, al principio del post pones “hablamos de poliedros convexos”. Y ciertamente en algunos sitios se puede leer que existen poliedros regulares no convexos. Pero lo cierto es que cuando se habla de poliedros regulares no convexos (sólidos de Kepler-Poison http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_de_Kepler-Poinsot), estos lo son dependiendo de qué entendamos exactamente por poliedro. Por ejemplo, el gran dodecaedro se dice que es un sólido regular cuyas caras son pentágonos, pero claro, ¿por qué sus caras son pentágonos y no triángulos? ¿Las caras de un poliedro están claramente definidas?

    En fin, ya sé que me estoy saliendo un poco de lo que se comenta aquí, pero es que al especificar lo de regulares, me ha venido a la cabeza. Y en mi opinión, al hablar de poliedros regulares no convexos, habría que dejar bastante claro que es lo que se entiende por poliedro y por cara.

  8. gaussianos | 16 de agosto de 2011 | 16:27

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    Cierto, son casos raros los no convexos, por eso los saqué del post. El caso es que yo también entendería que son triángulos, aunque parece que se considera que las caras son pentágonos. Es posible que haya que especificar muy bien el concepto de poliedro.

  9. 161803398874 | 16 de agosto de 2011 | 16:35

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    No lo entiendo, ¿por qué consideráis que las caras son triángulos y no pentágonos?

  10. zurditorium | 16 de agosto de 2011 | 17:08

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    @161803398874, mírate el enlace que he puesto:

    http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_de_Kepler-Poinsot

    Y mira la figura del GRAN dodecaedro (con gran incluido, no confundas con dodecaedro). Por si en esa imagen no ves bien la figura, te paso una foto de un puzzle que tengo que se llama Alexander Star y que tiene la misma forma, ahí a lo mejor lo ves más claro:

    http://www.rubikaz.com/imagenes/coleccion/miniaturas/alexander.jpg

  11. 161803398874 | 16 de agosto de 2011 | 17:18

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    @zurditorium
    Gracias, ahora mejor, es que lo de “gran” me lo había comido como bien has notado. De todas formas, aún así, no entiendo muy bien lo de las caras, como vosotros decís, está un poco confuso, no sé si la clave del asunto estará en esta frase de la wikipedia:
    “Las caras están solo parcialmente en la superficie del sólido, y las partes expuestas están sólo conectadas en puntos (si están conectadas de algún modo). Si las partes se cuentan como caras separadas, el sólido deja de ser regular.”

  12. Kovalevsky | 16 de agosto de 2011 | 20:37

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    ¿Existe alguna figura geométrica de dos lados?

  13. jbgg | 16 de agosto de 2011 | 23:40

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    El post es muy bueno, es muy interesante esto de los polítopos…

    Pero un matiz con el razonamiento para la dimensión 1, haces el siguiente razonamiento:

    (…)Por tanto en dimensión 2 hay infinitos polítopos regulares. Y cada uno de ellos está limitado por segmentos, por lo que en dimensión 1 existen un único polítopo regular: el segmento.(…)

    El argumento no es válido. Para verlo si lo aplicaramos para demostrarlo en dimensión 2 suponiendo que sabemos en \mathbb{R}^{3}… Tendríamos que sólo hay 3 polígonos: el triángulo, cuadrado y pentágono. Sólo lo comento por si quieres dar una demostración válida.

    Saludos!

  14. josejuan | 17 de agosto de 2011 | 08:57

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    jbgg,

    es verdad, dice “poliedro regular” y (creo) que debería decir “poliedro” (a secas).

    Por otra parte:

    Un politopo viene a ser (para cualquier dimensión) un “cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito”.

    Que en R^2 hay infinitos polígonos regulares se ve conectando n puntos equidistantes sobre la circunferencia (para n=3,4,\dots).

    Que en R^1 sólo hay un politopo se ve porque, por definición, ha de ser sólido (conexo) y es sobradamente conocido que un conexo en R^1 es un intervalo. (Por cierto, todos los intervalos acotados son regulares).

    Digo.

  15. Rafalillo | 30 de agosto de 2011 | 22:39

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    Este post ha sido uno de los mejores que te he leído: sencillo de entender y muy entretenido.

    No he dudado un segundo en incluirlo en el post que he publicado hace un rato en mi blog:
    http://elmundoderafalillo.blogspot.com/2011/08/no-es-mio-pero-es-interesante-xxxiii.html

    Espero que te guste ;)

  16. gaussianos | 31 de agosto de 2011 | 02:51

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    Muchas gracias Rafalillo :).

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