¿De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado?

Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones polinómicas de segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación concreta:

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendo cuántas hay y cuáles son en el caso de que existan.

La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula? Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:

Partimos de la ecuación polinómica siguiente:

ax^2+bx+c=0

donde se supone a\ne 0 para que la ecuación sea de verdad de segundo grado.

Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado más unas ciertas constantes, digamos (m+n)^2+p=0. Como sabemos que (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 tenemos que:

  1. El término del binomio que nos proporcionará ax^2 (supongamos que es m) debe ser \sqrt{a}x. Por tanto m=\sqrt{a}x.
  2. El término bx debe salir del doble producto 2mn. Como m=\sqrt{a}x tenemos que bx=2(\sqrt{a}x)n. Despejando obtenemos que n=\frac{b}{2\sqrt{a}}.
  3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que n^2=\frac{b^2}{4a}, constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además c debe seguir estando. Por tanto p=-\frac{b^2}{4a}+c.

Vamos, que la cosa queda como sigue:

ax^2+bx+c=\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2-\cfrac{b^2}{4a}+c=0

Pasamos las constantes al otro lado:

\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a}-c

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el \pm):

\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a}-c}

Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:

\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a}}

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos 4a de la raíz:

\sqrt{a}x=\cfrac{-b}{2\sqrt{a}} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}

Dividimos ambos miembros por \sqrt{a} (lo que comúnmente se diría como pasamos \sqrt{a} al otro miembro) y sumamos las fracciones. La cosa queda:

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

que es lo que todos conocemos.

Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez en cuando recordar ciertas cosas relativamente sencilla que generalmente la gente no retiene en su memoria (el cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo sobre este tipo de temas). Espero que os haya parecido interesante.

Actualización: En los comentarios Pelícano nos comenta otra forma aún más simple. Ahí va:

Partimos de ax^2+bx+c=0. Restamos c a ambos lados. Queda:

ax^2+bx=-c

Multiplicamos a ambos lados por 4a. Queda:

4a^2x^2+4abx=-4ac

Sumamos b^2 a ambos lados:

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac

La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:

(2ax+b)^2=b^2-4ac

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:

2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}

Restamos b a ambos lados:

2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}

Y para concluir dividimos por 2a a ambos lados obteniendo lo que queríamos:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

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61 comentarios

  1. Trackback | 26 nov, 2007

    meneame.net

  2. yassin | 26 de noviembre de 2007 | 12:26

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    Alguien sabría explicarme por qué las ecuaciones de grado superior a 5 no tienen métodos de resolución analíticos.

  3. Tito Eliatron | 26 de noviembre de 2007 | 12:46

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    yassin: eso es TODA UNA ASIGNATURA de 2º de Matemáticas…

  4. Meldor | 26 de noviembre de 2007 | 12:50

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    De cuarto de matemáticas, si se hace bien ;)

  5. Pelícano | 26 de noviembre de 2007 | 13:07

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    Lo mismito pero de otra manera:

    ax^2+bx+c=0 ax^2+bx=-c multiplicando por 4a queda 4a^2x^2+4abx=-4ac sumando b^2 queda 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac (2ax+b)^2=b^2-4ac y tomando raices y despenjando x se llega a la formulica.

    Perdón por no usar Latex

  6. Pelícano | 26 de noviembre de 2007 | 13:09

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    Ostras, esto se ha comido los signos de equivalencia hechos con menor que, igual y mayor que

  7. Toro Sentado | 26 de noviembre de 2007 | 16:14

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    En cuanto a lo de las ecuaciones de 5º grado o más, tiene que ver con los grupos de Galois. En el libro “La matemática, su contenido métodos y significado”, de Kolmogorov y otros, tomo 3, pag. 343 da una explicación bastante buena.

    Por otro lado, la ecuación de segundo grado está bien, ¿pero alguien recuerda cómo se obtienen las soluciones de una ecuación de tercer grado?

  8. otromasf | 26 de noviembre de 2007 | 17:34

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    No es cierto que tengan 0, 1, o 2 soluciones, al ser de indice par, sus soluciones deben ser 0 o un numero par

    El error reside en que si tiene una raiz doble(Por ejemplo, sus soluciones son 2 y 2) se toma como si fuera solo una, pero no por ello tiene un numero impar de soluciones :P

    Buen articulo, yo no tenia ni idea de donde salia, sigue con este pedazo de blog ;)

  9. otromasf | 26 de noviembre de 2007 | 17:38

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    Toro Sentado, no te lei, lo siento

    Te respondo, las ecuaciones de tercer grado se reducen mediante Ruffini a una de segundo grado

    En caso de no encontrar divisores, se debe usar Bolzano, y facilita un poco las cosas

    Una vez tengas la ecuacion de segundo grado, la igualas a 0 y resuelves. Puede tener solucion o no, en cuyo caso tendrias 3 soluciones o una, por ser de grado impar :P

    Por cierto, si en el anterior comentario dije “Indice Par”, un error, queria decir Grado Par :P

    Un saludo! ;)

  10. Toro Sentado | 26 de noviembre de 2007 | 19:13

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    Para la resolución general de la ecuación de tercer grado se pueden mirar estos enlaces:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
    http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado

    Y este otro para las fórmulas completas en función de los coeficientes a, b, c, y d

    http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm

    Saludos

  11. Lola | 26 de noviembre de 2007 | 22:59

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    Recuerdo perfectamente cuando mi profesor de matemáticas de 8º de egb nos puso la demostración (la de la actualización) en la pizarra… creo que esa demostración y el descubrimiento de la banda de möbius un año después fueron determinantes para estudiar la carrera, qué cosas…

  12. María | 27 de noviembre de 2007 | 01:39

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    Con respecto a las ecuaciones de tercer grado, está la formula de Tartaglia, que ahora no recuerdo (es dificil de retener), para resolver expresiones del tipo x^3 + px = q; la cual tomar una formula más general usando el cambio de Tschirnhaus. Tan pronto revise un libro se las paso.

  13. ^DiAmOnD^ | 27 de noviembre de 2007 | 02:30

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    otromasf cuando digo 1 solución me refiero evidentemente a que salga una solución real de multiplicidad 2, es decir, que sólo exista un único número real que cumpla la ecuación y por tanto sea una solución doble.

    Respecto a lo de la ecuación de 5º grado y superior es cierto, está relacionado con la teoría de Galois. En mi carrera también era básicamente una asignatura de 2º, Álgebra II, impartida en ese año en Granada por un auténtico crack, el padrino de mi promoción Antonio Martínez Cegarra. A ver si pasa por aquí alguien que estudie o haya estudiado en Granada y lo conoce.

    Sobre las ecuaciones de tercer y cuarto grado…hablaré de ellas :).

  14. Lola | 27 de noviembre de 2007 | 15:27

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    Cegarra for ever! A mí también me dio el Algebra II… no, si lo mismo hasta nos conocemos o algo…

  15. ^DiAmOnD^ | 28 de noviembre de 2007 | 04:59

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    Uhmmm…pues puede ser. Echa un ojo al mail.

  16. LeonardoSz | 28 de noviembre de 2007 | 23:24

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    Me he quedado pensando en la actualización… la primera forma de llegar a la fórmula me da la impresión de ser el razonamiento de alguien que intentó averiguar “x” y trabajó para ello…

    La segunda imagino que se debe hacer sabiendo qué forma tiene la fórmula final.

    Saludos.

  17. Nisanii | 2 de diciembre de 2007 | 22:02

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    Teoria de Galois….un año entero y se queda corto….Garcia-Loygorri >>>>> all

  18. Bladimir Lara | 5 de diciembre de 2007 | 17:26

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    Soy docente de la universidad UMSA y todos sus comentarios me parecio sobrio efectivamente el algebra tiene una infinidad de soluciones No importa por q metodo pero siempre llegas a un mismo resultado si analizamos cada ejercicio observaremos la magnitud o su grado etc..
    un saludo a todos mis fans

  19. Trackback | 12 dic, 2007

    sportmaniacos.com

  20. Domingo H.A. | 12 de diciembre de 2007 | 22:11

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    Para resolver una cúbica el método clásico consiste en reducir a una de segundo grado y luego se obtiene la fórmula de Cardano. Si la ecuación cúbica tiene tres raíces reales entonces la fórmula de Cardano da esas tres raíces en términos de raíces cúbicas de números complejos, aunque con un poco de cálculo se deduce una expresión real en términos de ciertos cosenos.

    A lo que voy es a que me gustaría que indicáramos aquí todos los métodos de reducción que conozcamos para ecuaciones de cuarto grado. Es decir, no es necesario indicar todo el desarrollo para obtener las soluciones, sino todos los modos que sepamos para reducir una cuártica a la resolución de una ecuación de grado inferior.

  21. R.R.A | 15 de diciembre de 2007 | 20:31

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    Hay muchos métodos, puedes verlos en “Reflexions sur la rèsolution algebrique des equations”, obras completas de Lagrange, y en un libro en alemán, biblioteca matemática Cornell. Es curioso el método de Gregory,código-latex x^4+px^2+qx+r=0,se hace x= u+v, se ordena respecto de las potencias de v, se multiplican ambos miembros por u^2+au+b, y sale una ecuación de sexto grado, se determinan a y b con la condición de que sean nulos los coeficientes de los tèrminos de grado impar, u^5, u^3 y u, y esto determina también, finalmente, u y v, que resulta de la ecuación de sexto grado reducible al tercero por la sustitución v^2=w.

  22. Domingo H.A. | 15 de diciembre de 2007 | 20:48

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    Muchas gracias R.R.A., no conocía ese dato acerca de Gregory. Me llama la atención el hecho de que para resolver la cuártica se acude por el camino a una ecuación de sexto grado. Ese mismo argumento lo emplea Euler para dar otro método de resolución muy similar (ver por ejemplo, “Euler. El maestro de todos los matemáticos” de William Dunham, Nivola, Cap. 6).

    Más aún, Euler había mostrado que todo polinomio real de cuarto grado se factoriza en dos polinomios reales de segundo grado, y trata de resolver por un mecanismo similar cualquier ecuación algebraica transformándola previamente en otra de grado una potencia de 2. Sin embargo el mecanismo de descomposición sólo le funciona en general para la cuártica.

  23. R.R.A | 22 de diciembre de 2007 | 18:51

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    No es casual la reducción de la ecuación cuártica al sexto grado, de hecho es esencial al concepto de resolución algebraica, como muestra Lagrange en esa bella memoria, precursora del gran teorema de Abel y de la teoría de Galois.El método de Gregory era un intento de resolver cualquier ecuación polinómica, de hecho Gregory murió creyendo que la ecuación de quinto grado podía resolverse por su método, como Tschirnhaussen también creyó que su método era general, y que solo la dificultad de los cálculos era lo complejo del asunto.Haciendo x=u+v y multiplicando la quíntica por otra de grado 15 de coeficientes indeterminados,Gregory obtuvo una de grado 20, y anulando todos los coeficientes excepto los de grado múltiplo de 5, o sea, u^20, u^15, u^10, u^5 y el independiente, haciendo el cambio u^5=w, se obtiene una cuártica en w, que conduciría a x mediante radicales cuadráticos, cúbicos y quínticos;pero el sistemita de 16 ecuaciones con 15 incógnitas murió sin resolverlo, habría llegado a una séxtica imposible de reducir más, como probó Abel.
    En el libro de Mathiessen, en Cornell, vienen multitud de métodos,para la cúbica y la cuártica, por ejemplo el de Francoeur hace x=u+v, la famosa sustitución de Cardano y funciona para la cuártica,ordena respecto a v, anula los coeficientes de v^3 y de v y sale un sistema muy sencillo que conduce de nuevo a la séxtica con todos los términos de grado par, reducible a cúbica por el cambio u^2=w.

  24. yop | 8 de enero de 2008 | 06:04

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    pzz nu ze! =S

  25. ari | 22 de enero de 2008 | 19:11

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    ola mañana tengo examen y no se k acer no me salen las ecuaciones y estoy en 1º de eso me podeis exar una mano xfavor

  26. Firewall | 24 de enero de 2008 | 15:46

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    Hola una pregunta cuando tengo una ecuasion y hay factores comunes en ambos lados y los simplifico tengo que igual a 0 dchos factores para no perder soluciones?

  27. celso | 18 de marzo de 2008 | 23:13

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    ta buena la pagina. TENGO UNA DUDA POR TODO LO Q LEI ANTERIORMENTE ¿CUAL ES LA FORMULA PARA ENCONTRAR LAS RAICES DE UN POLINOMIO DE TERCER GRADO? LA FORMULA!!!!!!!!!!!!!!
    (NO METODOS PARA DEMOSTRAR LA MISMA) POR QUE YO Q SEPA ASTA EL MOMENTO NO ES CONOCIDA.
    EN LA PRIMARIA , SEGUNDARIA, UNIVERSIDAD NO ESCUCHE DE LA MISMA ESTA EL MOMENTO…..

    GRACIAS. RESPONDER A MI CORREO [email protected]

  28. feigenbaum | 18 de marzo de 2008 | 23:51

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    http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion.htm

  29. Paola Gabriela | 27 de junio de 2008 | 23:11

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    Hola, necesito saber un metodo corto para resolver un sistema de ecuaciones, no se si me podria ayudar alquien

  30. Eder | 18 de septiembre de 2008 | 04:06

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    ALGUIEN PODRIA AYUDARME UN POCO CON LAS ECUACIONES POLIN{OMICAS DE GRADO SUPERIOR… AGRADECERIA UN LINK DONDE HAYA IMFORMACIÓN SOBRE ELLO.

  31. Noemí | 18 de septiembre de 2008 | 18:12

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    Hola, a todos disculpen pero creo que el hecho de estudiar matemática no impide que cuidemos la ortografía, recuerden que nos lee mucha gente.
    Para resolver Sistemas de Ecuaciones con 2 incógnitas pueden utilizar el Método de Igualación, Sustitución, Reducción o el Método Gráfico son un poco largos pero seguros, solo tienen que aprenderse el Algoritmo de cada Método
    Chao

  32. daniel | 2 de enero de 2009 | 15:18

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    la formula para las ecuaciones de tercer grado aparece aqui: http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm
    existen tres fórmulas pero la segunda y la tercera rallan mucho lo mejor es sacar una de las raices a partir de la primera fórmula y luego aplicar esa raiz a ruffini,para obtener una ecuación de segundo grado cuyas raices coinciden con las dos restantes de la ecuación de tercer grado inicial.

  33. alvaro | 13 de febrero de 2009 | 02:50

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    hola me llamo alvaro alguien que tenga algunas formulas o nuevos metodos aparte de los metodos numericos y los ya tradicionales para resolver ecuaciones de grado mayor al cuarto favor contactarse me gustaria intercambiar criterios
    [email protected]

  34. Trackback | 28 may, 2009

    Tatuajes matemáticos | Gaussianos

  35. chagua | 23 de julio de 2009 | 19:36

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    lo que quiero saber es dedonde sale exactamente el 4a

  36. Cande | 15 de octubre de 2009 | 17:07

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    Wow! Como me encanta ver tanta gente que, como a mi, le guste la matemática!! =D =D =D
    Esta muy buena la página, la voy a visitar más seguido! ;)

  37. cruz | 16 de octubre de 2009 | 19:26

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    me quedo con la primera solucion que es la mas bella, hablando matematicamente

  38. metalpzo | 19 de octubre de 2009 | 19:47

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    si efectivamente se puede rsolver el lgebra por varias formas me parece saber q cardano modifico la formula de la ecuacion cuadratica aun q seria bueno recalcar la ecuacion cuarta planteada por su alumno

  39. Mollo coyo | 20 de noviembre de 2009 | 04:21

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    Pues yo me se otra forma, es la siguiente:

    Para el polinomio cuadrático ax^2+bx+c = 0, realizamos la sustitución de Tschirnhaus de la forma x = y – (b/2a), con lo que obtenemos después de hacer cierta álgebra la relación ay^2 – (b^2/4) + c = 0, a partir de la cual se despeja el valor de “y” y después se regresa a la sustitución y se encuetra el valor de x.

    Entonces existen dos formas de demostrar y obtener las raíces del polinomio cuadrático.

  40. Tepic | 10 de diciembre de 2009 | 20:38

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    Cuanto da (X-a)(X-b)(X-c)…..(X-z) …como lo desarrollo?

  41. Mmonchi | 10 de diciembre de 2009 | 21:19

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    Tepic, da 0.

    Es un chiste matemático…

  42. ... | 20 de enero de 2010 | 22:47

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    mira, yo lo unico que sé son las ecuaciones de primer y segundo grado, éstas dos ecuaciones son muy fáciles aunque yo he visto la fórmula de la ecuacion de tercer grado y en la realidad me maeré xD.

  43. Levealone | 31 de enero de 2010 | 13:35

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    Tio gracias , me has salvado las matematicas de 3º de la ESO =)

  44. Levealone | 31 de enero de 2010 | 13:36

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    olle , ¿y sabes la resolucion de las ecuaciones de 2º grado mediante el metodo d eminimos cuadrados?

  45. eze | 17 de junio de 2010 | 00:36

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    GRACIAS MANNN. ME SACASTE DEL AGUA NO TE IMAGINAS CUANTO…ESTOY A PUNTO DE UN ORAL Y ME FALTABA ESTO…SOS UN GROSO PA…MUCHAS GRACIASAAA

  46. moncitaz | 17 de octubre de 2010 | 21:06

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    quien podria resolver estos ejercicios ni un matematico lo podria resolver :D

  47. infinitoalae | 20 de octubre de 2010 | 02:38

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    moncitaz a que ejercicios te referis???

  48. sharon | 9 de noviembre de 2010 | 18:15

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    ;) .GRACIAS ME SIRVIO DE MUCHO Y TENGO EL TEMA MUY EN CLARO..!! ;)

  49. Torvi94 | 10 de noviembre de 2010 | 19:11

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    Madre mia, me acabas de salvar tres puntos del examen, te mereces un pedestal :)

  50. gaussianos | 11 de noviembre de 2010 | 23:56

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    Me alegro de que te haya servido Torvi94 :).

  51. f(x)=cosh(x) | 11 de junio de 2011 | 07:00

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    me quedo con la primer “demostración”, aunque sinceramente, desde un punto de vista mas estricto, falta justificar un poco algunos pasos, y ni hablar de la segunda “demostración” eso de multiplicar por 4a esta muy sacado de la manga, en toda demostración matemática hay que justificar cada uno de los pasos que estamos llevando a cabo para demostrar aquello a lo que queremos llegar.

  52. gaussianos | 11 de junio de 2011 | 15:24

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    f(x)=cosh(x), en las dos demostraciones todos los pasos son correctos, no hace falta justificar nada.

  53. arturo | 10 de julio de 2011 | 03:32

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    observa esta pagina donde te muestra y demuestra la resolusion de ecuacion de grado del 1 al 4

    http://formulasfuertes.es.tl/

  54. arturo | 10 de julio de 2011 | 03:44

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    debo agregar que aquella pagina http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm
    contiene una supuesta formula cubica y al verla debo afirmar que no puede ser pues hay expresiones en el denominador y si esa expresion fuese cero entonces abria indeterminacion y no se podria hallar la raiz, ademas de la presencia de !!un numero complejo en la formula!!jajaja, de verdad eso no puede ser, te lo aseguro

  55. wozh22 | 20 de julio de 2011 | 21:59

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    Excelente…y gracias.

  56. Mertxe95 | 3 de noviembre de 2011 | 19:46

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    Hola, necesito la DEMOSTRACIÓN de la FÓRMULA DE CARDANO para un un trabajo, ¿¿alguien sabría decírmela??

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  61. Alii | 26 de abril de 2014 | 05:15

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    Hola alguien que me explique el numero 2. como sale n = b/2(raiz)a

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