¿Es más trascendente la cantidad de números algebraicos?

Hablábamos el pasado miércoles sobre la curiosa sucesión Look-and-say y la constante de Conway, número que surgía como límite de los cocientes entre las cantidades de cifras de cada elemento de la sucesión entre el elemento anterior. Esta constante de Conway era la siguiente:

\lambda = 1.30357726 \ldots

y muchos decimales más sin ningún patrón. Vamos, que este número \lambda es irracional.

En este mismo post comentábamos que \lambda también era, sorprendentemente, un número algebraico. ¿Sorprendentemente? ¿Por qué?

Recordemos que un número algebraico es un número (en general, complejo) que es solución de algún polinomio cuyos coeficientes son números enteros. Los números para los cuales no existe tal polinomio se denominan números trascendentes.

Si le explicáis a alguien todo esto (si puede ser con ciertos conocimientos matemáticos, más que nada para que sepa usar con suficiente soltura los polinomios y las soluciones de los mismos), probad ahora a comprobar si lo ha entendido:

Profesor: A ver si lo has entendido. Dime un número que sea algebraico.

Alumno: Pues…cualquier número entero vale, ¿no? Si k \in \mathbb{Z} entonces la ecuación polinómica x-k=0 tiene coeficientes enteros y a k como solución.

P: Sí, y en general todos los racionales sirven, ya que si todo número racional m/n es solución de la ecuación polinómica nx-m=0, que, evidentemente, tiene coeficientes enteros.

Bien, dime otro.

A: Pues…no sé…¡ah, sí! \sqrt{2}, ya que es solución de la ecuación polinómica x^2-2=0…Y muchos más: \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots, vamos, \sqrt{n}, si n \in \mathbb{N} no es un cuadrado perfecto (si lo es ya está incluido en los naturales) también es algebraico.

P: ¡Exacto! Pero hay muchísimos más:

  • El número de oro: \phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2} (solución de x^2-x-1=0).
  • La unidad imaginaria i (solución de x^2+1=0).
  • El propio \lambda = 1.30357726 \ldots (solución de…bueno, de la ecuación polinómica de grado 71 que aparece en el post enlazado al principio de éste).
  • A: Sí, muchísimos.

Esta parte de la supuesta conversación entre vosotros (profesor) y la persona a quien le habéis contado este tema (alumno) podría ser más o menos como habéis leído. Vamos a suponer ahora que en realidad vuestro alumno tiene conocimientos de matemáticas algo más avanzados y sigamos conversando:

P: Bien, dime ahora un número trascendente.

A: Fácil: \pi.

P: Cierto, el número \pi es trascendente. No existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga a \pi entre sus soluciones. Dime otro.

A: Esto…pues…ah, sí, el número e.

P: Exacto, el número e también es trascendente. Llevamos dos. Dime uno más.

A: Uhmmmm…otro número trascendente más…pues…no se me ocurre ninguno ahora, pero debe haber más…

P: Pues sí, claro que hay más. Y si leyeras Gaussianos más a menudo sabrías alguno más:

  • El número de Liouville: \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}
  • El número de Champernowne: 0,123456789101112131415 \ldots
  • El número de Hilbert: 2^{\sqrt{2}}
  • Y algunos más que aparecen en este post.

Pero tengo que confesarte que en cierto modo no es raro que no conocieras ninguno más, ya que no es fácil encontrarlos.

A: ¿No? Pero también hay muchos, ¿verdad?

P: Claro que hay muchos, pero es complicado demostrar que un cierto número es trascendente.

A: Vale, supongo que sera porque entre tanto algebraico los trascendente escasean, ¿no?

P: Pues…no, ni muchísimo menos. Y te lo voy a demostrar.

Eso es lo que vamos a hacer después de esta conversación ficticia (aunque, bajo mi punto de vista, ciertamente plausible): demostrar que los números trascendentes no escasean, ni mucho menos. De hecho vamos a demostrar lo siguiente:

Hay más números trascendentes que números algebraicos

hecho que, por otra parte, puede ser muy chocante para los no iniciados.

Georg CantorDe todas formas, la demostración de este resultado es bien sencilla. Entre los números reales hay tanto números algebraicos como números trascendentes. Y además sabemos que este conjunto \mathbb{R} de los números reales es no numerable, es decir, no puedo enumerar sus elementos (siempre que intente enumerarlos resultará que me he dejado alguno por el camino). El primero en observar este hecho fue Georg Cantor). Y, bueno, aunque creo que no hace falta decirlo lo hago: un conjunto no numerable tiene más elementos que cualquier conjunto numerable.

Por otra parte, hemos dicho que un número es algebraico si es solución de un polinomio de coeficientes enteros. Bien, pero el conjunto de los enteros es infinito-numerable (infinito, sí, pero puedo enumerar sus elementos), y el conjunto de los polinomios cuyos coeficientes están dentro de un conjunto numerable también es numerable. Como el número de soluciones de un polinomio es también numerable, al combinar todo esto obtenemos que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

O sea, que tenemos que los números reales algebraicos, que es un subconjunto de los números reales, es un conjunto numerable. Pero \mathbb{R} no lo es. Por tanto, lo que quede en los reales al quitar los algebraicos es no numerable. ¿Qué es lo que queda? Los números reales trascendentes.

¿Qué significa todo esto? Pues lo que habíamos dicho: que hay muchísimos más números trascendentes que algebraicos. Por eso puede resultar tan extraño que cueste tanto encontrar un número trascendente. Y por eso es tan sorprendente que un número que aparece de la forma que apareció el \lambda del que hablamos en el post anterior sea algebraico…

…¿o no es tan sorprendente?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Me encantó el post, y creo que efectivamente, a la mayoría nos sorprende cuando recién nos enteramos de este hecho.

    Publica una respuesta
  2. Teniendo en cuenta que los racionales son DENSOS y éstos son un subconjunto de los algebraicos… resulta que el ocnujunto de números algebraicos es DENSO en \mathbb{R}. con lo que, realmente, es un conjunto muy grande (el algún sentido de esta palabra.

    Publica una respuesta
  3. Interesante, sí señor… pero la duda me corroe, ¿porqué resulta tan sumamente difícil demostrar que un determinado número es trascendente?

    Por cierto, me ha encantado el post, la conversación profesor-alumno me ha recordado al estilo de George Polya en How To Solve It. 😀

    Saludos!!

    Publica una respuesta
  4. Puede ser por la propia definición de trascendente, que es básicamente de “no existencia”, lo más difícil de demostrar normalmente. Se trata de descartar que algo no pertenece a un conjunto enorme y cuyos elementos tienen las propiedades más variadas.

    Publica una respuesta
  5. No es tan dificil como se hace parecer en el artículo encontrar más números trascendentes. Una vez que uno prueba, por ejemplo, que \pi es trascendente, es muy fácil probar (incluso trivial por comparación) que los números r \pi para cualquier racional r distinto de 0, r + \pi para cualquier racional r, y \pi^n para cualquier entero positivo n, son todos trascendentes.

    Publica una respuesta
  6. Idéntica demostración nos hizo en clase Javier Cilleruelo, una vez la ves [i]cae de cajón[/i].
    Otro gran post, ^DiAmOnD^

    Publica una respuesta
  7. jjagmath, sí, vale, pero, por decirlo de alguna forma, no son números trascendentes esencialmente distintos de \pi. De hecho hay número reales relacionados con \pi de los cuales no se sabe sin son trascendentes. Por ejemplo, \pi^e.

    Samuel, sí, es que es una demostración sencilla, y perfectamente comprensible :).

    Publica una respuesta
  8. Dos cosas:

    1) Una forma más correcta de decirlo es que el conjunto de los números reales no transcendentes tiene medida cero. Es decir, de forma simple, virtualmente todos los números reales son transcendentes, el conjunto de los que no lo son (algebraicos, etc) no mide nada en comparación.

    2) No es *nada* dificil encontrar números transcendentes. Por ejemplo, todos los logaritmos de números algebraicos (excepto el de 1) son transcendentes, todos los senos, cosenos, y tangentes (excepto de 0 y ciertos múltiplos de Pi), etc. Lo que sí es dificil es demostrar que constantes concretas son transcendentes, tales como e o Pi, que si esta demostrado, o gamma, la constante de Euler-Mascheroni, que no esta demostrado que lo sea aunque todos los entendidos creen que sí que lo es.

    Saludos.

    Publica una respuesta
  9. Rama Nujan, muy interesantes los comentarios.

    No obstante, por (1), el número de números trascendentes que estás encontrando en (2) tiene medida 0, por tanto, estás encontrando muy poca cosa de los trascendentes.

    Es decir, para mí, la conclusión más interesante del post es, que se conoce muy poco de los números (trascendentes en este caso), probablemente debido a la forma en la que las matemáticas están construidas, que hace que para llegar a ellos se siga un camino largo.

    Yo lo veo similar a lo que pasa con la distribución de los números primos o las partes de N (formalizada, creo, hace poco por Young et al), que seguro hay nuevas formas de verlos que te dan una visión más clara de ellos.

    Publica una respuesta
  10. .
    Gracias por tu comentario al mio, josejuan.

    Dos cosas:

    si, nadie puede encontrar mucha cosa de los transcendentes, la idea que queria dar es que no solo los multiplos de Pi y de E y otras combinaciones de unos cuantos números certificadamente transcendentes resultan en nuevos transcendentes, tambien funciones tan básicas como logaritmos, exponenciales, y trigonométricas proporcionan infinitos números transcendentes, concretamente para todos sus argumentos algebraicos (excepto para valores muy concretos como 0 ó 1, etc).

    En todo caso, si bien “hay más” transcendentes que algebraicos, esa no es la última clasificación posible, queda la clasificación de los transcendentes en “computables” y “no computables” y como puedes suponer el conjunto de números transcendentes computables tiene medida cero en comparación con el de los transcendentes no computables.

    En pocas palabras, que los transcendentes no computables son el 100% de los números reales que existen, y los transcendentes computables, algebraicos, racionales, y naturales son el 0% restante. XD

    Lo triste es que jamás conoceremos en detalle ni un solo de esos infinitos y omnipresentes números transcendentes no computables, tendremos que conformarnos con Pi y sus colegas. Es decir, salvo que los futuros ordenadores cuánticos sean capaces de computar lo no computable … 😀

    Saludos.

    Publica una respuesta
  11. El hecho de que sea computable o no, únicamente aporta información sobre las limitaciones de la definición formal de máquina de turing, no sobre los números algebráicos.

    Es decir, yo (que soy así de chulo), puedo obtener todos los números trascendentales no computables (es decir, los “pata negra”) que quiera, ¡sólo con un compás!.

    ¿Cómo? 😀 😀

    Publica una respuesta
  12. excelente post, muy claro.

    yo tengo una duda acerca de los irracionales. tengo entendido que si agarramos el numero pi, y nos fijamos con que frecuencia aparece el numero 1, o el 2 etc. en los decimales, nos encontramos que todos aparecen con la misma frecuencia, mi pregunta es hay numeros irracionales donde los digitos 1,2,3… no aparezcan con la misma frecuencia?, si hay que tan densos son?, bueno espero que se entienda mi duda, muy buena la pagina.

    saludos!

    Publica una respuesta
  13. Propuesta para “martin”:
    Construyo el número siguiente: b,aaababaaaababaaaaabaaaaaaaaabaab… en el que solo aparecen los dígitos “b” y “a” (distintos entre sí). El número de “a” de cada grupo lo obtengo de las sucesivas cifras de PI y separo con un “b” cada dos grupos.
    Tengo la sospecha de que el número obtenido es trascendente, apoyándome en que si no lo fuera tendría un número algebraico que, de forma indirecta produce rodas las cifras de PI en su orden.
    En este número solo aparecen los dígitos “a” y “b” y con una frecuencia relativa de cinco a uno.

    Publica una respuesta
  14. martin, en esta misma entrada aparece el llamado número de Liouville, que solamente tiene ceros y unos (colocados estratégicamente) y del que se sabe que es un número irracional (de hecho es trascendente). Sobre la densidad de estos números ni idea.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Hablábamos el pasado miércoles sobre la curiosa sucesión Look-and-say y la constante de Conway,…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *