¿Para qué tipo de juegos existe una estrategia ganadora?

Quién no ha jugado al Juego de la Oca en alguna ocasión, ¿verdad? Típico juego de mesa para dos o más jugadores en el que la ficha de un jugador avanza en función de la puntuación que marca el dado que él mismo tira, y en el que podíamos encontrar casillas que nos hacían avanzar y casillas que nos obligaban a retroceder. Por él, la frase “de oca a oca, y tiro porque me toca” forma parte de la jerga popular.

¿Y qué decir del Tres en Raya? Seguro que muchos de vosotros habéis jugado con algún amigo en un pequeño rato libre al famosísimo juego del los círculos y las equis. En este juego para dos jugadores, donde uno de ellos lleva el círculo y el otro la equis, cada uno de ellos coloca, de forma alternativa, su símbolo (círculo o equis) en una casilla de un tablero cuadrado 3×3 con el objetivo de conseguir que una fila, una columna o una diagonal esté formada por tres de sus símbolos.

Y digo yo, ¿son los dos juegos del mismo tipo? Voy a afinar un poco más: ¿son los dos juegos del mismo tipo a la hora de buscar una forma de ganar en ellos?

Pues claramente la respuesta es no. Mientras que en el Juego de la Oca el azar es fundamental (de hecho es el juego entero), en el Tres en Raya el azar no tiene presencia alguna, ya que las partidas se desarrollan en función de cómo cada jugador coloca sus símbolos libremente.

Esta es una manera de clasificar los juegos: juegos de azar (donde, como su propio nombre indica, el azar es lo que decanta la partida a un lado o a otro) y juegos de información completa, en los cuales uno puede conocer en todo momento todas las jugadas posibles y las consecuencias de las mismas dentro del propio juego y el azar no aparece en ningún momento.

Bien, pues en estos últimos es donde siempre se puede encontrar una estrategia ganadora, o al menos no perdedora si el juego puede terminare en tablas. Concretamente, si un juego en el que participan dos jugadores tiene las siguientes condiciones

  • Cada jugador tiene en todo momento toda la información para decidir la jugada a realizar.
  • Los dos jugadores realizan las jugadas alternativamente, cada uno en su turno.
  • Ningún elemento de azar interviene en el juego.
  • Toda partida finaliza después de un número finito de jugadas con la victoria de uno de los dos jugadores

entonces seguro que es posible encontrar una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores (estrategia no perdedora en el caso de que en el juego se permita el empate). Con estrategia ganadora queremos decir “estrategia mediante la cual uno de los jugadores, el primero o el segundo, se asegura ganar todas las partidas” (siempre que los dos jugadores jueguen de forma ideal, es decir, en todo momento realicen movimientos lógicos encaminados a ganar la partida).

La demostración de este hecho es bien sencilla:

Supongamos que los jugadores A y B juegan a un juego como el que se ha descrito antes. Si A tiene una estrategia ganadora, entonces ya hemos terminado. Si no la tiene, significa que en todos los casos posibles existirá una jugada de B a la que A no podrá responder de manera conveniente. Y precisamente esto es lo que nos indica que en este caso sería B quien tiene esa estrategia ganadora.

Por tanto, en estos juegos siempre existe una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores (estrategia no perdedora si se permite empate). Ahora, eso no quiere decir que dicha estrategia sea sencilla de encontrar, ni mucho menos. Dependerá principalmente de la complejidad del juego. Por ejemplo, encontrar una estrategia ganadora para los típicos juegos de retirada de palillos o una estrategia no perdedora para el Tres en Raya es tarea sencilla, pero ¿y si os propongo el ajedrez? Técnicamente, formalmente, es posible encontrar una estrategia para uno de los dos jugadores tal que dicho jugador no perdería partida alguna, pero la cantidad de jugadas posibles es tan grande, y la cantidad de variantes que produce el juego a casa paso tan enoooorme, que resulta físicamente imposible embarcarse en ese proyecto en la actualidad.

Y, por otra parte, es interesante hacer notar que el hecho de que se obligue al juego a finalizar en un número finito de pasos es fundamental, ya que si no es así en principio no podemos asegurar que exista dicha estrategia ganadora. En 1930, Stefan Banach y Stanislaw Mazur desarrollaron un juego topológico, el juego de Banach-Mazur, que se convirtió en el primer juego infinito de información completa para dos jugadores que fue estudiado. Se demostró que para este juego en general no se puede encontrar una estrategia ganadora para ninguno de los jugadores. Como curiosidad, comentar que al parecer dicha demostración hace uso del famoso a la par que controvertido axioma de elección.

Y para terminar una reflexión. Si lo pensáis, todas las partidas de ajedrez que se han jugado hasta ahora (y las que se jugarán de aquí en adelante durante mucho tiempo), ya sean jugadas por aficionados o por los mejores jugadores de la historia (por ejemplo, Emanuel Lasker), se han desarrollado mediante la aplicación por parte de los jugadores de ciertas tácticas que posiblemente ni siquiera puedan considerarse acercamientos a la estrategia. ¿No os parece tremendamente emocionante que teóricamente se sepa que existe una estrategia no perdedora para alguno de los dos jugadores que se enfrentan en una partida de ajedrez (blancas o negras), pero todavía no se conozca ni de lejos la estructura de dicha estrategia? ¿No os entra un cosquilleo por las piernas si pensáis que con la suficiente capacidad de cálculo podríamos cargarnos el noble juego del ajedrez? Debo confesar que a mí sí.


Fuentes:

  • Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, ISBN: 978-84-473-6631-6, de Jordi Deulofeu.
  • La imagen sobre el Juego de la Oca la he tomado de aquí.
  • La imagen sobre el Tres en Raya la he tomado de aquí.
  • La imagen sobre el Ajedrez la he tomado de aquí.

Esta entrada es mi segunda contribución con la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Esta teoria es aplicable a determinados componentes o momentos de la vida. Grande Gaussianos…

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  2. Es matemáticamente imposible perder al tres en raya si comienzas en una esquina.

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  3. Justo el otro día estuve mirando por Internet estrategias ganadoras del 3 en raya en 3D y del 4 en raya en 3D. Ambos juegos tienen una estrategia ganadora. En el caso del 3 en raya en 3D es fácil deducirla si empiezas en la casilla central, pero en el caso del 4 en raya en 3D no he encontrado la estrategia ganadora. Sé que Patashnik y Victor Allis lo demostraron, pero no he encontrado la estrategia. ¿Alguien sabe dónde encontrarla?

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  4. wow! un juego topológico y hecho por Banach eso hay que probarlo.

    Me deja perplejo saber de la existencia de la estrategia ganadora del ajedrez, !Claro que es un asunto para sentirse maravillado!, El ajedrez es un arte y reducirlo a la aplicación de un algoritmo es un apuro difícil de tratar, mis compañeros de la universidad no me van a creer.

    Los juegos son un terreno rico en matemáticas yo recuerdo cuando era pequeño la fascinación que sentía por el ajedrez grotesco, el problema de las ocho reinas y sobre todo me gustaba el rompecabezas del quince, una de las sorpresas más agradables que me dio la matemática jamás fue cuando supe por que era imposible resolver la configuración imposible que venía al reverso del rompecabezas por años no lo supe y cuando me explicaron por que fue realmente asombroso

    Por cierto si a alguien le interesa este juego es muy divertido (y muy necesario sustituto a tres en raya) se llama el juego del drago http://es.wikipedia.org/wiki/Brotes_(juego) y fue ideado por el genial John Conway http://es.wikipedia.org/wiki/Brotes_(juego)

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  5. Interesante artículo. Ya me habían comentado que el ajedrez tenía estrategia ganadora pero (de momento) es inimaginable el poder conocerla por, como dices en el artículo, la cantidad astronómica de movimientos posibles. De todos modos, leí en un artículo, que se había hecho un avance grandísimo en este aspecto, al descubrirse que las posibilidades de ganar una partida aumentan enormemente si se controla el centro del tablero, quizás a algunos os parezca una obviedad, pero lo leí creo que no hará ni 15 años y se supone que el descubrimiento era reciente.

    Respecto a las damas, otro juego que cumple los requisitos para tener una estrategia ganadora, me dijeron que no solo existía esa estrategia, sino que además ya era 100% conocida. Es decir, que había un algoritmo en plan: Si A mueve tal, B debe mover cual para ganar, pero si A mueve esta otra, entonces B mueve esta de aquí… ¿Me podéis confirmar si esto es cierto? al hecho de que dicho algoritmo es conocido me refiero y que, por tanto, una máquina bien programada podría ganar SIEMPRE.

    Del juego de Banach-Mazur no había escuchado hablar en mi vida, y ahora he intentado leer algo y no entiendo casi nada jaja…

    Del juego de Brotes, de Ramiro, tampoco había escuchado hablar, pero varias veces he jugado con mi abuelo a uno muy parecido:
    Se escriben en un papel los números del 1 al 9 y el 0 tal y como estarían colocados en un teléfono. Uno de los jugadores va indicando los trazos que tiene que pintar el otro jugador sobre el papel, en plan:
    Une el 1 con el 8, el 2 con el 0, etc… De modo que debe conseguir que el jugador que pinta le sea imposible dibujar dicho trazo sin cruzarse con otro ya pintado.
    El que da las órdenes debe tener en cuenta que cada número no puede tener más de dos trazos que salgan (lleguen) de el.

    Si el que da las órdenes no tiene más opciones para decir, gana el que pinta, pero si el que da las órdenes da una orden que implicaría cortar una traza ya dibujada, entonces gana él. Es divertido.

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  6. Viene el enlace en inglés…jo!
    jajaja
    Soy apasionado del ajedrez y estudiante de matemáticas… vaya que si me entra cosquilleo por las piernas! por todo el cuerpo diría yo!

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  7. Estuve intentando jugar el juego de Banach-Mazur pero de momento no entiendo 🙂

    Muy interesante tu comentario 161803398874 respecto al juego ya intenté jugarlo y en verdad es divertido el juego que mencionas, algo más fácil de recordar y explicar que el juego de los brotes otro buen sustituto al tres en raya.

    También me sorprende lo que mencionas sobre las damas nunca había escuchado sobre la estrategia ganadora es más ya estuve buscando y no encontre nada, sería muy emocionante verla. Además por supuesto que lo que mencionas sobre que en el ajedrez gana el jugador que domina el centro del tablero no es tan trivial observar eso, Hay un libro muy famoso de Nimzowitch llamado “Mi sistema” en el cuál da argumentos sólidos del por que esto es cierto pero da ciertas condiciones como que el movimiento de peones sea el mínimo posible y hay una discusión relacionada con el sobre argumentos topológicos (sí dije bien) para finales en el ajedrez son “teoremas” muy bellos y no dependen del número astronómico de movimientos posibles si no de las posiciones oportunas dentro las bolas que se definen en el tablero.. voy a buscar a ver si encuentro algo y lo posteo 🙂

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  8. ¿Y que me dicen del juego del Texas Holdem? Me la e pasado argumentando el evidente y obvio azar que existe en éste juego, pero también me dicen que entra estrategia al hacer “bluf” o engañar a los otros jugadores haciéndoles pensar que tienes una buena mano cuando no para que se retiren del juego, por ejemplo. Mi lógica me dice que aun así es cuestión de azar, porque, ¿cómo sabes si el que esta haciendo el “bluf” o engaño no ésta haciendo un “bluf de bluf” o ésta haciendo parecer que quiere engañar cuando si tiene una buena mano en realidad?. En ese caso no puedes saberlo con ninguna certeza y sería cuestión de azar.
    Necesito una opinión de alguien que conozca las probabilidades del juego y si es cierto que es estratégico.

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  9. Guillermo: que sea al azar no signífica que no tengas que usar estrategía. El parchis(como le dicen al parqués en España) es al azar pero no por eso no necesitas de una estrategia para aumentar tus probabilidades de victoria en el mismo…

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  10. Entiendo. Gracias por la respuesta kurodo77, estoy de acuerdo con lo que dices. Pero… específicamente en el juego Texas Holdem… ¿entonces, cuál sería la estrategia ganadora en el Texas Holdem? ¿Que no sería conocer tus probabilidades y saber cuando retirarte y cuando no? Finalmente la probabilidad te tener buenas manos o malas manos depende del azar (de ser así).
    Quizá una estrategia pudiese ser jugar contra alguien que no tenga idea de las probabilidades de su mano y esperar a que la riegue, pero suponiendo que los dos jugadores conozcan bien sus probabilidades y jueguen con éstas, entonces, no supondría mucha estrategia y la ventaja o desventaja es concedida por el azar puro.

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  11. Respecto de lo que se comenta del juego de las damas, es cierto, se han analizado con computadoras todas las jugadas posibles y se ha concluido que el juego debería ser siempre tablas. Una simple búsqueda de San google:

    http://www.microsiervos.com/archivo/ordenadores/damas-resuelto.html

    O bien recurrir a la Wikipedia:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Damas

    Respecto del ajedrez, es un juego con muchas más jugadas posibles que las damas. Son tantas que no se espera poder resolverlo nunca, pero existen tablas de finales donde están resultas (hasta el mate) todas las posiciones posibles de ciertas características (de un número limitado de piezas, característico de los finales de partida):

    http://es.wikipedia.org/wiki/Base_de_datos_de_tablas_de_finales

    Recordad, San google es vuestro amigo 😉

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  12. Y el juego del Go?
    Tengo entendido que todavía no hay máquina capaz de ganar a los buenos jugadores.

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  13. Hola, una entrada muy interesante…

    Sobre todo me quedo con “¿No os parece tremendamente emocionante que teóricamente se sepa que existe una estrategia no perdedora para alguno de los dos jugadores que se enfrentan en una partida de ajedrez (blancas o negras), pero todavía no se conozca ni de lejos la estructura de dicha estrategia?”

    Entiendo que existen estrategias no perdedoras cuando quedan pocas piezas; supongo que con mayor capacidad de cálculo podremos empezar a proponer estrategias de este tipo con escenarios más complejos,

    Un saludo,

    Jose

    http://josearnedo.blogspot.com/

    “La evolución moral de occidente ha sido mucho menor que la material”

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  14. Por cierto, estaría genial que algún día de estos publicaran un post con una explicación para mortales acerca del famoso axioma de la elección y sus consecuencias. Tengo entendido que algo hay con la hipótesis del continuo y así…

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