¿Qué polígonos regulares pueden construirse con regla y compás?

Imaginemos que tomamos una regla y un compás y seguimos las condiciones clásicas sobre construcciones con regla y compás. ¿Qué polígonos regulares podríamos construir? Pues en realidad muchísimos…aunque esencialmente no tantos.

Me explico. Hay un conocidísimo teorema que caracteriza los polígonos regulares que pueden construirse con regla y compás, demostrado por Gauss y Wantzel (cada uno una implicación), y que es el siguiente:

Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)

Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás con las condiciones clásicas si y sólo si la descomposición en factores primos de n es de la forma

n=2^r \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_k

siendo r \ge 0 y los p_i primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma 2^{2^n}+1).

(La demostración de la parte de Gauss aparece en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae)

Para empezar, este resultado nos asegura que existen infinitos polígonos regulares construíbles con regla y compás en este sentido. Por ejemplo, como el triángulo equilátero es construíble, entonces cualquier polígono con un número de lados igual a 2^k \cdot 3 es construíble.

¿Por qué digo entonces que esencialmente hay muy pocos? Pues muy sencillo. Si partimos de un polígono regular con m lados que sea construíble, es muy fácil construir el de 2m lados. Una forma sencilla es la siguiente:

  • Inscribimos el polígono en una circunferencia.
  • Tomamos un lado y y dibujamos su mediatriz.
  • Unimos cada uno de los extremos de dicho lado con el punto de corte de la mediatriz con la circunferencia que queda entre ellos (la mediatriz tiene dos puntos de corte con la circunferencia).
  • Hacemos lo mismo con todos los lados, obteniendo así un polígono regular con el doble de lados que el inicial.

Os dejo un ejemplo con un pentágono, que es construíble al tener 5=2^{2^1}+1 lados (cumple el teorema anterior):

Por tanto, dado un polígono regular construíble con regla y compás, la construcción del polígono regular con el doble de lados digamos que no aporta nada nuevo.



En un comentario, alvaro dice, muy acertadamente, que el cuadrado, polígono regular con 4=2^2 lados, tiene una construcción con interés que hay que separar del resto de polígonos cuyo número de lados es múltiplo de 2, por lo que sería injusto no reseñarlo. Por cierto, ¿cómo se construye un cuadrado?



¿Cuáles nos quedarían entonces esencialmente distintos? Pues los que tengan como número de lados un primo de Fermat o un producto de varios de ellos. Y estos no son infinitos, al menos a día de hoy, ya que solamente se conocen cinco primos de Fermat:

  • F_0=2^{2^0}+1=3
  • F_1=2^{2^1}+1=5
  • F_2=2^{2^2}+1=17
  • F_3=2^{2^3}+1=257
  • F_4=2^{2^4}+1=65537

De hecho no se sabe si hay más. Se sabe de unos cuantos número de Fermat que son compuestos, y de algunos se conoce la factorización completa, pero seguimos sin saber si hay alguno más que sea primo aparte de estos cinco (en la Wikipedia inglesa hay algo de información al respecto).

Por ello, si eliminamos la potencia de 2 del número de lados del polígono, nos queda que podemos construir con regla y compás los polígonos regulares cuyo número de lados es 3, 5, 17 (Heptadecágono), 257, 65537, 15=3·5, 51=3·17, 771=3·257, 196611=3·65537, 85=5·17, 1285=5·257, 327685=5·65537, 4369=17·257, 1114129=17·65537, 16843009=257·65537, 255=3·5·17, 3855=3·5·257, 983055=3·5·65537, 13107=3·17·257, 3342387=3·17·65537, 50529027=3·257·65537, 21845=5·17·257, 5570645=5·17·65537, 84215045=5·257·65537, 286331153=17·257·65537, 65535=3·5·17·257, 16711935=3·5·17·65537, 252645135=3·5·257·65537, 858993459=3·17·257·65537, 1431655765=5·17·257·65537 y 4294967295=3·5·17·257·65537. Ordenados de menor a mayor quedan así (enciclopedia de las sucesiones):

3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765 y 4294967295

Es decir, tenemos 31 polígonos regulares construíbles con regla y compás cuya construcción aporta algo, cuya construcción es esencialmente distinta al resto.

Dos curiosidades para terminar:

  • Con k primos de Fermat tenemos 2^k-1 polígonos regulares construíbles con regla y compás. Por eso hay 31=2^5-1 contruíbles, porque hay 5 primos de Fermat.
  • Si tomamos el triángulo de Pascal módulo 2 (es decir, ponemos un 0 en los números pares y un 1 en los impares), tenemos que los números resultantes son las representaciones en binario de las cantidades de lados de los polígonos regulares construíbles:

    1 1 = 3
    1 0 1 = 5
    1 1 1 1 = 15
    1 0 0 0 1 = 17
    1 1 0 0 1 1 = 51
    1 0 1 0 1 0 1 = 85
    1 1 1 1 1 1 1 1 = 255

Algunos enlaces interesantes:

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. muy interesante, sin embargo me ha quedado una duda. El numero 4 ¿por qué no sale en esa lista? Si no es esencial, ¿en cuál de esas 31 opciones esta basado?

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  2. Tienes razón alvaro, el cuadrado debería estar.

    De todos modos, buena entrada Diamond.

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  3. Realmente los polígonos son construíbles con regla y compás si su número de lados es una potencia de 2 con exponente natural o su descomposición en factores primos………

    Para mantener la generalidad podemos asumir que un diámetro es un polígono regular de dos lados. Si somos más exigentes ponemos en la primera condición que el exponente ha de ser natural y mayor que 1.

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  4. Buenos dias,

    Mirando tu articulo [que me gusta mucho, por cierto.] hay un punto que me lleva a confusión y es en Fv0=2^2^0+1=3, no seria el resultado a 2 (o como yo veo al elevar un numero a 0 =1), pues en el resto de F´s el resultado concuerda.

    Un saludo

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  5. Marco defiende que 2^{2^0} = 1.

    A lo mejor se debe a que piensa que: 2^{2^0} = (2^2)^0 = 4^0 = 1

    En lugar de: 2^{2^0} = 2^{(2^0)} = 2^1 = 2

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  6. Hola a todos, buenísima entrada.
    Me asalta una duda eso sí:
    decimos que el número de polígonos conocidos “que aportan” construibles es finito (31), sin embargo, el triángulo de Pascal tiene infinitas filas… ¿No podríamos deducir de ahí nuevos polígonos construibles? ¿O tal vez, nuevos primos de Fermat?

    Saludos desde Chile

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  7. Buen apunte diego.

    Yo entiendo que lo que sucede es que, dado que se comenta sólo como curiosidad, no se entra en detalles.

    En rigor, el triangulo de Pascal, construído así nos proporciona todos los números de la forma:

    f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_k

    Siendo f_i, números de Fermat, sean primos o no.

    Es decir, que la entrada habría sido más precisa así (en negrita lo que yo añadiría):

    “tenemos que los 31 primeros números resultantes son las representaciones en binario de las cantidades de lados de los polígonos regulares construíbles esencialmente diferentes, salvo el cuadrado.”

    De todos modos no está demostrado que no existan más primos de Fermat.

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  8. Me ha parecido impresionante la última curiosidad sobre el triángulo de Tartaglia. Para aquellos que quieran una demostración de este hecho, puede consultarse el teorema 8.1 del libro “17 lectures on Fermat numbers” de Michael Krizek, Florian Luca y Laurence Somer.

    El libro en sí es muy recomendable para los que les guste el tema, es bonito y está lleno de curiosidades. Por poner un ejemplo, se prueba que un número de Fermat (primo o no) sólo aparece en el triángulo de Tartaglia de forma trivial, es decir, es de la forma “n sobre 1” ó “n sobre n-1”.

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  9. Una pregunta como se llegar a que con $k$ primos de Fermat tenemos $2^k-1$ polígonos regulares construíbles con regla y compás?

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  10. marco, quizás lo primero sería analizar lo que ocurre para valores bajos de k: 1, 2, 3… Después quizás podría venir bien demostrarlo por inducción. ¿Te atreves? 🙂

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  11. Como respuesta a marco también podemos decir que el conjunto de polígonos, al estar formado por todos los productos distintos de los cinco primos de Fermat, coincide con el número de divisores de F0*F1*F2* F3*F4 excepto el 1, es decir, 2^5-1=31.

    Por otro lado he encontrado una curiosa propiedad de los polígonos construibles con regla y compás. No sé si ya ha sido descrita o no.

    Los treinta y un números impares de lados de los polígonos construibles n(1)=3, n(2)=5, …n(31)=4294967295 cumplen la siguiente condición: n(k)<2^k 31 el número total sería k*(k+1)/2+31*(k-31).

    Todavía podemos generalizar más la fórmula:
    También son construibles con regla y compás todos los polígonos de 2^k lados por lo que podríamos considerar que la lista de polígonos “distintos es de 32: n(1)=2, n(2)=3, n(3)=5,…n(32)=4294967295. (Consideraremos que el polígono de 2 lados, que es el degenerado en el diámetro forma parte del conjunto).

    En estas condiciones tendremos que EL NÚMERO TOTAL DE POLÍGONOS CONSTRUIBLES CON REGLA Y COMPÁS CON UN NÚMERO DE LADOS IGUAL O MENOR QUE 2^k ES DE
    k*(k+1)/2 PARA k ENTERO Y MENOR O IGUAL QUE 32. (1)
    PARA k> 32 EL NÚMERO TOTAL SERÍA k*(k+1)/2+32*(k-32). (2)

    La fórmula (1) es cierta en todo caso.
    La fórmula (2) tiene su validez condicionada a la inexistencia de un posible 6º primo de Fermat, pero, para valores no exageradamente grandes de k sí es válida.

    Curioso y simple, ¿no?

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