¿Que tiene que ver el número e con los números primos?

Desde los comienzos del blog ciertas constantes han tenido un gran protagonismo en muchos artículos. Cierto es que el número \pi se lleva la palma, pero pero también ha habido otras constantes a las que se les han dedicado artículos por su importancia y sus características, como \sqrt{2}, la constante de Euler-Mascheroni \gamma o el número e.

Número e

Número e

Sobre este último tenemos varios artículos en los que aparece como protagonista principal o como actor secundario con un papel importante. Por ejemplo, hemos visto que es irracional y que es trascendente, dos características muy interesantes de un número que aparece tanto en nuestra vida diaria (más de lo que muchos piensan). También hablamos de cómo aparece al no formar ninguna pareja en el matching problem y, por otra parte, sabemos que es uno de los componentes de la identidad de Euler.
Los primeros 25 números primos

Los primeros 25 números primos


Y qué decir de los números primos, ellos sí que han aparecido en multitud de ocasiones por Gaussianos, ya sea demostrando su infinitud de varias formas (la demostración topológica me parece genial), generándolos o anunciando la aparición de nuevos miembros en esta familia tan peculiar.

Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número e y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento.

El número e y los números primos

Hace unos días llego al correo de Gaussianos un mail donde Laurato, lector del blog, me informaba sobre una cierta relación entre el número e y los números primos. En él comentaba que le causó cierta impresión encontrarse con una expresión así y quería saber si había alguna demostración de ese hecho. La relación es la siguiente:

e= \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[p_n]{ \# p_n}}

siendo \# x el primorial de x, que es el producto de todos los números primos menores o iguales que x.

El descubridor de esta expresión es el español Sebastián Martín Ruiz, conocido por sus interesantes trabajos sobre teoría de números, centrados principalmente en el estudio de los números primos. Hace unos días estuve dando una vuelta por su web…pero no encontré nada sobre esta expresión.

Pero, como no podía ser de otra forma, no me quedé ahí. La curiosidad pudo conmigo y seguí dando vueltas por internet buscando información sobre este curioso límite. Y, por fin, encontré algo. MathWorld me abrió los ojos con su artículo sobre funciones de Chebyshev. En dicho artículo se definen dos funciones llamadas funciones de Chebyshev, pero a nosotros nos interesa solamente una de ellas:

\theta (x)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\pi (x)} \log (p_k)}

En esta expresión \log es el logaritmo neperiano, p_k denota el k-ésimo número primo y \pi (x) es la función contadora de números primos, que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que x.

Operando un poco con la expresión de \theta (x) llegamos a lo siguiente:

\theta (x)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\pi (x)} \log {p_k}=\log \left (\prod_{k=1}^{\pi (x)} p_k \right )=\log( \# x)}

De esta función \theta (x) se sabe, entre otras cosas, que:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{\theta (x)}=1}

A partir de este límite la demostración de nuestro resultado es coser y cantar. Tomemos x=p_n, siendo p_n el n-ésimo número primo. Tenemos entonces lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{p_n}{\theta (p_n)}=1}

Por otro lado, usando la última expresión encontrada para \theta (x) tenemos que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{p_n}{\theta (p_n)}=\lim_{n \to \infty} \cfrac{p_n}{\log ( \# p_n)}}

Utilizando las dos expresiones anteriores obtenemos lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{\log ( \# p_n)}{p_n}=1}

y usando las propiedades de los logaritmos

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \log [ ( \# p_n)^{\frac{1}{p_n}} ]=1}

Intercambiando ahora lim por log obtenemos

\displaystyle{\log \left ( \lim_{n \to \infty} ( \# p_n)^{\frac{1}{p_n}} \right )=1}

De donde se obtiene la expresión buscada:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} ( \# p_n)^{\frac{1}{p_n}}=e}


Las imágenes que ilustran el artículo están sacada de aquí y aquí respectivamente.

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11 comentarios

  1. Trackback | 5 jul, 2010

    Tweets that mention ¿Que tiene que ver el número e con los números primos? | Gaussianos -- Topsy.com

  2. josejuan | 5 de julio de 2010 | 08:55

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    Off-topic:

    El problema con la almohadilla es la codificación de caracteres en la URL, el código de la almohadilla (URL encoded) es %23, entonces, para sacarlo en látex:

    $ latex \LaTeX\space\%23\space\LaTeX$

    y sale

    \LaTeX\space\%23\space\LaTeX

    en teoría, existen otras alternativas como

    $ latex \No$
    $ latex \usepackage[ascii]{23}$

    pero a mi no me han funcionado ni aquí ni en Sci-Notebook.

  3. josejuan | 5 de julio de 2010 | 09:04

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    Off-topic:

    Ahora se entiende porqué no se podía meter correctamente el símbolo “mayor que”, como este editor admite elementos html, identifica (incorrectamente) el símbolo “mayor que” antes de parsear el LaTeX, sabiéndo ésto y que “mayor que” es 3e, ahora se puede hacer:

    $ latex a<3%3ec$ ( a<3%3ec )

    un poco chapucerete el plugin que mezcla curras con "meninas"…

  4. Gaussito | 5 de julio de 2010 | 12:13

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    Vaya, curiosa propiedad. Según mathworld.com la función \pi(x) es la función contador de números primos, no la función phi de Euler, corrijase si no me equivoco.

  5. Trackback | 5 jul, 2010

    Bitacoras.com

  6. gaussianos | 5 de julio de 2010 | 13:34

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    Cierto cierto Gaussito, se me fue. Lo corrijo ahora mismo.

    josejuan, muchas gracias por la aclaración. Ahora mismo lo cambio todo.

  7. The Bullet | 9 de julio de 2010 | 20:55

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    Que hermosa demostración!
    Que resultado tan intersante!

  8. Mislay | 27 de julio de 2010 | 04:23

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    Descubren el origen de los números primos.

    Ya se sabe dónde encontrar a todos los números primos de una manera simple.
    http://transmultiversalidad.es.tl/El-origen-los-n%FAmeros-primos.htm

  9. josejuan | 27 de julio de 2010 | 09:04

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    @Mislay,

    simple, simple, … el coste de encontrar el número primo n-ésimo con ese método supone una ventaja constante de 2,5 respecto al otro analizado, lo que únicamente supondría una mejora en una constante multiplicativa (que podría ser menor de 2,5). Es decir, que estamos en las mismas.

    Además, uno de los grandes problemas prácticos es determinar (con probabilidad 1) si un número N es primo, algo en lo que este método no parece ayudar (y el cual está resuelto mediante el test de primalidad AKS).

    Para generar (o enumerar) los números primos, existen varios algoritmos conocidos: la criba de Eratóstenes y más modernos la de Atkin y la de Sundaram.

    Por ello, ambas frases me parecen exageradas.

    De todas formas, sí es interesante el artículo y muy bien explicado.

  10. Cuales son los numeros primos | 23 de julio de 2013 | 01:17

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    Bien explicado, muchas gracias.

  11. martin | 4 de noviembre de 2014 | 05:33

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    hola, ante que nada felicitaciones por el blog, la verdad muy interesante.por otro lado quisiera hacer una pregunta, es poible que el lim (#p)^π(x) = e, espero que se entienda, esto seria el producto de los numeros primos menores que x elevado a 1/la cantidad de numeros primos menores que x, bueno espero que mi pregunta no sea muy tonta, saludos!

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