¿Quién no tiene una demostración de la conjetura de Goldbach?

En mi última charla ¿Se puede “hacer” matemáticas a través de un blog? en la Universidad de Sevilla (podéis ver mis impresiones sobre ella en este enlace), me hicieron dos preguntas. Una de ellas la realizó Raven_Neo (gracias otra vez por la grabación; cuando subas el vídeo no te olvides de avisarme) y trataba sobre las formas que usamos para promocionar el blog en sus inicios (a lo que, por cierto, respondí en principio que la mejor promoción es salir en Microsiervos). La otra la formuló Tito Eliatron, y en ella me preguntaba sobre comentarios que me han sorprendido de entre todos los que me han dejado en Gaussianos.

Aparte de destacar lo mucho que os involucráis en los comentarios, sobre todo en los problemas que planteo semanalmente (ya hablé del perro y los soldados de josejuan, pero hay más, como el programa que creó Lek en el post sobre la constante de Kaprekar, por destacar uno de los primeros), comenté que me sorprendía mucho que haya gente que continúa comentando cosas como que la cuadratura del círculo con regla y compás es posible y que tiene una prueba de ese hecho (que, como ya vimos, es una construcción imposible con regla y compás), y también que sigue habiendo gente que comenta y me envía al mail demostraciones de resultados tipos la conjetura de Goldbach o la conjetura de Collatz.

Sí, es cierto, yo he recibido varios intentos de demostración de resultados de ese tipo. Concretamente de la conjetura de Collatz me han llegado dos: en una de ellas en realidad no se demostraba nada (estaba disponible por internet, si a alguien le interesa verla que me envíe un mail y la busco) y la otra no la he leído con detenimiento todavía (me ha llegado hace poco), Pero es la conjetura de Goldbach la que se lleva la palma: al menos 5 “demostraciones” de esta conjetura han llegado al correo de Gaussianos, quizás más. Recuerdo que en una de ellas la persona usaba dentro de la demostración el propio resultado que estaba demostrando, otra que era una demostración tipo TAMO

Then A Miracle Occurs...

y otra que me ha llegado hace pocos días y que os dejaré al final de este post para que la analicéis vosotros.

El caso es que estando en la charla en Sevilla llevaba una de esas supuestas demostraciones entre mis cosas y olvidé comentarlo durante la conferencia. Después hablé sobre ello en la cuenta de Twitter de Gaussianos y dio para una graciosa conversación

que ClaraGrima se encargó de finiquitar de una manera sublime

Pero bueno, volviendo al tema, la cuestión es que todavía la gente cree tener en su poder demostraciones de resultados que está probado que son falsos, refutaciones de resultados que está demostrado que son cierto o pruebas tremendamente simples de conjeturas que han pasado por las manos de los mejores matemáticos de la historia y que han sobrevivido a todos ellos. Porque esta es una de las característica que tiene todas las demostraciones de este tipo que he recibido: suelen utilizar matemáticas básicas, muy básicas, casi exclusivamente aritmética y álgebra de primeros cursos de secundaria. Y yo pienso lo siguiente:

Vale que hay una mínima posibilidad de que exista una demostración simple para un resultado como la conjetura de Goldbach, pero ¿no os parece raro que se le haya escapado a todos los matemáticos que la han atacado desde el siglo XVIII hasta nuestros días?

Bien, con todo y con esto no veo mal que haya gente que intente demostrar resultados así, se ve con ello que hay personas que se sienten tan atraídas por las matemáticas como para luchar contra conjeturas como éstas. Si eres una de esas personas, te recomendaría que te prepararas bien antes de meterte en esta lucha, que te armaras de conocimientos y, si puede ser, que lo hicieras bajo la batuta de profesionales. Porque otra de las características de la mayoría de los que me han enviado demostraciones de estos resultados es que son autodidactas. Y ello conlleva por un lado que hay conocimientos que no tienen o que tienen mal asimilados, y por otro que es muy complicado razonar con ellos, hacerles ver que están equivocados o que lo que creen que es una demostración muy novedosa en realidad es una trivialidad absoluta. Posiblemente con una formación mejor eso no ocurriría, u ocurriría en menor medida.

Es evidente entonces que no suelo tener la más mínima esperanza de encontrarme en mi correo electrónico la solución a algún problema abierto. De todas formas sigo estando dispuesto a echar un vistazo a las posibles demostraciones de la conjetura de Goldbach, la de Collatz o resultados de ese tipo que lleguen a mi mail. He leído todas las que me han llegado con cierto detenimiento, para poder analizarlas bien, y lo seguiré haciendo con las que reciba a partir de ahora (siempre que el tiempo me deje, claro).

Y también es evidente que es muy complicado que la gente dedicada a las matemáticas de alto nivel se detenga a analizar todas las demostraciones de problemas conocidos que puedan llegar a sus manos por parte de personas ajenas a las matemáticas profesionales. Posiblemente solamente le dedicaran tiempo a alguna supuesta demostración que recibieran por parte de alguno de los grandes, y siempre con mucho recelo (la historia de Louis de Branges y la hipótesis de Riemann o la de su alumno Xian-Jin Li con el mismo problema obligan a ello).

Pero llegará el día…llegará el día en el que todos estos problemas tengan demostración…o el día en el que se encuentre un contraejemplo, o una prueba de su falsedad…o, al menos, llegará el día en el que se demuestre que dichos enunciados son indecidibles, momento éste en el que todos los que de un modo u otro nos hemos relacionados con estos problemas sentiremos que, ahora sí, tenemos una demostración o una refutación del mismo, o la seguridad de que es tiempo perdido buscar cualquiera de ellas…momento éste en el que estos problemas dejarán de ser eso, un problema.


Aquí os dejo la supuesta demostración de la conjetura de Goldbach que me ha llegado hace poco. Yo he apuntado a la persona que me la envió dos posibles errores. A ver si coincidimos todos o encontráis alguno nuevo que yo no haya visto:

Demostración de la conjetura fuerte de Goldbach para un número suficientemente grande

Un número n se puede expresar como suma de dos números entre 0 y n de n/2 formas distintas si n es par. Además, la cantidad de números primos menores que n es:

\pi(n) \sim \cfrac{n}{\ln{(n)}}

Y, a su vez, la cantidad de números primos menores que n/2 es:

\pi(n/2) \sim \cfrac{n}{2 \ln{(n/2)}}

Y la cantidad de números primos entre n/2 y n es igual a \pi(n)-\pi(n/2).

Cada uno de los números primos menores que n tiene una pareja, que puede ser primo o no, que cumple que al sumarla a ese número primo da n.

Sea p un número primo entre n/2 y n. Su pareja será n-p. La probabilidad de que dicho número sea primo es de:

\cfrac{2 \pi(n/2)}{n}

por lo tanto, la probabilidad de que no ocurra es de:

1- \cfrac{2 \pi(n/2)}{n}=\cfrac{n-2 \pi(n/2)}{n}

Tiene que repetirse tantas veces como primos hay entre n/2 y n, y luego calculamos la probabilidad de que ocurra:

P=1- \left ( \cfrac{n-2 \pi(n/2)}{n} \right )^{\pi(n)-\pi(n/2)}

Ahora, si hacemos tender n a infinito:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} 1- \left ( \cfrac{n-2 \pi(n/2)}{n} \right )^{\pi(n)-\pi(n/2)}=1- \left ( \cfrac{n-2 \frac{n}{2 \ln{(n/2)}}}{n} \right )^{\frac{n}{\ln{(n)}}-\frac{n}{2 \ln{(n/2)}}}=1}

Por lo tanto, la probabilidad de que un número relativamente grande n sea igual a la suma de dos números primos es igual a 1 cuando n tiende a infinito.


Este artículo es mi tercera (y última) colaboración para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Los matemáticos no son gente seria, de Juan Martínez-Tébar.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. Es increíble la cantidad de iluminados que hay por ahí. Y como mencionas debe ser que estudiar matemáticas nos vuelve tontos, porque los que no lo hacen todos tienen demostraciones y a nosotros no se nos ocurre ninguna 😉

    Un comentario, hay determinados problemas que no pueden ser indecidibles, la conjetura de Goldbach y la hipótesis de Riemann son ejemplos de esto. La razón es sencilla: una demostración de indecidibilidad (toma palabro!) implicaría inmediatamente una demostración del resultado. Por ejemplo, supongamos que tenemos una demostración de que la conjectura de Golbach es indecidible, lo cual significa que puede asumirse como cierta o como falsa sin contradecir el resto de los axiomas de la aritmética. En particular, solo usando los axiomas de la aritmetica no se podría probar ni su veracidad ni su falsedad; pero si la conjetura de Goldabach fuese falsa, debe existir un primer natural par que no se puede expresar como suma de dos primos, y entonces una búsqueda exhaustiva hasta este número nos daría una demostración (usando sólo aritmética) de la falsedad. En otras palabras, puede pasar que la conjetura sea cierta e indemostrable (el teorema de Gödel asegura que existen proposiciones de este tipo) pero no puede ser falsa e indemostrable, por tanto no puede ser indecidible.

    Un argumento similar vale para la hipótesis de Riemann usando que el conjunto de ceros en la banda crítica es discreto y puede dotarse de un orden total.

    Respecto a la “demostración” de Goldbach el fallo es mezclar las propiedades del límite con las de los términos de la sucesión. El límite de probabilidades (asumiendo que esté bien calculado, que no lo he comprobado) puede ser uno, pero ninguno de los términos de la sucesión es igual a 1, así que en principio podríamos tener un $n$ con probabilidad 0.8 para el cual la conjetura falle.

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  2. Aunque sólo sea para sacar a pasear las neuronas, yo veo positivo intentar atacar estos problemas. Además, muchos de estos problemas suelen tener un planteamiento muy sencillo, por lo que casi todo el mundo puede entender el enunciado del problema (otra cosa es entender las implicaciones del enunciado del problema).

    En cuanto a la pseudo-demostración me parece un intento muy digno, aunque yo apuntaría (lo que creo son) dos errores:

    1. la probabilidad construida no es correcta, pues aplica una distribución uniforme cuando realmente depende de la distribución de los números primos. Vaya, que se ha saltado a la torera la naturaleza del problema.

    2. el paso al límite no asegura nada en el “no límite”. Es decir, para cualquier número finito, la probabilidad no es 1 y por tanto no puede concluirse el teorema.

    PD1: me ha encantado el chiste.
    PD2: alegraros que ando liado y no tengo tiempo de torturaros con mi pseudo-demostración.
    PD3: muy bueno el comentario de vengoroso sobre la indecidibilidad.

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  3. josejuan:
    1) precisamente ya utiliza la función pi(n), que representa la cantidad de números primos menores o iguales que n
    2) esa demostración no solo es para números relativamente grandes, tal y como dice el título.

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  4. Jua, qué cierto… A mí me llegaron tres, pero ninguna había por dónde cogerla. Las tuyas son más interesantes, desde luego, ya querría yo que hubiera llegado algún límite!

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  5. Yo soy más de demostrar la de Collatz. Me imagino que va a gustos, pero es un pasatiempo muy divertido cuando tienes un largo trayecto en bus, has quedado con alguien y llega tarde, etc. ¡La diversión está asegurada de por vida! O no ;-)…

    Hombre, si tienes la mala suerte de hallar la demostración siempre te queda como consuelo problemas de la talla P=NP.

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  6. Me alegro de que haya salido este tema de la indecibilidad porque tengo una duda sobre esto que comenta vergoroso desde que leí algo parecido para la hipótesis de Riemann hace tiempo.

    Supongamos que encontramos una demostración de la indecibilidad del problema. ¿Esto supondría automáticamente que existe una demostración del problema a partir de los axiomas en el sentido demostración formal en el que cada fórmula que aparece es un axioma o se obtiene mediante la aplicación de reglas deductivas sobre las anteriores fórmulas que se hayan ido obteniendo en la demostración?

    Está claro que si apareciera un contraejemplo sabríamos a ciencia cierta que el resultado es intrínsecamente falso, pero de ahí a que haya una demostración a partir de un juego de axiomas prefijado de antemano por nosotros, no veo la conexión.

    Os agradezco si me podéis ayudar a aclarar esta cuestión.

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  7. Ampliando mi respuesta anterior:

    La función Pi(n) (más información en http://es.wikipedia.org/wiki/Función_contador_de_números_primos) denota la cantidad de primos menores o iguales a n. Por eso, si a+b=n, con a y b primos, entonces a \leq n/2 y b \geq n/2, o viceversa. Por lo tanto, para calcular la probabilidad primero se obtiene la cantidad de números primos menores o iguales que que n/2, es decir, Pi(n/2), y luego los primos entre n/2 y n, es decir, Pi(n) – Pi(n/2). Al final se utiliza la equivalencia:

    \pi (n) \sim  \cfrac{n}{\ln{(n)}}
    y
    \pi(n/2) \sim \cfrac{n}{2 \ln{(n/2)}}

    Cuando n tiende a infinito, que es nuestro caso. La equivalencia fue descubierta por Gauss y demostrada más tarde por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin.

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  8. Imanol,

    la probabilidad de que exista el par que comenta la demostración (emparejando un primo de los n/2) depende de cómo los primos están distribuídos entre esos n números y NO (como usa la demostración) de la proporción de números primos existentes. Es decir, él está estimando la función de probabilidad real que habría que estudiar aproximándola con una uniforme.

    Por ejemplo, supongamos (es falso, ya) que para cada n sólo hay dos primos (es decir Pi(n)=2 para todo n, absurdo sí, pero sigue) y por simplicidad diremos que siempre coinciden con 1 y n/2+1, por tanto, es claro que la suma de esos dos primos nunca será n, sin embargo él siempre le está dando una probabilidad no nula.

    Otro ejemplo, si te digo que un dado de seis caras, está coloreado en blanco y negro, ¿qué probabilidad darías al suceso “la cara 1 es de color negro”? ¡no puedes saberlo! a no ser, claro está, que como el autor de la demostración asumas ¡unilateralmente! que las caras del dado se colorean con probabilidad uniforme (cosa que yo no he dicho) ¿y si el dado está coloreado de tal forma que caras opuestas tienen el mismo color?, ¿y si el dado está coloreado de tal forma que la cada 3 siempre es blanca?, ¿y si…?

    Es decir, ha construído una probabilidad en base a datos que no tiene o no puede asegurar (como que la probabilidad de obtener un par de primos que sumen n es uniforme).

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  9. Mi proyecto loco es, desde hace años, resolver el problema de la factorización de números grandes, aunque a veces lo ataco a través de otro gran problema: el del logaritmo discreto.

    Obviamente no he llegado a nada, pero no es trabajo perdido, y no lo digo sólo por la diversión.

    Una cosa es tener un determinado conocimiento teórico, y otra muy diferente es que este conocimiento se aloje en tus neuronas de una forma natural… no sé si me explico. Esto último se consigue trabajando duro.

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  10. @mandanga: lo que he dicho no es cierto que para todo problema indecidible. Quizas no me haya expresado con claridad, lo que queria decir es que hay problemas que por su formulacion no pueden ser indecidibles. La indecibilidad implica que no existe ninguna demostracion ni del resultado (conjetura de Goldbach) ni *tampoco* de su opuesto. En particular, implicaria que no existe ningun contraejemplo (porque un contraejemplo seria una demostracion del enunciado opuesto a la conjetura de Goldbach). Pero si no existe ningun contraejemplo (es decir ningun numero par que NO puede ser escrito como suma de dos primos) entonces se tendria que la conjetura es cierta, lo cual nos da una contraduccion con la indecidibilidad.

    Esto solo sucede porque el problema tiene una naturaleza discreta. Las unicas situaciones que yo conozco donde aparece una autentica indecibilidad siempre implican cardinales grandes: axioma del supremo, axioma de eleccion, etc. Para muchos problemas que o bien son discretos (Goldbach) o bien se reducen a uno discreto (Riemann) la indecidibilidad simplemente no es posible, y la demostracion siempre es parecido: si el resultado es falso, existe un primer contraejemplo que podemos encontrar tras un numero finito de pasos.

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  11. Vaya, no se me habría ocurrido atacar la conjetura de Goldbach haciendo lo del límite 😀 . No sé si el límite y probabilidades están bien hechos, pero suponiendo que está bien, deducir de ahí la conjetura es bastante TAMO.

    Esta entrada me ha recordado que en mi época de estudiante de la licenciatura, un estudiante de informática decía haber demostrado el teorema de Fermat en tan solo 3 páginas, y hasta había registrado la prueba. Bueno, conseguí la prueba y de hecho si la prueba fuese correcta, bastaba con una sola página (en las otras 2 demostraba cosas de sobra conocidas). Recuerdo que le comentamos al chaval un par de fallos en la prueba y a los pocos días nos vino con la prueba corregida. Pero esta vez ni tuvimos que revisar la prueba, bastó con decirle que una de las cosas que demostraba (que era lo principal de la prueba) era una afirmación falsa. Si a alguien le interesa ver esta prueba, puedo buscarla, alguien subió una copia escaneada en internet.

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  12. .
    Bueno, la demostración de la irracionalidad de Zeta(3) ( = 1.2020569+) también se había resistido a generaciones de matemáticos y en 1978 Roger Apéry consiguió demostrarlo utilizando métodos bastante elementales, para estupefacción y asombro del mundillo matemático profesional.

    Por eso ahora se la conoce como constante de Apéry.

    El algoritmo AKS de comprobación de primalidad, que es capaz de determinar si un número es primo o no en tiempo polinomial, también se había resistido a la élite matemática hasta que tres informáticos indios lo publicaron en 2002 (“PRIMES is in P”) y se llevaron numerosos galardones por ello (Premio Gödel 2006, Premio Fulkerson 2006, ..). Su demostración es también elemental.

    Es decir, que el hecho de que un cierto problema se haya resistido a las “mentes más preclaras” del universo matemático no implica en absoluto que mentes no tan dotadas puedan tener éxito utilizando medios elementales donde semejantes prodigios no se comieron una rosca.
    .

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    • Creo que debería existir capacidad incluso instuticional para responder dignamente a las personas que se interesan por las matemáticas.
      Después de leer sobre tantas barbaridades que se hacen con dineros públicos parece que algo de dinero publico aprovecharía si se empleara en contratar a personal cualificado para responder a estas personas que se interesan por temas matemáticos sin tener suficientes conocimientos, no de manera despreciativa, sino indicando los errores cometidos y señalando los procedimientos más factibles para adquirir los conocimientos que serían necesarios para resolver el asunto en cuestión. Es decir, intentando enfocar la respuesta hacia la divulgación matemática y el fomento del interés y cariño por la materia.
      No sé si eso se hace en algún país, pero desde luego parece muy alejado de la mentalidad española, que como buenos latinos, practicamos el “sálvese quien pueda” y que cada cual se apañe como Dios le de a entender.
      Sin embargo, algo de lo que digo se hace ya en
      http://rinconmatematico.com/foros/
      página que recomiendo visitar

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  13. Pero eso (Rama Nujan) no cambia nada.

    No se trata de ver “buenos y malos”, no tengo ni un sólo dato, pero hipotetizo que, tomando una medida de la relación existente entre “capacidad matemática” y “calidad resultados obtenidos” obtendremos una gaussiana (debido a las múltiples variables que intervienen en la producción de un resultado matemático).

    Los ejemplos que pones, son sólo los sucesos raros que siempre se producen.

    Digamos que, si yo pruebo o refuto P=NP, será como que me han tocado todas las loterías del mundo simultáneamente. ¿Es posible?, quizás, pero eso no da más fuerza a mi capacidad matemática o a mis probabilidades de éxito luego… si lo intento, lo intentaré por diversión (en otro caso, SI HAY altas probabilidades de que me frustre).

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  14. vengoroso, creo que tu argumento sobre que la conjetura de Goldbach ha de ser decidible se basa en una suposición que podría ser erronea. Afirmas que si tuviesemos una demostración de la indecibilidad de la conjetura, entonces automaticamente tendríamos una demostración de su veracidad. Y estoy completamente de acuerdo con ello.
    Pero la conjetura podría ser indecidible, y simplemente tu argumento demuestra que en ese caso su indecibilidad también será indecidible. Quiero decir, si la conjetura es falsa, entonces es decidible, pero si es cierta puede ser decidible o no serlo, y si es indecidible, entonces también lo es la afirmación “La conjetura de Goldbach es indecidible”
    Sé que estoy contestando a un Post que lleva publicado dos años, pero le he dado bastantes vueltas al tema y me gustaría saber la opinión de gente con mas conocimientos que yo.

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  15. De hecho tienes toda la razón. Lo que dice vengoroso es:

    \textrm{CG es falsa}\rightarrow\textrm{CG es refutable}

    Se entiende que demostrable o refutable se refiere al marco de alguna teoría aritmética no muy potente, como la aritmética de Peano. Varios sinónimos de esta afirmación son:

    \textrm{no-CG es verdadera}\rightarrow\textrm{no-CG es demostrable}

    \textrm{CG no es refutable}\rightarrow\textrm{CG es verdadera}

    Ahora bien, si yo mañana demuestro que CG no es refutable usando teoría de conjuntos, he probado que CG es verdadera, pero eso NO quiere decir que CG sea demostrable usando los axiomas de Peano.

    En general esto pasa con cualquier afirmación indecidible en la aritmética de Peano. Por ejemplo, al demostrar que el enunciado de Gödel es indecidible en AP, estamos comprobando que es verdadero, pero en base a una capacidad de demostración superior a la que AP proporciona.

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  16. ¡Buen artículo!
    ¡Cuántas veces he creído ser yo uno de esos iluminados! jejejeje… Sobre todo al principio de la carrera…
    No sé si os ha pasado, pero yo hasta soñaba con demostraciones de cosas con alguna fantástica “idea feliz” y me despertaba de un sobresalto, pero demasiado tarde, se había esfumado dicha idea 😛

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  17. Me uno a los que piensan que es positivo que haya personas que se enfrenten con problemas de este tipo aunque no tengan conocimientos para ello. Ya me gustaría habérmelos encontrado como alumnos en mis clases de Secundaria.
    La mayor parte del público cree que las matemáticas son algo ya hecho y conocido “desde siempre”. Por eso es bueno divulgar sobre historia de las matemáticas y sobre las conjeturas que tardaron tiempo en demostrarse o que aún no se han demostrado, ni refutado. (las que son facilitas de entender, sirven mejor para fines divulgativos)
    Creo que si hubiera quien tuviera tiempo y ganas y conocimientos, debería escribir un curso de matemáticas para autodidactas que incluyera los contenidos de bachillerato y más o menos un primer curso de universidad, ademas de explicar qué es una demostración, como se hace, cómo se leen textos matemáticos, proporcionar biografía… y además estructurarlo en retos que se tuviesen que resolver, conforme se fuesen comprendiendo contenidos y métodos.
    Sería una forma de aprovechar el interés por las matemáticas que por otro lado suele ser, en general, escaso.
    El libro de Miguel A. Pérez, que además toma la historia de las matemáticas como hilo conductor , cubre una parte de lo que estoy pensando.

    http://www.casadellibro.com/libro-una-historia-de-la-matematicas-retos-y-conquistas-a-traves-de-su-s-personajes/9788498863857/1262391

    https://drive.google.com/?utm_source=es&utm_medium=button&utm_campaign=web&utm_content=gotodrive&usp=gtd&ltmpl=drive&pli=1#my-drive

    En fin, que yo también he escrito algo sobre las conjeturas, aunque no son demostraciones, desde luego, y está en este enlace:
    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/05/conjetura-de-collatz-no-todo-esta.html

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    • Por extraño que parezca sea resuelta La conjetura Fuerte de Goldbach y lo ha logrado Andri Lopez

      Punlicado: Universal Journal of Computational Mathematics Vol 3 (3) 2015

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  18. Lo de usar la función contadora de números primos de Gauss no parece riguroso, puesto que no es una función que aproxime bien la cantidad de números primos. En todo caso habría que usar la hipótesis de Riemann, aunque habría que demostrar también esta hipótesis.

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