¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:

$\begin{matrix} a^0=1 \\0^b=0 \end{matrix}$

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale $0^0$ ?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?.

Muchos diríais: $0^0$ es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación $0^0$ , sino que queremos saber cuál es el valor del número $0^0$ (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a $0^0$ ?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación $0^0$ , pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: $x^x$ . Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} x^x=0^0=A}$
$\begin{matrix} \displaystyle{\log{A}=\lim_{x \to 0} \log{x^x}= \mbox{Propiedad de los logaritmos}=} \\ =\displaystyle{\lim_{x \to 0} x \cdot \log{x}=''0 \cdot (- \infty)} \end{matrix}$
Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos $x$ como $\textstyle{\frac{1}{x}}$ al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital en el paso *:
$\begin{matrix} \displaystyle{\log{A}=\lim_{x \to 0} \frac{\log{x}}{\frac{1}{x}}=*=} \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}= \mbox{Operamos}=\lim_{x \to 0} (-x)=0} \end{matrix}$
Tenemos entonces que $\log{A}=0$ . Por tanto $A=1$

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

$0^0=1$

Algo del estilo ocurre con $0!$ . Sabemos que $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ . Pero, ¿qué pasa con $0!$ ?. Pues muy sencillo: $0! = 1$ . Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento:

$\begin{matrix} 4! = 3! \cdot 4 \rightarrow 3! = \frac{4!}{4} = 6 \\ 3! = 2! \cdot 3 \rightarrow 2! = \frac{3!}{3} = 2 \\ 2! = 1! \cdot 2 \rightarrow 1! = \frac{2!}{2} = 1 \\ 1! = 0! \cdot 1 \rightarrow 0! = \frac{1!}{1} = 1 \end{matrix}$

Por tanto:

$0!=1$

Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería decir. Os acosejo que leáis los comentarios que he hecho explicando un poco más estos dos temas.

Posts aleatorios

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de September de 2006
Categorías: Aprenda como, Demostraciones, Números enteros | Imprime este post

252 comentarios

lafundacion | 24 de November de 2006 | 18:55

Fascinante. Me he quedado de piedra. Simple y rapida demostracion.
meneame.net | 24 de November de 2006 | 18:55

¿cuanto vale 0 elevado a 0? y 0!?

Fantasticas demostraciones de lo que siempre he pensado que eran indeterminaciones.
Zifra | 24 de November de 2006 | 18:56

Me vale la de 0!, pero la otra, uyuyuyuyuyuyuy….

¿Qué significa eso de “la función más lógica”? Esa frase repele mi alma matemática.
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 18:58

zifra cierto, esa frase igual queda algo coja. Lo que quería decir con lógica es que es la función más sencilla que podemos utilizar para este caso y en la que se ve más claramente que evaluando en cero obtenemos 0^0.

Más formalmente: lo que he hecho sería equivalente a extender de forma continua la función x^x. Como su límite cuando x->0 vale 1 podemos decir que 0^0 debe tomar valor 1 para que la función sea continua. ¿Te convence ahora?
Caminante | 24 de November de 2006 | 18:59

Sigo sin entender lo de la función más lógica. X^X no me parece una función representativa, porque por lo mismo podemos decir que X/X es una indeterminación (0/0), operamos y obtenemos 1. Ya está resuelto y en menos pasos. En realidad es lo mismo que dices tú: cualquier nº multiplicado por 0 es 0, y cualquier nº dividido por 0 es infinito…

El problema es que la X de arriba no siempre es igual que la X de abajo. Sería más exacto decir que coges la función X^Y (o Y^X) (en mi ejemplo X/Y). Claro, en ese caso la cosa se complica, pues tendríamos dos límites que no tienen por qué converger a la misma velocidad.

El razonamiento de 0! también me parece incorrecto. Dices
1!=1·0! –> 0!=1!/1 = 1
¿? ¿Cómorrrr? ¡¡¡Pero si no has definido 1! !!!
Al final tienes que parar en un punto, y por convenio es que 0!=1. Pero podría haber sido perfectísimamente que 2!=2, N!=N*N-1! para números >=2, y al igual que no existe factorial de negativos no permitirlo para el 1 o el 0. Es lo que tienen los convenios.

Lo que cuentas me parece igual a las demostraciones de 1=-1. Veamos: -1=sqrt(-1^2)=sqrt(1)=1
Se basa en una sutil trampa que engaña al principio.
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 18:59

Caminante voy por partes:

¿x^x no te parece una función representativa? Lee mi comentario anterior. En principio esa función no está definida en 0, pero podemos definirla y hacerla continua en cero dándole el valor del límite. Eso es lo que quería decir cuando afirmo que 0^0 = 1.

¿Que la x de arriba no es siempre igual que la x de abajo?. Son exactamente iguales si hablamos de límite cuando x->0.

Yo hablaba numéricamente. Con tu ejemplo pasa igual. En principio la función x/x no está definida en cero. Pero podemos coger una extensión continua de esa función que está definida en cero y cuyo valor en cero es 1 ya que su límite en cero es 1. Y sería algo parecido: numéricamente hablando 0/0 = 1 (muy importante eso de numéricamente).

¿Que no he definido 1!?. ¿Y qué es esto entonces?:

n! = n·(n – 1)·(n – 2)·…·2·1

Igual me ha faltado poner que esa definición es válida para n mayor o igual que 1, pero vamos, creo que es bastante intuitivo a partir de la definición. Con ese razonamiento quería hacer ver que el hecho de que por convenio se elija 0! = 1 tiene bastante sentido. Nada más.

Y sobre el ejemplo que tú pones, no lo veo comparable a lo que yo he comentado, ya que en tu ejemplo hay un fallo en el razonamiento que hay que descubrir (es evidente que debe haber un fallo ya que llegamos a un resultado falso a todas luces). Los casos que comento no van por esa línea.

Por otra parte te felicito por tu comentario. Con posts como este intento que la gente se coma la cabeza, que razone, que me critique y que me discuta si no está de acuerdo conmigo, y veo que lo consigo. De todas formas espero que mi explicación te convenza .

Saludos
Caminante | 24 de November de 2006 | 19:00

Me alegro que no te lo tomaras a mal el comentarios. A ver. Te contesto rápidamente (lo siento, pero estoy en el curro).

El primer caso veo el fallo porque tratas solamente un caso muy particular. Si lo haces con un caso general (base y exponentes diferentes) entonces la cosa cambiaría mucho. Pero ¿si quieres demostrar 0^0=1 porqué quiero un caso general? Porque acabas usando límites y operaciones de simplificación (esa es la parte que me parece un poco trampa en la argumentación).

Hace poco leí un comentario de Asimov acerca de si chocara un cuerpo imparable contra un objeto inamovible. Venía a decir que es imposible porque si existe uno no existe otro por definición. Aquí pasa algo igual. Parece que intentas demostrar un error de definición matemático: algo elevado a 0 = 1, 0 elevado a algo = 0, ¡se contradice!. En ese caso estoy de acuerdo: está mal definido. Y no estoy en contra de tu resultado: buscamos la solución más lógica y lo redefinimos como a^0=1 para todo a y 0^a=0 si a!=0. Así habrás/habremos tomado una decisión bastante lógica pero arbitraria (la mejor entre dos opciones si lo prefieres).

Sobre el factorial. El factorial se define:
Fact(0)=1
Fact(1)=1
Fact(N)=N*N-1

Los dos primeros casos son básico, pero son ambos puntos de parada arbitrarios (en algún sitio habrá que deternerse).
Y evidentemente es que no queda otra con Fact(0), porque sería tonto definir Fact(n)=n*n-1*n-2*…*2*1*0

Te pido disculpas si había leido tu artículo pensando que intentabas darle un sentido más matemático que de sentido común.

Hasta luego
Caminante
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:01

A ver, voy a intentar explicarlo otra vez: puede que tal y como está escrito el artículo no se entienda bien, pero básicamente lo que yo quería hacer es extender x^x de manera continua al valor cero. El artículo está enfocado en orden inverso, por decirlo de alguna forma. Por eso lo de 0^0 = 1.

Quiero aclarar, por si alguien se ha liado: en límites, ya sean de sucesiones o de funciones, 0^0 es una indeterminación. Que quede claro. Con este artículo quería referirme al caso en el que pudiéramos encontraros 0^0 como número, y no como exponencial de funciones o sucesiones que tienden a cero simultáneamente. Espero que este quede claro.

El hecho de tomar “0^0 = 1″ numéricamente hablando no me parece para nada arbitrario, ya que lo que estamos haciendo es darle a x^x el valor 1 en x = 0, que es lo que vale su límite cuando x->0.

Sobre la definición de factorial: a mí no me lo definieron así. Me lo definieron como yo he puesto para n mayor o igual que 1 y me dijeron que 0! = 1 sin más explicaciones. No pretendía dar una demostración de este hecho con este post. Lo que pretendía era que la gente a la que se lo definieron igual que a mí comprenda por qué esa definición de 0! = 1. Que tiene sentido, que no es un valor arbitrario.
omalaled | 24 de November de 2006 | 19:02

Hola.

Quisiera intentar aportar mi granito de arena. Respecto a Caminante, lo de Asimov no es muy buen ejemplo. En un choque no existe el concepto de velocidad, pues la velocidad es la “derivada del espacio respecto del tiempo” y en ese punto, la función presenta un “quiebro”, o sea, un punto no derivable. Cosa que no quita argumentación a tu idea, pero quería dejar claro ese punto.

Respecto a lo del 0!, tengo otra idea y es hacer la binomial sobre 2. La binomial sobre 2 nos dice (por ejemplo), cuántos choques de mano hay en un grupo de n personas. Pues n sobre 2. 5 personas sería 5!/2!(5-2)!=10; pues 2 sobre 2 sería 2!/2!(2-2)!=1 El 1 lo conocemos positivamente, y de ahí debemos extraer que el denominador, el térmono (2-2)!=0!=1
Ro | 24 de November de 2006 | 19:02

Hola.

En mi opinión 0^0 no esta definido, no hay ningún número que sea igual a 0^0, de la misma forma que no hay nada que sea igual a 0/0. Cosa distinta es que determinadas funciones tomen ciertos valores cuando se acerquen al cero. Tu tomas la función x^x y efectivamente en el límite vale 1, Pero igualmente, por ejemplo, la función x^(1/ln(x)) toma el valor e cuando x tiende a 0+.
Tu función es más sencilla y de alguna forma es la función “natural” para lo que tu pretendes, pero de ahí a decir que el valor más coherente para 0^0 es 1, me parece que es dar un salto quizás demasiado grande.
Un saludo
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:03

Esa es la parte que puede que se haya interpretado peor. Al parecer lo que se entiende del post es que 0^0 = 1 siempre por el tema del límite. Yo no quería decir eso. Era algo así como: si en algún momento nos encontramos con 0^0 numérico tendríamos que darle el valor que se obtiene de extender de forma continua la función x^x para que todo funcionara bien, y ese valor es 1. Por eso he intentado aclarar que su en un límite nos encontramos 0^0 eso es indeterminado y tendríamos que usar algún método de cálculo de límites para saber su valor, no pudiendo por tanto darle a ciegas el valor 1.

Ya digo, probablemente haya equivocado el enfoque del post y debía haberlo escrito de otra forma, pero mi intención era la que he intentado explicar en los comentarios a raíz de vuestras críticas (constructivas todas por cierto).
0xC | 24 de November de 2006 | 19:04

Hola, excelente blog, los felicito, muy interesante.
yo les traigo un problema, se ve fácil, pero requiere de un nivel aceptable de matematicas.

Esta vez trata sobre ecuaciones diferenciales…

Encontrar la ecuacion diferencial que satisface la sigueinte ecuacion:

r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 –> donde r=k

Tips: Eliminacion de constantes arbitrarias….
Despejas constantes y derivas, despejas y derivas, etc….

Fácil ¿no?………
0xC | 24 de November de 2006 | 19:04

en mi comentario les deje un problema… Saludos..
Jorge | 24 de November de 2006 | 19:05

Lo de que 0!=1 de deduce de la combinatoria, binomio de Newton y triángulo de Pastal/Tartaglia. Además, 0! se puede interpretar como el producto de ningún factor, así que el resultado ha de ser el neutro del producto, es decir, 1 (de la misma forma que sumar ningún sumando da el neutro de la suma, el 0).

Sobre 0^0… me parece que nos estáis tomando el pelo a base de bien. Veamos. Sobre el cálculo del límite… no habéis considerado hacer el límite por la derecha o por la izquierda y ser si son iguales.

Pero lo peor de todo es la base de partida.

0^b = 0 siempre que b sea mayor de 0. Si b es 0 o menor de 0 entonces ya no sirve esa igualdad: por ejemplo, 0^(-1) = 1/0.

a^0 = a/a, es decir, una división, y todos sabemos que no se puede dividir por 0, así que a^0=1 si y sólo si a es distinto de 0.

Etcétera.

Ya que estáis con ello, ¿porqué no probáis a hayar el valor numérico de la raíz cuadrada de 4? Unos dicen que es +2, y otros que es -2. Pero es imposible que puedan ser dos valores distintos
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:06

Sobre lo del punto de partida: creo que queda claro lo que quería decir viendo la frase

En nuestra época de colegio nos dicen que…

Evidentemente eso no es cierto, sólo quería recalcar que eso es lo que nos dicen. Al menos a mí me lo dijeron así.

Sobre los límites laterales: vale, límite por la derecha solamente.

Y lo otro: Raíz cuadrada de 4 = 2.
Para obtener el -2 habría que escoger la menos raíz cuadrada de 4.

Saludos
nieves (abelgalois) | 24 de November de 2006 | 19:07

yo creo que lo de 0 elevado a 0 es así de fácil…si es 0 elevado a x , con x tendiendo a cero..entonces será 0…y si es x elevado a 0 con x tendiendo a cero ,entonces será 1.
y no os comáis más el coco..
Sois geniales y generáis mucha controversia… xxddd.
Un saludo neok y diamond

(lo había puesto fuera de post,perdón)
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:08

Gracias nieves.

Y no te preocupes por el comentario en otro lugar, no problem
raiz_de_5 | 24 de November de 2006 | 19:08

Está mal. No se puede definir en la aritmética un valor para 0^0, es decir, usando sólo números y operaciones básicas en un número finito de pasos. De hecho, sólo encontrarás ese símbolo en cálculos con funciones, y entonces se impone el uso de límites, si es que existen. La idea es que el símbolo 0^0 no puede nunca ser un número, de la misma forma que tampoco puede ser un número 0/0, o el infinito, como bien matiza RO. El motivo es que, precisamente, el límite de funciones de tipo 0^0 no siempre es el mismo, dependiendo de las funciones implicadas en el cálculo, lo que daría un conjunto de valores posibles para 0^0, que es contradictorio con la idea de número. Similarmente, 0/0 puede tomar cualquier valor finito o infinito, y por eso se dice que no puede ser un número porque realmente ¡son muchos números a la vez!.
Cuando asignas un valor númérico constante a 0^0, intuyo que introduces contradiciones no permitidas en las matemáticas.
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:09

Definitivamente equivoqué el enfoque del post ya que parece que no se me ha entendido.

Lo que quería decir básicamente era:

0^0 es una indeterminación, pero si tuviéramos que darle un valor numérico (es decir, si tuviéramos que extender de forma continua la función x^x), ¿cuál le daríamos?

Y le daríamos el valor 1, ya que es el valor del límite de x^x cuando x->0.

Y aunque lo he hecho ya varias veces lo vuelvo a recalcar: si al evaluar un límite nos encontramos con un 0^0 eso es una indeterminación.

Saludos
Ro | 24 de November de 2006 | 19:09

Sin ánimo de polemizar, yo creo que el asunto está mal “planteado” de partida. No tenemos que darle un valor numérico a 0^0, de hecho no podemos, tal cosa no existe. Lo de extender la función x^x de forma continua es otra cuestión.
Me “chirría” especialmente la frase “y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario”.
Acid | 24 de November de 2006 | 19:11

No me gusta el razonamiento:
Cuando se llega al paso
log A = 0 … no implica A = 1
Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

Te pongo otro ejemplo:
y = x^2
log y = 2*log x
¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
¿implica esto x = 1??
Hay que tener en cuenta que x=-1
también cumple la ecuación…
Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar.

Para mi, 0^0 simplemente no está definido. (así que es indefinido o indeterminado)

Cuando definimos la operación “elevado a” si la definimos en números naturales asumimos que n^m es multimplicar n por sí mismo m veces… pero no tiene sentido multiplicar un número por sí mismo 0 veces… Eso es un convenio cuando se extrapola, pero la extrapolación no vale cuando n es cero.
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:11

Ya he explicado en los comentarios que creo que me equivoqué al enfocar el tema y por tanto no se ha entendido bien lo que quería decir. Prefiero no volver a explicarlo para no repetirme.

Respecto a tu ejemplo: log y = 0 implica log x = 0, evidentemente. Y eso implica sin ningún género de dudas que x = 1, ya que el logaritmo está definido sólo para números reales positivos. Por tanto no cabe una solución negativa, ya que el logaritmo de un número negativo no existe.
Lorena | 24 de November de 2006 | 19:12

Mmmm… no existen?
karluyz | 24 de November de 2006 | 19:13

Digamos que lo que tratas de establecer, me queda clarisimo. No obstante entiendo, que para meterse en esas profundidades han de tenerse claros muchísimos conceptos y definiciones.
No se debe aseverar cosas que no hemos estudiado, como por ejemplo que los logaritmos de números negativos no existen.
Ejemplo: log(-2)=log(2)+πi
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:13

karluyz en todo momento estamos hablando de logaritmos de números reales. Si en el razonamiento estuvieran involucrados los números complejos lo habría dicho.

Y en esta situación el logaritmo de un número negativo no se puede hacer, al igual que el logaritmo de 0.
Indeterminado | 24 de November de 2006 | 19:14

¿Álguien me podría explicar cómo se aplica la Regla de l’Hôpital? En la Wikipedia pone unos ejemplos que creo que no se corresponden.

No veo lo siguiente:

log A = limx->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = limx->0(1/x)/(-1/x2) = [Operamos] = limx->0(-x) = 0;
^DiAmOnD^ | 24 de November de 2006 | 19:14

Indeterminado ¿cuál es exactamente el paso que no entiendes?
Pulpux | 24 de November de 2006 | 19:15

Para caminante:

Pusiste

Sobre el factorial. El factorial se define:
Fact(0)=1
Fact(1)=1
Fact(N)=N*N-1

y es

fact (n)= n * fact(n-1)

y lo que dijo diamond sería bastante lógico aunque la “verdadera” explicación la daría por el triangulo de tartaglia.

Continuando con la logica que dió Diamond:

dividiendo por n ambos miembros de la ecuacion fact (n)= n * fact(n-1)
nos queda
fact(n) /n = fact(n-1)

por lo tanto

Fact(1) / 1 = fact(0) = 1

Saludos a todos y me encantó este blog!!!
Francisco | 24 de November de 2006 | 19:16

¿¿¿¿¿¿¿
No me gusta el razonamiento:
Cuando se llega al paso
log A = 0 … no implica A = 1
Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

Te pongo otro ejemplo:
y = x^2
log y = 2*log x
¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
¿implica esto x = 1??
Hay que tener en cuenta que x=-1
también cumple la ecuación…
Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar. ??????????

uno: el logaritmo de x.. no tiende a menos infinito cuando x tiende a cero??
que sentido tiene calcular el logaritmo de cero?
el logaritmo de un numero a devuelve el numero al cual debe ser “elevada” la base del logarito para obtener a. sin importer la base, èsta tendria que e evarse solo a menos infinito para que sea cero..
y la base.. sea 10 o e.. solo elevada a 0 da 1!!!!
( lo que significa que sólo el log(1)=0 => si log(a)=0 -> a=1)

dos: logaritmo de -1?? real??? el logaritmo de -1 es pi*i, siendo i, la unidad imaginaria o raiz cuadrada de menos uno, la forma euleriana de un complejo.
siendo asi, 2*log(-1) jamas podria ser cero.. solo es un valor imaginario..

tres: las matematicas, el calculo y el algebra son absolutos.. NO DEPENDEN DEL MATEMATICO.. para mi y parab ti.. tiene que ser lo mismo..no se puede interpretar distinto.. solo es… se sabe o no se sabe.. nada mas.. ( no es por aparentar saber.. pero asi es la cuestion.. la intuicion suele llevar a error.. sobre todo a un niver mas alto.. se puede demostrar con un solo ejemplo que algo es falso.. pero puedes demorarte una vida tratando de demostrar algo que crees vedadero..)

PARA EL PROBLEMA DE 0 A LA 0————
para el caso dado.. el limite de x a la x tiende a uno.. pero hay muchas maneras de acercarse a cero elevado a cero.. y no todas tienden a uno.. si su pudiera demostrar que todas la formas de acercarse tiendan a uno cuando x tienda a cero, tendras tu respuesta. pero sin embargo.. si tomo lA siguiente funcion: x^(x^(-2), que tambien tiende a cero elevado a cero cuando x tinde a cero.. y le aplico el limite (cuando x tiende a cero).. y se obtiene nada mas que.. cero (distinto a uno)
entonces.. se puede decir que cero a la cero depende de la forme en que te acerques al valor cero.. por lo tanto NO podemos decir que valga 1… entonces..nos queda un valor indeterminado…

PARA EL CASO DE O!—
es una demostracion que puede hacerse mediante la funcion gama, tomando en cuenta que gama(x)=(x-1)!
lo dejo propueso por si alguien se anima..
gama(x)= la integral de cero a infinito de (u^(x-1)*e(-u)*du)
alex | 20 de December de 2006 | 12:10

¿cual seria la funcion represntativa de e^x??
Naka Cristo | 20 de December de 2006 | 16:05

x^(x^(-2)) tiende a 1 cuando x tiende a 0. (Por lo menos según Maple)
^DiAmOnD^ | 20 de December de 2006 | 23:42

Pues me da que Maple se equivoca…

Pronto hablaremos de programas informáticos
Naka Cristo | 21 de December de 2006 | 09:27

Sí, he debido decirle antes algo mal.
^DiAmOnD^ | 21 de December de 2006 | 11:15

Igual lo que escribiste en el programa fue (x^x)^(-2)
Nauar | 5 de January de 2007 | 11:06

Hola a todos, a mí me sale una contradicción:

dado que 0^0 = 1
y que 0^0 = 0^2*0^(-2) y 0^2 = 0 y 0^(-2) = 0

Tenemos que:

1 = 0^0 = (0^2)*(0^(-2)) = 0 * 0 = 0 => 1=0??

Agradecería que alguien me lo pudiera explicar.
^DiAmOnD^ | 5 de January de 2007 | 16:02

Nauar echa un ojo a todos los comentarios y verás que la intención del post no era decir que 0^0=1 siempre, sino que si tuviéramos que definir la función x^x para que fuera continua en cero deberíamos darle el valor 1, ya que su límite cuando x tiende a 0 por la derecha vale 1. En principio 0^0 es indeterminado, el límite de una función que tiende a 0^0 puede valer cualquier cosa.

Por otra parte en tu razonamiento tienes un error: 0^(-2) no es cero, ya que es 1/0^(2), que tiende a infinito. Por tanto obtendrías 0*infinito, lo cual también es indeterminación.
NuezMoscada | 18 de January de 2007 | 17:03

En teoría de conjuntos se define la exponenciación de números naturales del siguiente modo:
n^m es el número de funciones que puedes definir de m en n.
eso da de forma inequívoca que 0^0=1 COMO NÚMEROS, como límites es otro asunto.
Chimpún.
Tiresias | 13 de March de 2007 | 11:51

NuezMoscada… si 0 es el conjunto vacío ¿cómo defines una función del vacío en sí mismo? Esa definición no arregla el problema… piensalo…
jxe | 8 de March de 2008 | 23:57

esto es muy complicado sin embargo en potencias todos saben que cero es 1, y el exponente es el cero(º) siempre va ser 1 en tonces 0º es = que 1 elevado a 1 no?

0º = 1º= 1
si me resolicion de este problema es correta contacteme porfavor !!!
gracias
jose ignacio
peter | 25 de March de 2008 | 22:36

la demostración de que 0^0 es uno es mucho más simple a mi parecer. un número dividido entre sí mismo es 1 siempre no? es decir que, por ejemplo: 0^3 : 0^3= 1

Y por otra parte, por propiedades de potencias:
0^3 : 0^3 = 0^3-3 = 0^0, y como hemos visto antes, es igual a 1

saludos y gracias! si ven alguna contradicción no duden en contestar!
Omar-P | 25 de March de 2008 | 23:54

No se puede dividir por cero.
Enrique | 26 de March de 2008 | 15:17

Me parece mejor demostrar que 0! = 1 usando la función Gamma. Simplemente calculariamos Gamma de uno.
GABRIEL DAVID MONTENEGRO G | 27 de March de 2008 | 00:14

PARA RESPONDER 0^0 ES INDETERMINADO

Como la potenciacion es una operacion, en particular, para cada par de numeros existe uno y un solo un resultado:

sea X un # real tenemos:

propiedad 1 0^0=0
propiedad 2 X^0=1

luego es una contradicion para la definicion de operacion en numeros reales. esto significa Indeterminado.

ayudado por una amiga de puertas de sol Suba, gracias

GABRIEL DAVID MONTENEGRO G – F.U.S.M.
ING. SISTEMAS
WAA | 7 de May de 2008 | 02:29

Hola,

No olvideis que el “0″ aunque es maravilloso, es una cifra inicialmente inventada por los antiguos solo para poder representar potencias de 10 y no para representar “la nada” o la “separación” entre la recta real en sus parte negativa y positiva, y por lo tanto no es una cantidad como tal lo son los demás números, por ello fallarán en rigor algunas leyes aplicables a los demás números reales.
Es mejor no asegurar nada de cero a la cero, por medio de funciones. Imaginence que el cero puede existir en cualquier intervalo abierto o cerrado de la recta real si se interpreta como “la nada”
Marcos | 7 de May de 2008 | 14:01

Recuerdo una discusión de hace un tiempo en la lista Snark, sobre si el cero era un número o no.

El cero es un número como cualquier otro (además es mi número favorito); no entiendo por qué hay necesidad de asignarlo a conceptos totalmente distintos de los números como “la nada”. El cero es simplemente la cantidad de elementos del conjunto vacío, o la cantidad de cosas en “la nada”.
Sive | 8 de May de 2008 | 08:46

La demostración de $0^0$ no me satisface, es arbitraria como alguien a apuntado por ahí. Sin embargo si me satisface el resultado, es decir $0^0=1$ .

Me satisface el resultado porque es coherente con la aritmética, por ejemplo:

$(a+b)^2 = a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2$

Si ahora hacemos b=0, tenemos según el primer término de la igualdad:

$(a+0)^2 = a^2$

Y según el segundo:

$a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2 = a^20^0 + 2a^10^1 + a^00^2$

Lo cual da como resultado $a^2$ si y solo si $0^0=1$ .
Sive | 8 de May de 2008 | 09:42

También me gusta el razonamiento de NuezMoscada…
Anton | 14 de May de 2008 | 20:47

NO ESTOY DE ACUERDO.

No puedes hallar el valor de 0^0 a través de x^x de la misma forma que no puedes hallar el valor de 0 / 0 como x/x. Lo que aquí tenemos no es una función (ya sé que lo has puesto con negritas, lo triste es que hayas caído dos líneas más abajo).

La única razón por la que los números elevados a cero dan 1 es: 2^0 =2^(3-3)= 2^3 / 2^3 = 1

He usado el 3 para los exponentes como podria haber usado otro.

La diferencia entre el dos y el cero es que al hacer eso te queda un cero en el deminador. Lo cual no existe, no es ni siquiera un número imaginario o algo así. Simplemente, no existe.

En cuanto al factorial de 0, prefiero ir a la definición, que es lo único realmente conocido:

n! = n·(n – 1)·(n – 2)

donde n=0, quedaría

0! = 0

Sólo una cosa más. No es que te hayas explicado con poca claridad, es que yo estoy en absoluto desacuerdo. Saludos.
Anton | 14 de May de 2008 | 20:54

Como indica la wikipedia: “Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.”

Es una cuestión de comodidad. Un convenio.
Winted | 14 de May de 2008 | 21:15

Respecto a 0^0 me parece tan simple como que se ha malentendido la proposición. Se refiere a la igualdad hablando de límites, que se especifica. Creo que ha armado un poco de alboroto innecesariamente. Y respecto al facotiral, con indicar que es por convenio, como se ha hecho, queda suficientemente claro, cosa que en mi opinion no tiene sentido mas que para esta demostración, pero bueno. No veo mas problema en esto. No sé qué opinarán ustedes.
Sive | 15 de May de 2008 | 10:54

Ambos resultados son convenciones. El de 0! está muy aceptado, y el de 0^0 no tanto, pero también.

Pero no basta con decir que se toman tales o cuales valores por conveniencia. Hay que argumentar dicha conveniencia.

Por ejemplo, en el caso de 0^0 hay dos opciones:

1) La fórmula del binomio de Newton no es válida cuando alguno de los sumandos es cero. Lo cual nos obligaría a acordarnos de estudiar este caso especial en algunos desarrollos.

2) Definimos 0^0=1 y Santas Pascuas.

En el caso de 0! también se puede usar la fórmula del binomio de Newton como argumento. Hay dos posibilidades:

1) La fórmula del binomio de Newton no sirve para calcular los coeficientes primero y último que son 1 por definición (aparecen factoriales de cero tambien en estos casos).

2) Definimos 0!=1 y Santas Pascuas.
Sive | 15 de May de 2008 | 11:22

Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para demostrar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?
Sive | 15 de May de 2008 | 11:23

Quise poner (en negrita la errata):

Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para argumentar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?
Omar-P | 15 de May de 2008 | 12:22

Todo número elevado a la cero es 1.
Winted | 15 de May de 2008 | 17:17

Cero no siempre simboliza un número.
Omar-P | 15 de May de 2008 | 17:36

¿Y que simboliza entonces?
Hector | 24 de May de 2008 | 23:23

yo pense que era indeterminacion!
Andres Fielbaum | 7 de July de 2008 | 02:07

respecto a la discusion del n!, me parece que si es mas natural definirlo como 1. por que?
porque uno puede definir n!=pitatoria_{k=1}^n(k)
lo cual, para n=0, significa no multiplicar ningun numero, y en ese caso, lo mas usual suele ser adoptar el neutro multiplicativo, i.e., 1, al igual que se hace con la suma, que usualmente se asume como cero…

de todos modos, por supuesto que sigue siendo, como siempre, una convencion, pero asi se ve menos arbitraria

respecto a lo de 0^0, no estoy de acuerdo con eso de la “funcion mas natural”, pues uno puede tomarse infinidad de funciones… es cierto que esa quiza sea la primera que a uno se le ocurre, pero eso no significa nada… de hecho, con la convencion mas usual 0*infinito=0, puede sonar mas razonable 0^0=0, pero sigue siendo solo tomando casos particulares.
Pedro | 29 de July de 2008 | 19:47

Sólo es un caso particular, en lo general no se llega a cumplir!
giannini | 5 de August de 2008 | 23:09

hola , les agradeceria si alguien es capas de darme diez ejemplos que cumplan esta misma igualdad 2^4=4^2
Sergio | 6 de August de 2008 | 13:02

Yo creo que esto es algo muy, muy sencillo, y que, a mi modo de ver, lo podría explicar en un colegio de primaria:

0^0 (y no es un emoticono al revés) es lo mismo que decir 0 veces 0. Y si cualquier número por cero veces es 0, 0 en sí es un número, por lo que 0^0 = 0.
Omar-P | 6 de August de 2008 | 14:48

No Sergio. Todo número elevado a la cero es 1. Por lo tanto 0^0=1.
Sive | 21 de August de 2008 | 21:53

Sergio, cero veces cero es lo mismo que cero multiplicado por cero, y por supuesto, el resultado es cero.

Estamos exponenciando, no multiplicando.

La multiplicación de A por B equivale a la suma de B sumandos, todos iguales a A.

AxB = A + A + A + … + A (hay B sumandos, todos iguales a A).

Si B es cero, la operación resultante es muy extraña porque hay cero sumandos. ¿Cómo se hace eso si… ¡en realidad no hay operación!? Tal vez nuestra intuición nos diga que el resultado de una operación en blanco (¿¿¡¡!!??) es cero, pero la intuición está muy bien como guía, no prueba nada.

Si antes de poner las Aes, comenzamos sumando cero, es decir:

AxB = 0 + A + A + A + … + A (hay B+1 sumandos, uno es 0, y los demás son A).

El resultado no se altera, con la ventaja de que ahora, decir que hay cero Aes nos presenta un resultado directo, en lugar de una misteriosa operación en blanco. A saber: que A·0 es igual a 0 sin importar el valor de A (porque no interviene en la operación resultante).

Hagamos lo mismo con la exponenciación:

Elevar A a B equivale a la multiplicación de B factores, todos iguales a A.

A^B = A · A · A · … · A (hay B factores, todos iguales a A).

Si B es cero, hay cero factores y la operación resultante es igual de extraña que la anterior. Para sortear esta singularidad se puede proceder de la misma forma que antes, sólo que esta vez comenzamos multiplicando por el elemento neutro del producto, es decir el 1, así:

A^B = 1 · A · A · A · … · A (hay B+1 factores, uno es 1, y los demás son iguales a A).

Ahora A ^ 0, nos da un resultado directo en lugar de una desconcertante operación en blanco. Además no importa el valor de A, incluso si A es cero, el resultado es 1.
Asier | 21 de August de 2008 | 22:56

Muy buena y convincente explicación, Sive.
Sive | 24 de August de 2008 | 02:18

Gracias Asier.

En realidad, supongo que te habrás dado cuenta, lo que he intentado transmitir es la idea del producto vacío, cuyo resultado es 1.

El producto vacío en wikipedia (en inglés):

http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

Curiosamente (lo acabo de ver) se comenta brevemente en el articulo el dilema que discutimos aquí.
Sive | 24 de August de 2008 | 03:46

Curiosamente, en el enlace que puse antes, hay un enlace a otro artículo en wikipedia donde se trata explícitamente este problema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

A vuelo de pajaro, he podido ver el argumento de NuezMoscada, todos los mios, y alguno más.
samael | 25 de August de 2008 | 15:48

cual es la capacidad de numeros facotirales, o decir hasta que numeros es los numeros facotirales o que capacidad tiene el factorial de numeros
Omar-P | 25 de August de 2008 | 21:56

Los números factoriales son infinitos.
daniel | 2 de December de 2008 | 02:48

pues desde que supe que 2+2=5 todo es posible
Eardil | 2 de December de 2008 | 03:31

yo solo digo que:
0^0= (0^1)(0^(-1))= 0/0
martin | 11 de December de 2008 | 05:08

el factorial de 0 me parece correcto…pero no estoy segvro del 0^0
Javi Gallo | 11 de December de 2008 | 05:32

No me convence para nada la resolución. Igual me pareció que había empezado bien, jaja. Pero usa L’Hopital, que es una técnica muy avanzada como para aplicarla a este problema. Estoy seguro que no se fijó que muy probablemente metió la pata y esto es como la “paradoja” del huevo y la gallina. Antes de usar L’Hopital, por favor, fijate en la demostración el teorema, y en las demostraciones de todos los teoremas que se usan para probar L’Hopital…jaja. Seguro en alguna de ellas se utiliza alguna convención para el 0^0! De hecho… pegate una vuelta por los polinomios de Taylor, y las series de Taylor, y ahí vas a encontrar los (x – a)^n…

Para mi, 0^0 = 1, igual que lo que dices, por casi una infinidad de evidencias que tengo. Por eso voy a dar una…:

0^0 es, de alguna manera, multiplicar cero cosas una cantidad “cero” de veces… eso no tiene sentido, de la misma manera que no tiene mucho sentido decir que es 0… decir que es 0 es sólo intuición, y a veces la intuición falla… Pero, 0^0 es una productoria de rango vacío de ceros! Se entiende? No pongo símbolos porque no sé latex, jaja… en fin, imagínense el símbolo del productorio. Pero por los axiomas de la lógica de primer orden (que trata de cuantificadores, como el productorio), debería ser 1 porque el 1 es el ELEMENTO NEUTRO de la multiplicación. Justamente, se utiliza el axioma de “Rango Vacío”.

De la misma manera pasa con la sumatoria de rango vacío… En una sumatoria donde no hay nada que sumar, el resultado es 0, porque 0 es el elemento neutro de la suma.

En general, para cualquier cuantificador (como la sumatoria, la productoria, el cuantificador universal, el existencial, y todas las yerbas conmutativas y asociativas), si el rango es vacío, no importa lo que se opere, el resultado será el elemento neutro del cuantificador.

Ese es sólo un ejemplo… también muchas veces es conveniente decir que 0^0 = 1 cuando se derivan programas, que es muy parecido a hacer pruebas sencillas por inducción. Me animo a decir que los computólogos estamos CASI seguros que 0^0 = 1.
fermat | 19 de December de 2008 | 01:53

Teorema. $0^{0}$ es una indeterminación. (“Probare por el momento que $0^{0}\neq 1$ y $0^{0}\neq 0$ ”)

Demostración;

(i) Supongamos que $0^{0}=1$

Por lo tanto el $\ln$ de tal número existe.

$\ln0^{0}=\ln1 \Rightarrow \ln0^{0}=0 \Rightarrow 0\ln0=0$

Llegandose a una contradicción pues $\ln0 \rightarrow-\infty$ de lo cual se obtiene una indeterminación.

Por lo tanto $0^{0}\neq 1$

(ii) Supongamos que $0^{0}=0$

Como $0=-0$ entonces tenemos:

$0^{0}=0^{-0} \Rightarrow 0^{-0}=\frac{1}{0^{0}}$

como $0^{0}=0$ y $\frac{1}{0^{0}}=0^{0} \Rightarrow \frac{1}{0}=0$

Teniendose nuevamente una contradicción pue $\frac{1}{0}$ es indeterminado.

Por lo tanto $0^{0}\neq 0$ .

PROBARE MAS ADELANTE QUE “ $0^{0}\notin\mathbb{R}$ ”
Omar-P | 19 de December de 2008 | 03:34

No has leído el encabezamiento del post.
fermat | 19 de December de 2008 | 08:13

Omar en matemáticas no basta con decir que algo es indeterminado se debe probar, y eso es algo que no veo en toda la discusion; pues si digo que cero a la cero es indeterminado y no se le puede dar un valor real debo sustentar completamente el por que.

Por otro lado ya tengo completa mi solución pues simplemente basta con fijarnos que:

$\forall \ a\in\mathbb{R}, (0^{0})^{a}=0^{0}$

y el unico número real que cumple esto es el 1.

Por lo tanto $0^{0}\notin\mathbb{R}$
Omar-P | 19 de December de 2008 | 22:57

Pues podemos armar una tabla en donde aparezcan las enésimas potencias de los números no-negativos en las columnas y en donde aparezcan las potencias de cada número no-negativo en cada fila. La tabla comienza con:

1, 0, 0, 0, 0,…
1, 1, 1, 1, 1,…
1, 2, 4, 8, 16,…
1, 3, 9, 27, 81,…

Notamos que T(0,0) = 1, es decir 0^0 = 1.
fermat | 19 de December de 2008 | 23:14

Omar lo que usted hace “no” es una demostración matematica
Omar-P | 19 de December de 2008 | 23:20

Nunca dije que lo fuera, pero existen tablas construídas así.
Omar-P | 20 de December de 2008 | 00:09

Alguien puede ilustrarnos sobre lo que hay en la página 30 de este libro:
T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976.
fermat | 20 de December de 2008 | 02:16

Mirare el apostol y hablaremos nuevamente
Omar-P | 20 de December de 2008 | 12:07

¿Sabía que… el buscador Google funciona también como una calculadora?
Ingresa una cualquier expresión en la casilla de búsqueda y te dará un resultado.
Si probamos, por ejemplo, con 0^0 el resultado es 1.
Omar-P | 20 de December de 2008 | 12:18

Veamos que dicen las calculadoras y programas:

Calculadora del Google…………: 0^0 = 1
Calculadora del Windows XP.: 0^0 = 1
GWBASIC………………………………: 0^0 = 1
Calculadora KenKo KK-105B.: 0^0 = Error

¿Alguien puede aportar más resultados?
MATHEMATICA, MAPLE, FORTRAN, etc.
hernan | 20 de December de 2008 | 15:59

fermat: lo tuyo tampoco me parece una “demostración matemática”, me parece que has leído por arriba el cuerpo del post o tienes demasiada confianza en que las operaciones matemáticas “deben valer” algo, cuando en algunos casos se trata sólo de fijar convenciones (coherentes, eso sí).
Así, el post no pretende “demostrar” que $0^0=1$ , eso no se puede (como tampoco se puede demostrar que no es 1) mientras no tengamos bien definidas los aximoas o reglas que sirven de punto de partida.

A mí me parece muy convincente, según lo expuesto, adoptar la convención $0^0=1$ .

Tu “demostración” de que no puede valer 1 no es concluyente. Aplicas la regla usual del logaritmo de una potencia y llegas a que $0^0=1 \Rightarrow 0 \log 0 = 0$ lo cual, según tú, es una falsedad. Pero a esta objeción pueden darse dos respuestas:
Primero: alguien puede decir: digamos que la regla $\log a^b= b \log a$ es válida, pero solo para $a \ne 0$ . Esto no te gustará (a mí tampoco) pero no creo que haya razones de peso para negarle ese derecho, no se cae nada.
Segundo (más convincente): si damos por buena la aplicación de la regla, todo lo que has demostrado es que aceptar la convención $0^0=1$ nos obliga a aceptar la convención $0 \log 0 = 0$ . Esto a tí te parece absurdo, es una indeterminación porque es “cero por infinito”; pero esta “indeterminación” es en esencia del mismo tipo que la original, nada impide asignarle un valor convencional, mientras no implique incoherencias. Y no veo que las implique.
De paso, esa convención $0 \log 0 = 0$ es muy usada (sobre todo aparece en el cálculo de la entropía de Shannon, cuando consideramos símbolos de probabilidad nula); es cierto que en ese caso suele usarse el argumento del límite para justificarla (ya que ahí es claro que los ceros pueden verse como provenientes de un mismo x que se hace tender a cero).
fermat | 20 de December de 2008 | 22:42

Hernan mientras no se fijen esas convenciones de las que tu hablas, la demostración esta sujeta a la teoria y la axiomatica actual, por lo tanto es valida.

De aceptar su punto de vista, entonces todas las demostraciones, en todas las ramas de la matemática no serían concluyentes, pues la axiomática es suceptible a cambios.

Esta es la forma filosoficamente ideal que debe tener todo cientifico, y eso esta muy bien, pero a lo que yo voy y analiso segun su critica, es que si un estudiante de secundaria me pregunta en este momento, con la teoria actual que tenemos; ¿si $0^{0}$ pertenece a algun conjunto númerico?, probaria que no. y si me pregunta ¿puede llegar a pertenecer? lo enviaría a que hablara con usted.
fermat | 21 de December de 2008 | 00:28

señores me e equivocado, ofrezco mil disculpas a Omar y Hernan por mi terquedad;

MI “error” radica en que;

Por definición se tiene:

$\ln{a}^{b}=b\ln{a}$ si y solo si $a>0$

Y yo estoy tomando $a=0$

seguire pensando

por el momento les dejo este link muy interesante sobre el mismo tema; http://eltopologico.blogspot.com/2008/04/cero-elevado-la-cero.html
Sive | 23 de December de 2008 | 18:12

Lo que parece que no se entiende es que todo esto no es más que una convención. No se trata de pruebas, porque no las hay, como ya ha comentado hernan. En este caso sólo se puede argumentar la conveniencia de adoptar uno u otro resultado, aunque sólo sea en determinados contextos.
Sive | 23 de December de 2008 | 18:26

En el enlace que ha puesto fermat, el autor desarrolla un argumento a favor del resultado $0^0=1$ . Un argumento que también se ha comentado aquí de pasada.

Sin embargo, es importante dejarlo claro, sigue sin demostrarse nada. Lo único que demuestra la página es que es la convención $0^0=1$ es coherente con la teoría de conjuntos.
Omar-P | 23 de December de 2008 | 20:32

Si aparece 0^0 dentro de una fórmula para realizar un cálculo práctico en la vida cotidiana, digamos para la construcción de un aparato tecnológico, ¿Qué valor adoptaríamos?. Me parece que lo más conveniente sería adoptar 0^0 = 1.
fermat | 23 de December de 2008 | 21:00

Sive creo que lo que hace Gustavo en el topo logico, es una prueba valida, no es un simple argumento, ya que los conjuntos numericos, se construyen desde la parte conjuntista, a partir de los cardinales, empezando por los naturales; lo cual creo yo no lo hace ninguna otra rama de las matemáticas, pues siempre en otras ramas aparecen los conjuntos numericos como objetos matematicos sacados de debajo de la manga, por ende la teoria de conjuntos es la mas indicada a precisar el valor de $0^{0}$ , pues se le esta dando el valor al natural cero elevado a la cero (que es tambien un número natural); por lo tanto esto no es ninguna convencion es una demostración, pues para llegar a una convencion no se necesita dar tantas bueltas simplemente se hubiese convenido decir que $0^{0}=1$ , como se hace por recurrencia con el $0!$ , cero factorial si es una convención, pues se le esta dando el valor de 1, sin derecho a reclamos, simplemente con la intencion de que no se presenten inconcistencias mas adelante en la teoria.

Para justificar aun mas esto pueden ver en el libro “INTRODUCTION TO SET THEORY” de Hrbacek y Jech pag 97
o en “SET THEORY” de Jech pag 29.

En estos libros se deja este ejercicio para que sea “demostrado” este hecho.
Sive | 23 de December de 2008 | 23:56

Antes que nada, si vas hacia atrás en los comentarios, verás que hace mucho tiempo que NuezMoscada comentó esta “demostración” (que para mí no es tal), y ya dije que era una de las que más me gustaban (pero no como prueba, sino como argumento para la convención).

Admito que tiene una fuerte apariencia de prueba, pero es una ilusión. No es una prueba porque toda la demostración se sostiene en una convención local de la teoría de conjuntos.

Me explico: la teoría de conjuntos define la operación de exponenciación como mejor que le interesa, como mejor le conviene (exactamente igual que se hace con todas las operaciones de las matemáticas, tampoco hay que alarmarse por esto).

La teoría de conjuntos, digo, aporta una definición propia de la exponenciación basada en un problema concreto (el de las funciones de A en B). Y en este problema concreto, resulta que sí: $0^0=1$ .

Pero fuera de esta rama de las matemáticas, donde la exponenciación es otra cosa, esto sólo sirve como argumento para la conveniencia.

Obviamente, dentro del contexto de la teoría de conjuntos (como en los libros que comentas), aceptada ya la convención relativa a la exponenciación, si se puede decir que que está probado que $0^0=1$

Además, creo que no es más que el argumento “combinatorio”, agazapado detrás de unas cuantas definiciones.
Wilson | 16 de January de 2009 | 05:43

$0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
\begin{equation}
\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}
\end{equation}
saludos
Wilson | 16 de January de 2009 | 05:44

$ latex 0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
$latex
\begin{equation}
\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}
\end{equation}
saludos
$
Wilson | 16 de January de 2009 | 05:45

$0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
mper23 | 16 de January de 2009 | 20:31

Me parece, aunque no me he leído todos los post, que las convenciones numéricas no pueden establecerse si confunden; como hay casos en que la indeterminación 0^0 no da 1, no debe usarse.

También quiero comentar que las funciones no pueden hacerse continuas: o lo son o las cambiamos por otras que sí lo son, pero no son las originales. Creo que a esto contribuye llamar a ciertas discontinuidades “evitables”. ¿Se dan cuenta los evitadores de discontinuidades que a algunos nos gustan mucho las funciones con agujeros?

Estupendo blog, por cierto.
Sive | 30 de January de 2009 | 06:41

mper23: no hay ninguna confusión si se matiza (como se hace en el mensaje original del hilo), que la convención no se aplica cuando hablamos de límites. Evidentemente, esta matización implica que la demostración basada en el límite de $x^x$ , es inválida (porque la elección de la función es arbitraria), pero este es un detalle que se ha discutido ampliamente en los comentarios posteriores, y a mi parecer se ha subsanado con argumentos mucho más fuertes.
arkanuz | 7 de April de 2009 | 21:23

Hola amigo

Muy buena tu demostracion, casi me la creo, pero hay un problema con la aplicacion de la regla de Hopital y tiene que ver con la continuidad de la funcion 1/x cuando x->0
visita http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
para ver el error, sino lo ven pueden escribirme y lo comento con detalle
saludos
tureyna | 16 de May de 2009 | 02:24

o sea como 0 a la potencia 0 tiene 2 respuestas primero a =1 y segundo a=0 . podrian explicarme xfa
Andor | 18 de May de 2009 | 14:37

Muy sencillo.
Por un lado sabemos que cualquier número elevado a 0 da 1, con lo que $0^0=1$ .
Por otro tenemos que 0 elevado a cualquier número da 0, y con eso tendríamos que $0^0=0$ .
El problema es que el 0 no es “cualquier número” y no debe ser tratado como tal en este caso.
Por eso se dice que este tipo de operaciones están indeterminadas.
Lorena | 23 de May de 2009 | 05:01

ok, me dices q 0º=1 y si decimos q cualquier numero Xº=1 entonces por Propiedad Transitiva de la Igualdad me estás diciendo que 0=X ; x€R, es decir, q 0 es igual a cualquier número??? contraejemplo: 0º=1 ^ 5º=1 como 1=1 ==>0=5????

no entiendo? :-S creo q eso SI es una indeterminación aun cuando no estemos hablando de una función o suseción….!!
Andor | 23 de May de 2009 | 16:36

La potenciación no es una aplicación biyectiva. Las raíces cuadradas tienen siempre dos resultados. Por eso no es correcto aplicar transitividad. Por ejemplo:

2²=4, -2²=4 => 2=-2?

Además 0° es una indeterminación, no es ni 1, ni 0, ni ningún número real.

Es algo mucho más fácil que todo eso:
Se dice que cualquier número real elevado a 0 es 1 por que $\frac{{x}^{y}}{{x}^{y}}=1$ y
$\frac{{x}^{y}}{{x}^{y}}=x^{y-y}=x^0$

También se dice que cualquier potencia de 0 es igual a 0 por que cualquier número multiplicado por 0 da 0:

$0^{y}=0 \cdot 0 \cdot 0 \ldots =0$
Yo | 9 de June de 2009 | 08:22

perdon pero no puedes aplicar la regla de l’hopital, no cumple las hipotesis para aplicarla, tu conclusion es falsa, luego cero a la cero no existe de existir dirias que existe la division entre cero, repasa las leyes de los exponentes y veras
Andor | 9 de June de 2009 | 15:27

¿Quién dice que he utilizado la regla de l’Hopital?
Simplemente he escrito propiedades de la multiplicación y la potenciación. En ningún lugar he escrito nada sobre límites.
Por favor pensad un poco antes de escribir; como he dicho arriba es mucho más sencillo que todo eso que ponéis, y como también he dicho 0° es una indeterminación. Algo distinto sería hablar de límites cuando x ó y tienden a 0 en $x^y$ .
Espero que ahora esté claro lo que quería decir.
karla | 21 de June de 2009 | 20:10

hola mira en la buskeda de mira tarea de probabilidad me encontre con un dilema no entinedo el porque de cero factorial(0!) es =1 y al explicacion ke encontre no me es muy clara para sali de duda…
sugerencia podrian poner mas maneras de como saber el por que del cro factorias es uno.
gracias
kiwi23 | 8 de July de 2009 | 16:38

mm… interesantes los comentarios
a mi me explicaron 0! con el triangulo de tartaglia y elemental teoria de conjuntos, me gusto mucho, aunque tambien decir que la explicacion de diamond es tambien clara y sencilla

respecto a 0^0…. he visto la explicacion mediante los limites y si esta bien, pero me ha surgido una pequeña duda:
cualquie numero elevado a 0 es 1 no? bueno la demostracion mas sencilla y clara es esta:
teniendo en cuena la regla de potencias: podriamos tener:
x^y/x^y, pero eso es igual a x^(y-y) q es igual a x^0
pero como x^y/x^y es 1, pues x^0=1
ahora aplicando la misma logica respecto 0^0….
sabemos que 0^x siendo cualquier numero distinto de 0 q es lo q queremos saber, pues es igual a 0…
entonces tenemos 0^x/0^x = 0^(x-x) q es igual a 0^0, pero si 0^x es 0, tenemos al final que es igual a 0/0 que si es una indeterminacion…
pues ahi tengo la dudilla, si alguien me puede decir en que me he equivocado! gracias
Nicolás Milano | 8 de July de 2009 | 17:51

Yo tengo una pequeña duda (perdonen si es una tontería) : la función factorial… ¿tiene inversa?
Es decir, si tenemos por ejemplo la ecuación n!= a, ¿podemos, si conocemos el valor de a, conocer el valor del factorial sin tener que estar probando por tanteo hasta llegar al resultado? ¿Hay alguna fórmula que nos permita hacer eso? ¿Hay una fórmula inversa del factorial? ¿Es la función factorial biyectiva? Desde ya muchas gracias.
Dani | 8 de July de 2009 | 18:13

La función factorial está definida en los naturales. Si consideras el conjunto de llegada los naturales también, por supuesto no tiene inversa. Que es creciente creo que es evidente, pues $(n+1)!=(n+1)n!>n!$ , pero como 2!=2 y 3!=6, el 5 por ejemplo no tiene preimagen (además de muchísimos pares ningún impar mayor que 1 la tiene, evidentemente). Si consideras el conjunto de llegada como la imagen de la función factorial está claro que sí tiene inversa, pues como dije es estrictamente creciente. El conseguir una fórmula creo que no es trivial, pero se puede probar. El caso es que hay tan pocos números que estén en la imagen del factorial que no es algo intuitivo ni mucho menos.
PD: Las cosas salen muchísimo más elegantes si usas la función gamma, lo que pasa es que está función va de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y no es biyectiva. Si la restringes a $[1,+\infty)$ sí lo es, y entonces creo que se podría encontrar (en principio) una descripción analítica de la inversa restringida. A ver si alguien se anima a intentarlo.
Nicolás Milano | 8 de July de 2009 | 18:21

Gracias, Dani. Sinceramente no tengo idea de cómo conseguir la fórmula (vale decir que mis conocimientos sobre análisis matemático son bastante pobres), pero igual será una experiencia interesante. Muchas gracias.
Alberto Cid | 9 de July de 2009 | 10:02

kiwi23,
Tu razonamiento no es válido.
x^y/x^y no es siempre 1 …
En el caso en que x^y fuese 0 no puedes hacer eso.
Y es que precisamente en el caso que estamos tratando x^y podría ser cero… Sea x=0 , sea y distinto de cero : x^y=0
Si x es distinto de cero, x^y distinto de cero y la prueba sería válida: x^0 = 1 cuando x distinto de 0
carlos | 25 de July de 2009 | 03:30

epale, ya va, eperame un pelo, no se supone que cero elevado a la cero es cero, ya que como se puede multiplicar un cero por nada, por ejemplo:
1 elevado a la 2 seria 1*1
2 elevado a la 3 seria 2*2*2

pero como me como esa de que cero elevado a la cero es uno, te lo creo si me dices 1 elevado a la 1 o elevado a la 2 o a la enesima potencia, CHAMO, MATEMATICA ELEMENTAL DE PRIMARIA, Y DE SECUNDARIA, NO ME VENGAS CON FRASES ENREDADAS Y CON FORMULAS QUE TAN SOLO TU Y DIOS ENTIENDEN
makoto | 17 de August de 2009 | 02:10

Lo que quisiera saber es porque el factorial de cero es
1, si sacas factorial de 1 es porque lo estas multiplicando
por 1, pero con el factorial de cero no estas multiplicando
nada, acaso cero solo no es un numero vacio.
Agustin | 25 de August de 2009 | 16:32

Yo quiero analizar una función (sucesión) y me gustaría que me ayuden. Que me dicen de lo siguiente:

n^n/n!
mper23 | 25 de August de 2009 | 22:26

(A Sive, hace muchos meses): Si matizamos lo bastante, seguro que podemos poner 0⁰=37,o 0⁰=i, por ejemplo. Bromas aparte, no me veo intentando hacer que las matemáticas se entiendan mejor defendiendo esta convención. Los que la podemos admitir, con más matices o menos, ya estamos curados de espanto.
sergio | 20 de October de 2009 | 06:45

0!=1, no solo es por convencion. Una forma de expresar a la funcion n! es mediante la funcion gamma, definida como ∫(e^(-x))(x^(n-1))dx, valuada de 0 a infinito. Así, Γ(n)=(n-1)!. Por lo tanto, Γ(1)=0!, y como Γ(1)=∫e^(-x)dx desde 0 hasta infinito, y esta integral vale 1, entonces 0!=1.

yo no se nada, solo lo lei en yahoo respuestas y creo que la persona tiene razon.
Neto | 21 de October de 2009 | 16:42

no estoy muy deacuerdo con la demostracion del principio, observen esto:

0^0=0^(a-a)=(0^a)*(0^-a)=(0^a)/(0^a)

de lo anterior se pueden afirmar dos cosas:

1.-como cualquier cantidad dividida por si misma es 1 entonces lo anterior es 1.

2.-si efectuamos las potencias, obtendriamos 0/0, esto se dice que no esta definido (diferente a indefinicion), porque recuerden que en un cociente lo que buscamos es un numero que al multiplicarse por el denominador nos de el numerador:

4/2=2 porque 2*2=4
18/3=6 porque 6*3=18

pero en el caso de 0/0 necesito un numero que multiplicado por 0 me de 0, es decir esto puede cumplir con:

0/0=c

donde c puede ser cualquier numero que pertenezca a los reales. por lo tanto 0^0 no esta definido.
sive | 26 de October de 2009 | 10:30

Neto, sigamos tu demostración pero para 0^3, por ejemplo:

0^3=0^(5-2)=(0^5)*(0^-2)=(0^5)/(0^2)

Si desarrollamos el numerador y el denominador llegamos a 0/0 y por tanto 0^3 es indefinido.

Sin embargo sabemos vale cero.

Algo falla
Koy | 16 de November de 2009 | 19:30

Sive y Neto cometen un error cuando utilizan en sus “demostraciones”

$0^{-a}=\frac{1}{0^{a}}$

ya que dicha propiedad se utiliza siempre y cuando la base sea diferente de cero.

Seria bueno que miraran este blog http://eltopologico.blogspot.com/2009/07/otra-addenda-00-1.html
Joaquín | 11 de December de 2009 | 10:13

Hola,

Tened cuidado porque en el artículo estáis suponiendo ciertas implicaciones que son falsas:

Primero, definís una función $f(x)=x^x$ ,

Si calculamos $\lim_{x\to0}f(x)$ , nos encontramos con que ese límite no existe, ya que como:

$\lim_{x\to a} f(x) \Leftrightarrow \lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to a^-} f(x)$

y en nuestro caso $\lim_{x\to 0^+} f(x)\neq \lim_{x\to 0^-} f(x) \Rightarrow \nexists \lim_{x\to 0} f(x)$

No se puede tomar logaritmos después! porque ahí estáis suponiendo que existe A tal que $\lim_{x\to 0} f(x)=A$ y este límite, ya se ha demostrado que no existe!,

Entonces, lo que hacéis después de suponer esto, no tiene porqué ser cierto.

Una cita curiosa, que comenta distintas opiniones sobre este asunto, la podéis consultar en:

http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf

Inclusive el argumento que os pongo de los limits laterales.

un saludo

un saludo
gaussianos | 11 de December de 2009 | 15:00

Joaquin, el límite cuando $x \to 0^-$ no se puede calcular ya que esa función no está definida para números negativos.
Trackback | 27 Dec, 2009

¿Cuánto vale 0 elevado a 0? « Al margen de Fermat
C.P.R. | 9 de January de 2010 | 14:13

Buenas.

Me parece fascinante la discusión.
No soy una experta en el tema, no soy matemática, pero me parece muy interesante. Lo añado a favoritos.

Un saludo, C.P.R.
agsutina mendieta | 9 de March de 2010 | 22:03

gracias me rerererer sirvio
Victor Manuel | 20 de March de 2010 | 04:55

A ver…

3/3=1
2/2=1
1/1=1
¿0/0=1?

Por otro lado

0/3=0
0/2=0
0/1=0
¿0/0=0?

Es decir, 0/0 esta indeterminado

Ahora, si:

a^n/a^n=a^0

y además

a^n/a^n=(a/a)^n

entonces: a^0=(a/a)^n

si a=0

entonces 0^0=(0/0)^n

pero como 0/0 esta indeterminado, entonces 0^0 es indeterminado.

¿Cómo ven?
Victor Manuel | 20 de March de 2010 | 05:01

Hum-Sa:
Me mentiste…

indivisa manent
HM2P33 | 20 de March de 2010 | 19:55

Bueno quería ver si puedo dar una explicación a mi modo de ver “lógica” de porque 0^0=1

Si definimos la potenciación de números enteros, veremos que el exponente corresponde a la cantidad de veces que aparece la base por si misma en el producto:
Siguiendo este concepto se tiene:

0^0= 1. 0^0 (por axioma de los nº reales)
1. 0^0= 1 (ya que el cero al estar elevado a la cero, no figura ninguna vez la base multiplicándose por si misma, es decir si fuera 0^1 la base aparecería una vez multiplicando. Pero como esta elevado a la cero, es como si no existiera. De ahí que cualquier número elevado a la cero sea igual a 1)

supongamos a^0 = 1 . a^0 = 1 (como la base no figura multiplicando ninguna vez)

Bueno esta explicación fue la que se me ocurrió para explicar este resultado. De igual forma no tengo demasiada formación matemática aún (estoy en primer año de Lic. en Física), pero espero haber podido aportar algo útil.

Muchos Saludos y felicitaciones por el blog!
Trackback | 22 Mar, 2010

Los números de Munchausen | Gaussianos
Gabriel | 25 de March de 2010 | 10:15

Estoy alucinado.
Parece que la gente no entiende lo que es una indeterminación.
josejuan | 25 de March de 2010 | 22:20

Gabriel, no seas tan intransigente.

Por supuesto que estrictamente cualquiera de las expresiones enunciadas es indeterminado, pero éstas, según en qué contextos se traten, son consideradas determinadas o bien (si lo prefieres) se les da un sentido determinado.

Por ejemplo, si bien t/t es indeterminado cuando t=0, con t->0 se considera 1 (algo elemental en análisis para extender continuidad a una función discontinua).

Por eso, al contrario que tú, opino que abrir este tipo de cuestiones es muy interesante, sobre todo para que la gente que no lo conozca, no le extrañen cosas como que en tal problema se llega a (informalmente) que 0/0=1.
Gabriel | 26 de March de 2010 | 21:03

Vamos a ver JoseJuan.
Las dos expresiones NO son una indeterminación. 0! es uno. El factorial de un número es un caso particular de la función gamma, y utilizando dicha función, se ve fácilmente (resolviendo una integral inmediata) que el faltorial de cero es uno.
Ahora bien, 0^0 es una indeterminación. No vale uno, ni dos, ni tres… ¿Cuánto vale? No está definido su valor. No tiene valor. Ahora bien, sí se puede determinar a qué valor se acerca una función del tipo X^Y cuando X se acerca a cero y cuando Y también lo hace. Y resulta que dicho valor depende del ritmo al que X e Y se acerquen a cero. Luego no podemos decir que X^Y se acerque siempre a un mismo valor, para poder así asignar dicho valor a 0^0.
Éste es el significado de una indeterminación, 0^0 puede tomar cualquier valor dependiendo del ritmo al que se acerque la base y el exponente a cero. En consecuencia, no podemos definirle un valor concreto… es una indeterminación.
Por ejemplo, 3^2 es 9, y cualquier función del tipo X^Y que nos inventemos, donde X se acerque a 3 e Y se acerque a 2, siempre se acercará su resultado a 9. No depende de cómo sean estas funciones. Por eso, no es una indeterminación, vale siempre 9.
Gracias.
Sive | 30 de March de 2010 | 10:55

Gabriel, que cuando se estudian límites digamos (y demostremos) que 0^0 es infinito, no es incompatible con que se adopte la convención de que 0^0 (sin más, sin límites) es cualquier otra cosa, siempre que la conveniencia se argumente adecuadamente.

Por ejemplo, cuando calculando un límite llegamos a 1 elevado a infinito, automáticamente concluimos que se trata de una indeterminación, porque matemáticamente se ha demostrado que es así.

Sin embargo, 1 elevado a infinito, sin más, es 1.
Gabriel | 30 de March de 2010 | 14:52

Sive… perdona que te diga que no entiendes el concepto de indeterminación. ¿De verdad crees que si a 0^0 se le pudiera dar un valor, no lo habría hecho ya alguno de los genios que han existido? Hemos tenido que esperar a que se invente Internet para que cualquiera lo diga en un blog.
Con lo que me has dicho de uno elevado a infinito, me terminas de demostrar de que no te enteras. Por supuesto que uno elevado a un número cada vez más grande tienede a uno, pero un número que tiende a uno elevado a un número que tiende a infinito, no tiene que ser uno. De hecho, dependiendo del ritmo al que se acercan las sucesiones a uno y a infinito, puede dar cualquier valor. Por eso, es una indeterminación.
Está mal dicho decir que uno elevado a infinito es una indeterminación, puesto que es uno. Lo que hay que decir es que algo que tiene a uno elevado a algo que tiende a infinito es una indeterminación.
Perdona la rudeza, pero es que me molesta mucho cuando me encuentro en Internet cosas como estas. Primero, hay que coger un libro serio y mirar qué son las cosas. Para no decir disparates.
Gracias.
^DiAmOnD^ | 31 de March de 2010 | 04:45

Si la gente fuera capaz de leer razonadamente todo lo que dice en este artículo y en los comentarios (tantos en los míos como en los de muchos otros) no se dirían ciertas cosas. Pero lo voy a volver a intentar:

Gabriel, dime en qué lugar del artículo se dice que el límite de una sucesión con límite cero elevada a otra sucesión con límite cero da resultado 1 y estaré encantado de borrarlo. Por favor, vuelve a leer el comentario de Sive (que, por cierto, has tratado de forma tan despectiva) e intenta entenderlo.

Ah, y no, no hemos tenido que esperar a que aparezca Internet para que cualquiera lo diga en un blog, el hecho de que $0^0=1$ sea el convenio más razonable está fundamentado desde hace tiempo y de más de una forma. Date una vuelva por El Topo Lógico y busca los artículos que tienen publicados en relación con este tema.
Omar-P | 31 de March de 2010 | 09:13

0^0 es una indeterminación. Pero si se hace necesario adoptar un resultado numérico entonces el convenio mas razonable es decir que 0^0 = 1.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000007
josejuan | 31 de March de 2010 | 09:34

“…el límite de una sucesión con límite cero elevada a otra sucesión con límite cero da resultado 1…”

Yo lo digo ¡que pasa! ( ;P )

$\lim_{x\rightarrow 0}x^{x}=\allowbreak 1$

¿algún problema?

Y ya que repito, me expliqué mal al decir “enunciadas”, debí decir “enumeradas” pues me refería a la serie de indeterminaciones que han ido saliendo en todos los post (yo no he escrito en ningún sitio que 0! sea indeterminado, como Gabriel me ha adjudicado).

Gabriel dice: …Éste es el significado de una indeterminación, 0^0 puede tomar cualquier valor dependiendo del ritmo al que se acerque la base y el exponente a cero. En consecuencia, no podemos definirle un valor concreto… es una indeterminación….

Errónea conclusión, tú puedes tomar límites diferentes L1, L2, … para que te den valores diferentes en el límite (y1, y2, …), pero una vez fijado el límite en estudio, podrás determinar si su límite es un valor contreto o realmente indeterminado.

Un ejemplo muy claro lo puedes ver en

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero#Divisi.C3.B3n_por_cero_en_los_n.C3.BAmeros_reales

Es decir, que nadie dice que 0/0 no sea indeterminado (que es en lo que te cierras), únicamente, que al estudiar los límites puedes dar un valor concreto a la indeterminación que se produce en el límite (es decir, en 0).

Y la utilidad de todo ésto que tú directamente desechas, es (entre otras) extender funciones no definidas en algún punto, a las que se les extiende.

Tómate por favor las dos funciones siguientes:

f1(x)=x/x
f2(x)=x^2/x

según tú, nada se puede hacer con ellas en x=0.

Sin embargo, es habitual redefinirlas “añadiéndoles” el punto en cuestión, es decir

$g_{1}(x)=f_{1}(x)~si~x\prec \succ 0$
$g_{1}(x)=1~si~x=0$

$g_{2}(x)=f_{2}(x)~si~x\prec \succ 0$
$g_{2}(x)=0~si~x=0$

Que sí, que f1(0) sigue siendo indeterminado, ¡pero los límites han dado un valor definido a las funciones! y éstos límites no han sido arbitrarios (sino, por favor, mírate la definición de límite de una función).

Y también, como estarás pensando, efectivamente podríamos haber hecho

$g_{1}(x)=123456~si~x=0$

y tan contentos (hemos quitado igualmente la indeterminación), pero entonces ya no estamos hablando del valor que una expresión indeterminada puede adoptar usando límites, sino de poner un valor arbitrario.

Sólo siento el tono en que deriva la conversación, sigo pensando que abrir éste tema puede ser muy productivo para quienes están estudiando.
Gabriel | 12 de April de 2010 | 10:15

Hola nuevamente.
* Lo primero, es que quiero pedir disculpas a Sive y a todo aquel que le haya molestado el tono de mi anterior intervensión. No quiero crispar ningún foro. Estoy de acuerdo en que lo primero es la educación.
* Lo segundo, es que no comprendo que a 0^0 se le quiera asignar un valor que sea el límite de una función particular para hacerla continua. ¿Qué pasa con las otras funciones que dan un valor distinto a 0^0?
Por supuesto, que los límites que ha puesto josejuan más arriba son los que se han utilizado para hacer esas funciones contínuas. El problema es que no todas las funciones del tipo de g_1 (por ejemplo) dan como límite 1. Luego al límite de cero partido por cero no se le puede dar el valor 1 intentando que sea válido para cualquier función que tienda a cero parido por cero. Es sólo cierto para esa función y otras más, pero no para todas.
Igualmente ocurre con 0^0, dependiendo de la función, tomará un valor u otro. Luego no le podemos asignar un valor a 0^0 ya que su valor depende de la función que se acerque a dicho límite.
Por el contrario, a 3^0, sí que le podemos asignar un valor, puesto que cualquier función que fabriquemos cuyo límite sea 3^0 veremos que SIEMPRE da 1. Por eso, 3^0 no depende de ninguna función. Por eso, a 3^0 se le puede dar el valor por convenio de 1 para hacer continuas a todas las funciones que tienden a 3^0.
* Lo tercero. De verdad que creo que estamos discutiendo algo muy básico. Seguramente también podamos discutir si 2+2 son cuatro o no. Si repasamos los apuntes de análisis matemático veremos qué es una indeterminación.
Bueno… Gracias.
Vicente | 4 de June de 2010 | 14:40

Cero elevado a cero es una indeterminación como una catedral de grande, al igual que cero entre cero y muchas otrás indeterminaciones. Nada tiene que ver con que sea el valor de una función a que sea un valor numérico. El que diga lo contrario está confundiendo al personal que lee esta noticia. El que quiera que haga la prueba y con una calculadora pruebe a elevar el cero al cero, etc.

NO confundamos más a la gente que se hace lío con las matemáticas.

Un saludo.
Omar-P | 4 de June de 2010 | 15:35

Tienes razón en decir que cero elevado a la cero es una indeterminación, pero decir que se puede utilizar una calculadora como prueba no es correcto. Fíjate por ejemplo en la calculadora del escritorio de WINDOWS y verás que 0^0 = 1. Claro que, en otras calculadoras, puede aparecer la indeterminación, pero eso no ocurre en todas las calculadoras ni en todos los lenguajes de programación. Hay software que produce ciertos errores y por ello no pueden considerarse estos resultados como pruebas matemáticas.
Vicente | 4 de June de 2010 | 16:18

Omar-P evidentemente lo de la calculadora era una prueba fácil, y me refería a una calculadora científica, no a una escolar y menos a la del Windows. La calculadora lleva un programa que si está bien hecho mostrará error al elevar cero a cero o mostrará indeterminación. Simplemente digo que este artículo confunde a las personas que dudan en las matemáticas y crea mucha confusión. Y que decir que 0 elevado a 0 es 1 es generar una confusión innecesaria cuando está claro que es una indeterminación al igual que el 0 dividido entre 0. Pero no hay que tener miedo a las indeterminaciones, las indeterminaciones no son más que la evidencia de la exactitud. Porque lo que no se puede contar al dividirlo entre nada nos da un resultado sin concretar y por tanto es indeterminado.
Naka Cristo | 6 de June de 2010 | 12:31

Cuando decimos que $0^0$ es una indeterminación sólo queremos decir que es un punto donde no se cumple $\lim_{x\rightarrow a}{(f(x))}^{g(x)}={(\lim_{x\rightarrow a}f(x))}^{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}$ .

Pero eso no implica que no podamos definir el valor de $0^0$ . Claro, seguirá sin poderse aplicar la fórmula de límites. Pero puede sernos útil (y consistente) definirlo como 1 para cuestiones de combinatoria.
Milagros | 8 de June de 2010 | 06:11

Porfa ayuda con esta serie que no me sale
1,1,1,1,2,24,x
Cuanto vale x……
por favorrrrrrrrrrr
josejuan | 8 de June de 2010 | 08:49

Pues realmente puede ser cualquier valor, pero yo diría que x=246
josejuan | 8 de June de 2010 | 08:50

…
Bruno Giordano | 11 de June de 2010 | 04:26

Es que sí, puede ser cualquier valor.

Yo, personalmente, elegiría x=48, siguiéndola de la siguiente manera:

1,1,1,1,2,24,48,816,1632,3264,64128,128256,…

Pero lo cierto es que se pueden conjeturar muchas cosas de ello: tantas como uno quiera.

Sobre el tema principal del artículo: bueno, definir 0^0 = 1 simplificaría la definición de x^x para que esta función fuera contínua en todos sus puntos, ahorrándonos la definición en dos renglones: f(x)= (x^x ↔ x≠0 ˅ 1 ↔ x=0)

Sobre que 0! valga 1, es una desición tan arbitraria como decir que x^0 = 1. Normalmente ese tipo de convenciones se realizan para preservar alguna propiedad al extender una definición; en el último caso: x^a = x^(0+a) = x^0.x^a, donde obviamente sirve que x^0 sea definido como 1.
Naka Cristo | 11 de June de 2010 | 08:54

Terence Tao ha hecho un buzz relacionado con $0^0$ .

http://www.google.com/buzz/114134834346472219368/hTVJiP5LoPb/Bill-Thurstons-On-proof-and-progress-in
Sive | 14 de June de 2010 | 13:06

Creo que esta discusión (o debate, si os gusta más la verborrea moderna), no llega a ninguna parte porque para empezar ni siquiera estamos de acuerdo en algo fundamental, que sólo se ha nombrado de pasada (salvo josejuan, que sí lo ha tratado con más profundidad).

A saber: que cero elevado a cero, es lo que acordemos que sea.

¿De verdad alguien cree tener una prueba irrefutable que demuestre que cero elevado a cero es indeterminado, o uno, o cero, o lo que sea?

La espero ansioso.
Jonas Castillo Toloza | 14 de June de 2010 | 23:28

una de las leyes de la potenciaciòn dice que a^b/a^c = a^(b-c)
si b = c tenemos a^b/a^b = 1
si b= 0 nos queda a^0/a^0 = 1
a puede ser cualquier valor incluyendo el cero
Sive | 15 de June de 2010 | 14:40

@Jonas Castillo Toloza, ya se ha comentado esa ‘demostración’, que no es tal, en el comentario:

http://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/#comment-30682

… y siguientes.
seba | 23 de June de 2010 | 04:03

Hola
Yo lo explicaria de esta manera:
para X#0.
X^1=(X x 0)+ X;
X^2=X x X;
X^3=X x X x X;
X^N=X x X x X x X….x X(n veces) n#0;
X^0=(X x 0)+1;
y para este caso:
0^0=(0 x 0)(de la nada no se puede ser nada); a mi entender 0^0=0;
Y en el caso del factorial
X!=X(X-1)(X-2)…..(X-(X-1)
Se usa esta formula:
X!/(X-K)! ; X>K
por ejemplo si queremos sacar 4 cartas de un mazo de 52 cuantas combinaciones pueden haber reemplazamos:
52!= 52!/(52-4)!=52x51x50x49x48!/48!(se simplifican los factoriales)
=52x51x50x49=6.497.400
para el caso de 0! reemplazo;
0!/(0-0)!=0!/0!
=1×1!/1!(simplifico los factoriales);
=1×1=1;
no parece descabellado.
PD: Igual si no me acerco a lo del debate lo del Factorial me parece que es un convenio por que si no fuese 0!= 1;quedaria asi:axa-1xa-2x….x(a-a+1)x0=0;
y toda la multiplicacion consecuente multiplada por cero, el resultado seria cero,entonces no tendria sentido que existiera el factorial.
Saludos
raw | 19 de August de 2010 | 21:53

Sería genial que ahora aprovechen el “Latex” para reescribir la parte de cálculo,.

Cuesta mucho leerla así,.

Gracias por la info,.
gaussianos | 20 de August de 2010 | 01:22

Pues sí, es buena idea raw. Me pongo ahora mismo.
Antonio_GS | 26 de September de 2010 | 13:32

Yo veo bien la demostración que se hace en el Topo Lógico sobre el hecho.
Sive | 2 de October de 2010 | 13:08

@Antonio_GS ya lo he comentado (dos veces, creo) pero voy a desarrollar un poco más la razón por la cual estoy convencido de que la demostración del Topo Lógico, no es tal, aunque sí un buen argumento.

El problema de cero elevado a cero, en el fondo, es que depende de como definamos la exponenciación. Yo podría definir la exponenciación así:

$a^0 = 1,$ si $a \ne 0$

$0^a = 0$ , si $a \ne 0$

$0^0 = 666$

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a$ , en todos los demás casos.

Podría hacerlo, pero después de esta definición no podría decir que he demostrado que $0^0 = 666$ , sólo lo he definido. Que mi definición se acepte como convenio por el resto del mundo, dependerá de lo útil que resulte hacerlo.

Bueno, pues el error evidente que yo cometería si pretendiera presentar esto como prueba de que $0^0=666$ , es de la misma naturaleza que el que se comete al decir que el argumento conjuntista es una prueba de que $0^0=1$ . Ya que toda la prueba se basa en una definición conjuntista previa de la exponenciación.

Por supuesto, la definición conjuntista es mucho más conveniente y útil que la mía, y por eso sí que es un fantástico argumento para aceptar este convenio.

Esto es lo que hace que otros buenos argumentos, como el del producto vacío (que para mí es el mejor de todos), tampoco sean demostraciones.

Voy a ir un poco más lejos (y me da que me voy a meter en un berenjenal, pero bueno). Ni siquiera existe ninguna prueba que demuestre que $a^0$ , con $a \ne 0$ , es 1. Eso también se acepta por convenio (en este caso, con argumentos abrumadores, eso sí).

La “prueba” típica:

$a^0 = a^{n-n} = a^n/a^n = 1$

Tampoco es una prueba, y no lo es porque no existe ninguna demostración de $a^m / a^n = a^{m-n}$ , que sea aplicable al caso de $n=m$ , a menos que asumas de antemano la premisa $a^0 = 1$ , pero claro, si lo haces después no puedes usar la conclusión para demostrar la premisa.
josejuan | 2 de October de 2010 | 13:38

Uhm…

$0^{0}$ no es evaluable, de ahí que haya que definirle un valor (y que por ejemplo, tomando límites sobre sucesiones de $x$ e $y$ en las que ambas tienden a cero sobre la expresión $x^{y}$ puedan dar cualquier valor que se quiera).

Sin embargo, una vez fijado $a\neq 0$ , ya puedes tomar las sucesiones $m$ y $n$ que quieras, que mientras éstas tengan el mismo límite, la expresión $a^{m-n}$ va a ser siempre igual a $1$ y ésto, sin haber definido nada.

Por tanto, queda demostrado (informalmente) que para $a\neq 0$ es $a^{0}=1$ .

Digo… (que tampoco es que esté totalmente seguro).
Sive | 2 de October de 2010 | 14:52

No existe una demostración de que $a^0 = 1$ , y esto es un hecho que se puede demostrar (quiero decir, se puede demostrar, la ausencia de demostración).

Además es muy fácil.

Por ejemplo, defino la siguiente función $f$ para $a \ne 0$

$f(a, b) = a^b$ , si $b \ne 0$
$f(a, 0) = 1234$

Si existiera una demostración de $a^0 = 1$ que no se apoyase ni explícita ni implícitamente en el valor de $a^0$ , entonces la misma demostración sería válida para probar que $f(a, 0)$ es $1$ sin apoyarse en el valor conocido de $f(a, 0)$ , y se llegaría a una contradicción.

¿Esto que demuestra? Pues que si queremos un valor para $a^0$ , debemos definirlo.

Por supuesto, no todas las definiciones serán igualmente útiles, y en este caso, hay montones de argumentos que apoyan adoptar el convenio $a^0=1$ . El tuyo entre ellos.

Por cierto, de la misma forma se puede demostrar que es imposible encontrar una prueba de $0^0 = 1$ (ni igual a 1, ni a ninguna otra cosa, incluida la indeterminación). Lo único que podemos hacer es una de dos:

- Asignar un valor para esta operación, ya sea de forma explícita, o implícita (como se hace en la teoría de conjuntos).

- Dejarlo indefinido (que no es lo mismo que indeterminado).
josejuan | 2 de October de 2010 | 16:09

Pues será muy fácil, pero yo no te he entendido.

Tú defines una función que obviamente no es continua y que “rompe” en $0$ la subfunción de la que intentas obtener su valor.

¿Pero qué valor vas a encontrar si estás definiendo el que te da la gana?

No se, es como decir (al menos lo que yo he entendido) que voy a demostrar que $\cos \pi \neq -1$ y para ello digo que como la función

$f(x)=\cos x,si~x\neq k\pi$
$f(x)=123,si~x=k\pi$

toma el valor 123 en $x=k\pi$ pues queda demostrado.

Lógicamente habrá que ver de qué tipo de funciones hablamos (y por tanto que dominio e imagen) pero para una función real de variable real como es $a^{x},~con~a\neq 0$ , si en un punto $x$ coinciden los límites por la izquierda y por la derecha y éstos son únicos, entonces dicho límite es el valor de esa función, porque si tú definieras otro valor para esa función en “ese” $x$ , entonces, dichos límites no existen (y sólo entonces hay que acudir a la definición).

Pero resulta que para cualquier $x$ finito, el límite por la izquierda y derecha de la función (real de variable real) $a^{x},~con~a\neq 0$ (sin “apaños”) es un valor real finito, vaya, el valor de la función en ese punto; incluído $x=0$ .

Digo… (que al final me vas a hacer dudar)
josejuan | 2 de October de 2010 | 16:13

Por cierto, los límites de tu función (izq y der) son por supuesto 1 (sin “fijarnos” como tú dices en el valor definido), lo que pasa que al haber definido tú el valor en x=0, el límite no “se alcanza” porque no se cumple la condición para cualquier entorno de x=0 ¡porque está tu valor definido!.

Es decir, que si queremos saber cual es el límite (y/o si existe) de una función ¡deberemos conocer la función!, y lo que tú haces es “ocultar tu valor definido” para “engañarnos”.

Vaya, que tu razonamiento no es válido porque tan pronto hablas de una función como de otra.
Sive | 2 de October de 2010 | 18:16

@josejuan $a^0 = 1$ es un convenio, con seguirdad 100%

El hecho de que mi definición no sea continua es, de nuevo, un argumento (de tantos) para no usar mi convenio y sí el de $a^0=1$ . Las funciones no continuas, por muy feas que nos resulten, existen y son tan válidas como las otras. En ninguna demostración se admiten saltos lógicos por razones intuitivas o estéticas. Lo mismo sucede con el argumento (es el mismo en realidad) de los límites por la izquierda y por la derecha (en el que cometes algún error, pero no viene al caso).

Voy ahora a por el “contraejemplo” de $\cos \pi$ , lo he dejado para el final porque es donde está el quid de la cuestión.

Al aceptar esta definición:

$f(x)=\cos x,si~x\neq k\pi$
$f(x)=123,si~x=k\pi$

Demostrar que el coseno de $\pi$ es -1, no supone demostrar que $f(\pi)$ es -1, y entonces no hay contradicción. La existencia de esta función, no implica nada, todo sigue en orden. Esto es debido a que la demostración, sea cual sea, estará basada en propiedades del coseno que no tienen por qué ser aplicables a $f(x)$ , ya que el coseno sí está definido para $\pi$ .

El caso de $a^0$ es diferente, porque a menos que definas la exponenciación de modo que el valor de $a^0$ esté implícito en ella (como en la exponenciación conjuntista, o la exponenciación como producto que incluya el producto vacío), las propiedades de la exponenciación serán totalmente independientes del valor de $a^0$ . A partir de ahí, cualquier demostración que construyas también será aplicable a $f(a,b)$ , y aparecerá la contradicción.

Es algo parecido a lo que sucede con el quinto postulado de Euclides, sólo que en el caso de $a^0$ , la independencia está mucho más clara, ya que la exponenciación tradicional entendida como multiplicar $a$ , $b$ veces, no define el caso de $b=0$ .

Voy a poner un ejemplo, a ver consigo dejarlo más claro.

Supongamos que yo defino la exponenciación para $a \ne 0$ , dando estas dos propiedades (suplico algo de mano izquierda con la nomenclatura, no domino latex):

$a^b = a \cdot a \cdots a$ , si $b \ne 0$
$a^{b-c} = a^b / a^c$

Ahora el resultado $a^0 = 1$ se puede probar, aunque no esté definido explícitamente. Pero esto no implicaría probar que $f(a, b)$ es 1, porque en la demostración no podría usar la propiedad de la exponenciación $a^{b-c} = a^b / a^c$ para el caso de $b=c$ , ya que $f(a, 0)$ no está definido como $a^0$ . No hay contradicción en este caso.

El problema surge cuando defino la exponenciación como:

$a^b = a \cdot a \cdots a$ , si $b>0$

Sin especificar que sucede en $b=0$ . En este caso el valor de $a^0$ , es independiente de la definición y, por tanto, no se puede demostrar.

Ojo con el párrafo anterior, porque si se acepta que el valor de $a^0$ es independiente de la definición inmediatamente anterior, entonces es irrefutable, y no existe tal prueba.
josejuan | 3 de October de 2010 | 11:00

Pues no es lo que dicen aquí (W).

Y aunque en Wolfram (aquí) utilizan la palabra “is defined to be 1″, se entiende que no se refieren a “definición” sino a “tomar valor”, porque dan el motivo del límite (el que yo argüía).

No se, las razones que dan tanto en Wikipedia (usando $1=\frac{a^{1}}{a^{1}}=a^{1-1}=a^{0}$ ) como en Wolfram (usando $\lim_{x\rightarrow 0}a^{x}=1$ ) me parecen demostraciones, no definiciones…
josejuan | 3 de October de 2010 | 11:02

Pues no es lo que dicen en http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n#Potencia_de_exponente_0.

Y aunque en Wolfram (http://mathworld.wolfram.com/Power.html) utilizan la palabra “is defined to be 1″, se entiende que no se refieren a “definición” sino a “tomar valor”, porque dan el motivo del límite (el que yo argüía).

No se, las razones que dan tanto en Wikipedia (usando $1=\frac{a^{1}}{a^{1}}=a^{1-1}=a^{0}$ ) como en Wolfram (usando $\lim_{x\rightarrow 0}a^{x}=1$ ) me parecen demostraciones, no definiciones…
Sive | 3 de October de 2010 | 12:43

La demostración de la Wikipedia, no lo es, ya lo he comentado. $a^m / a^n = a^{m-n}$ no es aplicable en $m=n$ , a menos que definas antes $a^0 = 1$ .

Todo depende de cómo definas la exponenciación. Por ejemplo, con una definición recursiva como esta:

$a^1 = a$

$a^n = a \cdot a^{n-1}$

El valor de $a^0$ queda automáticamente definido como 1 (definido, no probado), y también los exponentes negativos.

Y si nos decantamos por la opción más simple, y definimos $a^n$ como el producto de $n$ factores, todos ellos iguales a $a$ , entonces necesitaremos definiciones adicionales para los casos con $n<2$ .

Además, da lo mismo que hablemos de exponenciación, o de cualquier otra función. Las funciones no se prueban, se definen. Puedes probar otras cuestiones, por ejemplo, si dos funciones definidas de diferente forma, son equivalentes, o las propiedades que una determinada función posee.

Por ejemplo, no se puede demostrar que 2+2=4

O defines la suma de forma que incluya ese caso particular, o dejas la operación suma indefinida en ese punto.

Por otro lado, no creo que "is defined to be" admita interpretaciones.
Sive | 3 de October de 2010 | 12:46

Ops, creo que mi respuesta ha sido identificada como spam…
infinitoalae | 6 de October de 2010 | 03:17

2+2=4 por definición.
en cuanto 0 a la 0,no está definido, punto. Es matemática, hay entes que no están definidos. Una cosa es los usos y aplicaciones que hagan de la matemática otras ciencias, y otra cosa totalmente distinta es decir que es matemática.
Si una teoría matemática, no define a⁰ y tampoco es posible deducirla como teorema, está incompleta.
Usemos una teoría u otra, la que elejimos debe ser coherente.
la definición que escribis, Sive, corresponde a exponente natural. Aunque también sea una propiedad de las potencias de cualquier exponente, no sirve como definición por ejemplo, para exponente irracional.

Saludos
Sive | 6 de October de 2010 | 07:56

@infinitoalae nunca pretendí dar una definición de la exponenciación para exponentes no enteros, solo pretendía ilustrar mi postura. Que básicamente es: “no se puede demostrar el valor de una función, fuera del dominio en el que está definida”.

Tenía mucho interés en aclarar eso, porque en el hilo se han referido varias veces a una supuesta prueba (la publicada en el topo lógico), y quería que quedase claro que en realidad no demuestra nada fuera del contexto de la teoría de conjuntos, y por qué es así.

Una vez aclarado que el valor de una función en un punto es solamente una cuestión de convenio (cualquier función, cualquier punto), la cuestión del valor de $0^0$ se puede discutir desde la perspectiva correcta, que no es otra que la perspectiva de la conveniencia.
infinitoalae | 7 de October de 2010 | 02:48

Estoy de acuerdo con el hecho de que no se puede definir una función fuera de su dominio. ahora, no surgen contradicciones si se define 0⁰ ???
infinitoalae | 7 de October de 2010 | 03:26

acabo de leer lo del topo logico. No me gusta, me trae mala entraña, como dicen. Me hace dudar si, pero no me convence. Presiento que la función “^” de la cual habla es un tanto caprichosa. No me gusta, está usa combinaciones, de forma desdibujada. No lo considero una demostración.
Sive | 7 de October de 2010 | 04:43

@infinitoalae Bueno, la definición conjuntista de la exponenciación es igual que caprichosa que la definición de la función suma normal y corriente. Se define así porque es más útil para sus fines. No se puede objetar nada, porque este criterio (el de la utilidad, la conveniencia) es el que se sigue en todas las definiciones, el error surge cuando se pretende trasladar la demostración a un contexto donde la exponenciación se define de otra forma.

Cambiar, por definición, el valor de una función cualquiera en un punto cualquiera, no puede dar lugar a contradicciones nunca, lo que sí puede causar es que las propiedades de la función cambien (y supongo que a eso te referías), y dejen de ser aplicables. Entonces lo que hay que ver es de qué modo afecta definir $0^0 = 1$ a las propiedades de la exponenciación.

Por ejemplo, ¿sigue siendo válido con esta definición que $a^c \cdot b^c = (ab)^c$ ? La respuesta es que sí.

¿Sigue siendo válido el teorema siguiente?

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k$

En este caso la respuesta es que de un modo mejor, porque es válido incluso cuando $x$ o $y$ son $0$ (lo cual no se cumple si $0^0$ se deja sin definir).

En realidad, las pocas diferencias que se encuentran al definir $0^0=1$ , son todas favorables a la definición, salvo el caso de los límites, pero encuentro más que discutible que esta excepción justifique nada, porque ni siquiera hablamos de números en ese caso.

De hecho, antes de los límites, el convenio $0^0=1$ no era discutido por nadie.

Dicho esto, hay que ser justos y matizar que el argumento conjuntista, sin ser una prueba, sí es un poderoso argumento para apoyar esta definición. Para mí, uno de los mejores, teniendo en cuenta los logros de la teoría.
infinitoalae | 8 de October de 2010 | 03:30

Estás seguro que antes de los límites no se discutía???
A mi no me preocupa lo de los límites, es más parece un argumento muy flojo, ya que 1^a =1 para todo a real, y esto no hace que 1^(infinito) deje de ser indeterminado.

El tema radica en la no contradicción de las demás definiciones. Es decir, supongamos que cuando definimos axiomáticamente el cuerpo de los reales, cambiamos la existencia del inverso, ampliando la a todo R, es decir, ahora el 0 tiene inverso. Luego su “inverso” es infinito, y trabajamos con la recta real ampliada, o el conjunto real ampliado. Pero no es R, es otra cosa, porque todo cobra otro significado.

Tal vez mi ejemplo sea un tanto bizarro, pero la idea es, definir 0 a la 0 como 1, no cambia las cosas.
Por otro lado 0^a, no es una función exponencia, ya que la base ha de ser positiva y distinta de 1.
No hablo de funciones, sólo de propiedades, que es aún más básico si se quiere.

Lo que decis de la suma es cierto, pero esa es la estructura R con la suma y producto habitual, otra cosa, es justamente otra cosa.

Pensemos en distancias, definamos cualquier otra distancia que no sea la Euclidea, bueno entonces será otra cosa, pero no la misma, está en otro contexto.

Lo digo porque me parece una aberración eso del topo Logico, esos docentes que comentan, uh, y yo lo enseñaba mal, ahora lo voy a cambiar, NOOO, me parece una aberración.

Entonces salgamos a decir a nuestros alumnos sobre la distancia 0 1 por ejemplo.

Yo creo que son cosas distintas, en estructuras distintas.

Además justamente algo de otro contexto no puede ser traido a este, sin ningún tipo de reparo.

Comparto contigo la idea de que es ingenioso y se cumple para potenciación de conjuntos, pero de ahí a ser aplicable a R, no.

No sé, una cosa es por convenio y otra es por definición, si 3+1=5, entonces no es en R, es en otra cosa.
José Luis Ferreira | 9 de October de 2010 | 00:14

La mejor intuición de por qué 0!=1 es la siguiente:

x! indica el número de maneras en que se puede ordenar un conjunto de x elementos. ¿De cuántas maneras se puede ordenar el conjunto vacío, que tiene 0 elementos? De una sola, ¡dejándolo como está!

Saludos a todos
Trackback | 9 Oct, 2010

Por qué 0 elevado a 0 es 1 y por qué el factorial de 0 es 1
Trackback | 9 Oct, 2010

Por qué 0 elevado a 0 es 1 y por qué el factorial de 0 es 1 | Noticias - d2.com.es
Antonio_GS | 9 de October de 2010 | 22:17

Sive, ahora no la tengo delante y confieso (avergonzado y apresurado) que me da un poco de pereza mirarla, pero tengo en la memoria que la entrada del Topo Lógico se circunscribe a la teoría de conjuntos. Lo digo por tu comentario “Sive | 6 de October de 2010 | 07:56″. Además, creo recordar que, cuando en los comentarios se le echan al cuello (como es natural), el autor vuelve a señalar implícitamente que se está circunscribiendo a la teoría de conjuntos. Igual me equivoco, estoy escribiendo de memoria.
mvr1981 | 10 de October de 2010 | 00:31

Interesantes implicaciones filosóficas…
josejuan | 10 de October de 2010 | 12:22

Pues no es por revolver, pero yo sigo sin entender, porqué si defino la función de R en R

$f(x)=2^{x}$

resulta que podemos evaluarla en cualquier $x$ finito ¡excepto en $x=0$ ! y tenemos que definir explícitamente que

$f(0)=1$

Está claro que algo no he entendido y ruego que alguien me lo explique.

Gracias.

(No me vengáis con que definimos cada elemento del dominio en la imagen y etc… al grano, o la identidad $x\ln 2=\ln y$ es válida per se o sólo lo es por definición, porque la definición de ln está clara, y yo no veo problema en evaluar $\ln 1=0$ , que ya veo que me vais a liar…)
Sive | 10 de October de 2010 | 13:03

infinitoalae Estoy bastante seguro de que antes de los límites estaba muy generalizado. Creo que fue Euler el primero en definir $0^0=1$ . Es decir, muy poco después de que Newton comenzara a usar exponentes negativos y no enteros. Desde entonces hasta Cauchy, juraría que nadie (destacable) lo cuestionó.

@Antonio_GS pues yo confieso, más avergonzado todavía, que no leí ni los comentarios, ni toda la demostración del topo lógico. Sólo comprobé que era la misma que antes había presentado NuezMoscada (18 de Enero de 2007 a las 17:03), en este blog.

De todos modos (el lenguaje escrito tiene estas cosas), tal vez no he sabido expresar lo mucho que me gusta el argumento conjuntista. Sólo puntualizaba…
Sive | 10 de October de 2010 | 14:05

@josejuan si defines la función:

$f(x)=2^{x}$

No tienes que matizar nada más, porque la exponenciación ya está perfectamente definida en el exponente cero.

Pero es que estamos hablando, precisamente, de la definición de la exponenciación.

Entonces puedes definir una función como quieras, pero optarás por la opción más útil. En ese punto, nadie discute que cualquier definición que no incluya $2^0=1$ es un disparate, porque no sirve de mucho. Si hicieramos eso, las propiedades de la exponencición estarían plagadas de excepciones para el caso del exponente cero. Por ejemplo, ya no diríamos que $a^b/a^c = a^(b-c)$ , sino que tendríamos que añadir “para todo b diferente de c”.

Obviamente habría más consecuencias, me imagino que sería como una bola de nieve rodando, cada vez más grande. Por ejemplo, como apuntas, habría consecuencias en la definición y propiedades de su función inversa. Vamos, que las razones por las que $2^0=1$ son abrumadoras. Es de locos plantearse otra posibilidad.

Pero es un error conceptual, decir que está demostrado que $2^0=1$ . Es así, por definición (una definición extremadamente conveniente, sí).

A los que no somos matemáticos (yo soy ingeniero) es algo que nos cuesta entender. Nuestro razonamiento es: “¡¡Cómo que 2+2=4 por definición!!, si tengo dos manzanas y me dan otras dos tengo cuatro, definan la suma los matemáticos como la definan”.

Pero es que esa no es la idea. Digamos que no es el orden correcto de hacer las cosas. Primero las matemáticas se encargan de definir operaciones (como la suma), demostrar sus propiedades, etc… y después otros usan las herramientas matemáticas que mejor les vengan para describir fenómenos físicos reales. Por ejemplo, alguien estudia el problema de añadir manzanas a las que ya tenemos, y concluye que se describe perfectamente con la operación matemática de la suma.

Por supuesto, sobre todo a este nivel tan elemental, el matemático no vive en una burbuja en otra dimensión separado de la realidad, y las cosas se definen de un modo que nos resulta muy conveniente para describir el mundo… que casualmente (y esto me intriga enormemente) al final resulta ser el más hermoso, desde el punto de vista matemático.
josejuan | 10 de October de 2010 | 16:08

Pues ya lo siento (porque quizás implica que no lo entiendo) pero lo que dices Sive (con todo el respeto, no se me malinterprete) me parece pura berborrea.

En primer lugar, digamos lo que digamos deberá ser válido para ingenieros y matemáticos, que yo soy las dos cosas y no veo incompatibilidades (estoy seguro que muchos ingenieros tienen las ideas mucho más claras que yo… y son ingenieros).

Que una función es tal por definición, es de perogruyo, y que puedo establecer las correspondencias arbitrarias que me de la gana también (ej. definir f(x)=2^x excepto para x=0 que f(0)=-3.14, etc…).

Si el problema fuera éste, entonces estamos hablando por hablar y punto. Fulano define la exponencial de la forma A y Zutano de la forma B, ¿quién tiene “razón”?, ¡la pregunta no tiene sentido!, tómese la definición que sea y listo.

Vaya, que si nos ponemos “definitorios”, acúdase a la definición y hemos acabado. Que es, me parece a mí, en lo que tú te encierras.

Pero es que es al revés, puesto que “la exponenciación existe desde mucho antes que nadie la definiera” (sí, entre comillas, que ya veo venir…), resulta que las definiciones FORMALES que se establecen (para la exponenciación, que es el tema), se establecen POR TAL O CUAL MOTIVO y esos motivos son los que se discuten, de otro modo, esta entrada de ^DiAmOnD^ no habría sido de las más discutidas (se va a la definición y punto).

En tal caso, si estamos discutiendo porqué a^0=1, ¡no podemos ir a la definición! (porque entonces ya no hay discusión que valga) ya que estamos (al menos es lo que yo creía) discutiendo los motivos. Por ejemplo, si en los reales defino la exponencial por su desarrollo en serie, puedo evaluar dicho desarrollo en x=0 ¡sí, evaluar!, pero claro, tú dirás que es por definición… ¡pero eso es obvio!, puesto que entonces 2^2=4 ¡por definición! (sí, igual de “definitorio” que en el caso 2^0).

Dicho de otra forma, informalmente, todos sabemos qué pinta y como se las gasta la función real de variable real f(x)=e^x, uses la definición que uses, uses la forma de evaluarla que uses, todas deben ser equivalentes, por tanto, si tú defines de una nueva forma la exponencial, ésta deberá generar exactamente las mismas correspondencias entre el dominio y la imagen, entonces… ¿e^0=1 por definición o realmente resulta que e^0=1 y ajusto mi definición?.

Bueno, no aburramos más al personal, …
Sive | 10 de October de 2010 | 17:39

Voy a centrarme en un punto en el que sí estamos de acuerdo.

Efectivamente, hay motivos por los cuales las cosas se definen de una forma, y no de otra (discripamos en la naturaleza de esos motivos, pero no importa). Lo que sostengo, es que esos motivos, por poderosos que sean, no son demostraciones, sino argumentos para apoyar el convenio de definir las cosas de ese modo concreto.

Voy a ponerlo de una forma esquemática para que se vea donde está el error.

No es posible demostrar que 2^0 = 1 con el siguiente proceso mental:

1. Defino la exponenciacion (de un modo simple, intuitivo, que no incluye casos especiales).
2. Obtengo las propiedades de la operación que he definido.
3. Uso estas propiedades para obtener el valor en el caso especial en el que el exponente es cero.

El error está al pensar que podemos ir del paso 2 al 3. No puedes aplicar unas propiedades en un punto en el que no habías definido la operación, porque no has podido determinar que esas propiedades se cumplen justo ahí (¡¡es imposible!! ¡¡no conocias ese valor!!).

Por supuesto, es conveniente que las propiedades obtenidas se cumplan ahí también, así que definimos el valor en el exponente cero de forma que sigan siendo ciertas. Pero esto no es una prueba.

De la misma forma, no se puede probar que 0^0 sea nada. Será lo que acordemos que sea, aunque sí, hay que argumentarlo.

Y en esas estamos.
josejuan | 10 de October de 2010 | 19:05

Pero claro Sive, cuando dices (así sin más) que a^0=1 por definición, suena a lo mismo que 0!=1 por definición y ahí es donde me he sorprendido y hemos estado mareando la perdiz.

Por tanto, lo anterior lo puedes esgrimir en el caso 0^0 (y otros), ¡pero no en el caso a^0! (que es en el que he mostrado mi sorpresa). Las razones ya han sido dadas.

En cuanto a la “definición” en Wolfram de que a^0=1, lee esto, aclaran que, mientras x^1 y x^0 para x!=0 son casos especiales (no especifican porqué son especiales), que 0^0=1 sí es una definición por convenio y que no debe tomarse como verdadera.

De hecho, usa la definición de exponencial como desarrollo en serie (en la que nadie dice explícitamente que e^0=1) y evalúala en 0 (y supongo que estarás de acuerdo en que definir la exponencial como desarrollo en serie es correcto).

Por lo demás, totalmente de acuerdo con tu razonamiento, un convenio es un convenio por mucho que (por ejemplo) su límite “al uso”, de, un valor concreto. Por ejemplo, en la función

$f(x)=\frac{x}{\sin x}$

“a secas”, el valor f(0) no está definido (aunque es habitual construir una función auxiliar que extiende esta función haciendo g(x)=f(x) excepto en g(0)=1, etc…). Y como tú bien dices, si es g(0)=1 es por definición, no porque hayamos construido un límite, etc…

Pero como digo, no es el caso e^0
Ismael | 12 de October de 2010 | 01:58

Espero que no me echéis la bronca por simplificar demasiado, que ya veo que controláis mucho de matemáticas.

El problema de por qué cualquier cosa elevado a 0 es 1 es algo que me chocó muchísimo cuando me lo explicaron en la EGB, así que le busqué la solución por mi cuenta, y a pesar de que no es una solución elegante sí es intuitiva.

Partimos de la propiedad del elemento neutro del producto, que es 1.
2^2 = 1*2*2
2^1 = 1*2
2^0 = 1
Básicamente, desde que lo “deduje” de pequeñito, para mí una potencia es un 1 multiplicado por X veces la base de la potencia. Si no hay nada por lo que multiplicar, es simplemente 1.

Con este razonamiento se cumple que 0^0 = 1.

En fin, ya me daréis vuestra opinión sobre esta simplificación terrible .
infinitoalae | 13 de October de 2010 | 01:37

Bueno, creo que hay dos conceptos distintos aquí. uno referido a funciones y otro a exponenciación.
Una cosa es la función exponencial y otra cosa es la definición de potencia en R.

Insisto, 0!=1 y es por definición, así como a⁰ =1 (con a un real distinto de 0) lo es por definición.
Si vamos a la estructura axiomática de R, no hay dudas, y se excluye explicitamente el caso 0⁰.

yo no conozco ningún libro matemático confiable donde se defina 0⁰.

Sive:
cuando decis:
1. Defino la exponenciacion (de un modo simple, intuitivo, que no incluye casos especiales).
2. Obtengo las propiedades de la operación que he definido.
3. Uso estas propiedades para obtener el valor en el caso especial en el que el exponente es cero.

No estoy de acuerdo, en el paso 1, ya se aclaran esos aspectos.

La definición que yo utilizo es la siguiente:

El simbolo a^x con a perteneciente a R, x perteneciente a N (a distinto de cero o x distinto de cero) significa:
1) 0^x = 0 (si x es natural y distinto de 0)
2) a^0=1 (si x es real y distinto de 0)
3)a^(x+1)=a^x.a (para todo x real, para todo a natural) (a distinto de cero ó x distinto de cero)
Se excluye explicitamente el caso 0⁰

Perdón pero no se usar el editor.

Luego las definiciones en las cuales vamos ampliando a enteros, racionales, y reales, siguen un patrón similar, es decir excluyendo el caso 0⁰.

Incluso en las propiedades, se aclara que se excluye el caso 0⁰.

Joséjuan.
Lo de trabajar con la función auxiliar en x=0 para f(x)=senx/x, todo bien, si queres que sea continua, pero es una función, y la definimos como queremos.
f: R->R / f(x) = senx/x si x distinto de 0 y f(x)= pi/(raiz de 2) si x = 0.
Y es otra cosa distinta.

Por otro lado, una cosa es la matemática, pura y abstracta, con funciones caprichosas, que no se portan nada bien, pero hermozas por si mismas y otra cosa es la aplicación de la matemática a otras ciencias donde es preferible trabajar con funciones “útiles” para resolver “algo”.

Me encantó tu comentario sive
Sive | 10 de October de 2010 | 14:05

La matemática es hermoza, describiendo aspectos reales o no. es una belleza en sí misma.
Yo tampoco soy matemática, y no soy ingeniera, soy docente, y así como uno debe mostrar las aplicaciones de la matemática, también debe hacer énfasis en que es una ciencia totalmente abstracta, que cobra sentido por si misma. Y aún así describe casi perfectamente todo el mundo que nos rodea. Es como en la definición de límite, dado el error admisible entre el ajuste matemático y la realidad, se halla el modelo que mejor la describe al menor costo de complejidad.

Para mi, lo del 0!=1 es obvio, es por definición y no hay vuelta.

Pero el 0⁰, no está definido y no hay vuelta,
josejuan | 13 de October de 2010 | 08:50

“Lo de trabajar con la función…”

¿Y yo que he dicho?
infinitoalae | 14 de October de 2010 | 00:11

lo mismo josejuan, pido mis disculpas.
Naka Cristo | 14 de October de 2010 | 13:20

Yo diría que la definición estándar de la exponenciación es
$a^1=a$
$\forall n\in\mathbb{N},\ a^{n+1}=a^n\cdot a$
De donde obtenemos $a^1=a=a^0\cdot a$ y $a=0\vee a^0=1$ .

En este caso $0^0$ no estaría definido, y no se puede demostrar que $0^0=1$ .
Lo que si que podemos hacer es completar la definición con $0^0=1$ , lo cual es consistente con las otras reglas y nos es útil en muchas situaciones. En combinatoria creo que todo el mundo lo define. También lo definen Maple, Coq y python por ejemplo. Otros como Wolfram|Alpha lo dejan sin definir.
Sive | 14 de October de 2010 | 14:05

@Naka Cristo

Puedes ir un poco más lejos con esa definición. Los exponentes negativos quedan definidos ahí también, sin hacer ningún cambio. Y el caso de $0^0=1$ puede incluirse también, sin aumentar la definición, simplemente cambiando $a^1=a$ por $a^0=1$ .

Y pueden quedar definidos también los exponentes racionales, añadiéndo la siguiente propiedad a la definición:

$(a^n)^m = a^{n m}$
Yo | 16 de October de 2010 | 22:17

No me cuentes historias; es una indeterminación, la misma palabra lo dice; no siempre el valor es el mismo.¿ Por qué escoges X^X? Porque es la más simple, pero también hay otras funciones lógicas y no mucho más complicadas que den esa indeterminación y al resolverlo no tiene por qué dar 1. Es una indeterminación y ya está.
Antonio_GS | 17 de October de 2010 | 09:47

@Sive | 10 de October de 2010 | 13:03 (y perdona este tremendo desfase mío en las contestaciones, pero no doy abasto con el curro), a mí también me gusta el argumento y también me gustan y estoy de acuerdo (como no podía ser de otra manera, claro) con tus puntualizaciones
Yo | 17 de October de 2010 | 13:03

^DiAmOnD^:

Has utilizado límites y has derivado ( L´Hopital), no hablas de cualquier función, hablas de tomar una función con una sóla variable y segun tu criterio la función más lógica es X^X, con lo que me pregunto si el resto de las funciones de una sóla variable son lógicas. A priori lo que estas dejando claro es tu falta de expresión clara y concisa y por ende la base de tu demostración es totalmente absurda, quiero decir, me parece estupendo que elijas esa función y nos digas que su límite es uno, pero por qué no escoges otras funciones de una sola variable que den la indeterminación 0^0? Además de esta crítica tengo también que explayarme en el hecho de que 0^0 es una indeterminación, esto quiere decir que no admite un valor único y por tanto te considero un valiente a la hora de escribir este articulo.
Has matado a las matematicas y a la lógica.
gaussianos | 17 de October de 2010 | 15:10

Yo, me niego a volver a explicar el propósito del artículo, ya que lo he hecho varias veces, tanto en el mismo artículo como en los comentarios. Creo que si intentaras leer el artículo completo y mis comentarios de después entenderías por qué escribí lo que escribí.
Yo | 21 de October de 2010 | 17:13

^DiAmOnD^:

Admito que los comentarios no los he leido, acabo de echarles un vistazo ahora mismo. Aun así, me reitero en lo dicho. Hablas de un 0^0 numérico y no un exponencial de una función, segun he leido, y tomas como función representativa, la más simple para posteriormente tomar limites, por lo que ese 0^0 “numerico” lo has representado con una función ( ya estás operando con la función exponencial para llegar a tus conclusiones ). Así es que que es una contradicción en sí misma; no sé si me he explicado bien, pero si tan seguro estás de tu hipotesis defiendela coherentemente, aunque quizá por ser mala entendedora sea yo quien necesite unas palabras de más.
Yo | 21 de October de 2010 | 17:23

Por cierto, si puedes explicarme qué diferencia hay entre un 0^0 numerico y otro 0^0 indeterminado te lo agraeceré.
Jaime | 21 de October de 2010 | 23:30

No me ha gustado la demostración.

Se basa en la idea de que un número coincide con el límite de una función arbitrariamente elegida que tiende a ese número. Aunque demostraras que absolutamente todas las funciones que tienden a 0^0 den 1, no habrás demostrado nada puesto que no puedes definir un número mediante un límite.

¿ Cuanto vale 1/0 ? No está definido. La división por cero es una operación prohibida en matemáticas.

Sin embargo,¿ cuanto vale lim(x->o) 1/x ? Vale infinito. ¿Luego según tu demostración 1/0 es infinito?

Un saludo
Samuel | 23 de October de 2010 | 01:09

@Jaime: decir que un límite es “infinito” es otra forma de decir que la función no está acotada en un intervalo arbitrariamente pequeño que contenga al valor al que tiende la función.
Samuel | 23 de October de 2010 | 01:11

No sé si ahora me lo va a dejar publicar, pero me estaba diciendo que era un comentario duplicado. Lo mismo con este texto pasa por el detector…

@Jaime: decir que un límite es “infinito” es otra forma de decir que la función no está acotada en un intervalo arbitrariamente pequeño que contenga al valor al que tiende la función.
luis | 30 de October de 2010 | 15:07

y como seria lim de x cuando tiende a 0 de x^x^x?
aukun | 4 de November de 2010 | 15:18

Si 0! es igual a 1 entonces 0 elevado a cero es igual a 1. El porque 0 elevado a cero es indeterminado se debe a que se consideraba en el pasado como una funcion delta en la que es posible dos soluciones 0 o 1. Se demostro hace años por una matematica que se aproxima mas a 1 que a 0 sin embargo aqui os dejo mi demostracion en la que demuestro que 0 elevado a 0 es igual a 1 siempre que :
- (A) –>sea real,determinado,i diferente a 0
- 0!=1
aqui teneis el pedeefe–> https://docs.google.com/fileview?id=0BxQnkYE-NykbNjYyNWVmNzQtMmZkZi00OTRkLWFmZjItM2NmNTEzN2EyM2Q3&hl=es
aukun | 4 de November de 2010 | 16:03

El metodo que aplico es mas del estilo newtoniano mientras que la demostracion que haces es mas estilo leibniz de todas formas es sabido de hace años que 0 elevado a 0 es 1 siempre que consideremos 0 como un numero determinado ya que en nuestro universo fisico que yo sepa no existen ni valores negativos ni se puede llegar a 0 ni infinito, ya que el signo negativo solo es un punto de vista contrario a lo que se establece como positivo y el cero como el punto intermedio entre el punto de vista positivo y negativo o simplemente nada. Lo que quiero decir es que en definitiva el valor infinito y el valor cero son de por si valores indeterminados (los podemos deducir pero nunca podemos llegar hasta ellos)–>(siempre podemos dividir la materia en partes mas pequeñas de energia pero nunca llegar hasta cero)–>(no existe massa negativa, o volumen negativo). Por lo que mi respuesta final a lo que se debate es que desde el punto de vista matematico actual 0 elevado a cero es 1 y desde el punto de vista fisico es simplemente indeterminado.
gregor | 17 de November de 2010 | 14:58

La expresión 0 elevado a 0 ciertamente no es ningún número. Es una operación que no se puede realizar.

Si le queremos darle sentido como el límite de una función que tiende a cero elevada a otra que también tiende a cero, entonces sería una indeterminación. Es decir, sólo con esos datos, no se puede decir cuál es el límite de una función elevada a la otra.
Por ejemplo en el caso que se expone es claro que el límite es 1.
Pero si f(x)=e^(-1/(x^2)) y g(x)=x^2, entonces, el límite de f(x)^g(x) sería 1/e.
Si f(x) es como la anterior y g(x)=x el límite por la derecha sería 0 y por la izquierda sería infinito.
Se puede conseguir que el límite valga cualquier número positivo (incluso infinito), por eso se dice que la expresión 0 elevado a 0 es indeterminada, porque sólo el dato de que las dos funciones convergen a 0 no sirve para deducir el límite de una función elevada a la otra.

(Perdón por no escribir las fórmulas de un modo más claro, pero creo que se entienden)
Aleix | 19 de November de 2010 | 19:38

Pues para la primera demostración yo hubiera hecho: (0^0)=(0^b)/(0^b), siendo b un número cualquiera (venga , hasta podéis coger el 0 si queréis). Como tenemos EXACTAMENTE lo mismo tanto en denominador como numerador nos queda un 1 como una catedral. Poco ortodoxo, quizá, pero muy efectivo y corto.
Sincerándome | 22 de November de 2010 | 23:05

Sinceramente:
- Nunca me ha convencido que 0×0=0, pero ojo con dividir por cero. Si no se puede dividir por cero o sobra la ecuación o sobra el criterio para despejar dividiendo en una ecuación. Lo que no vale es la chapuza del ojo con dividir por cero.
- Nunca me ha convencido que 0^0 sea una indeterminación. Siguiendo por ahí resulta que la gente se plantea dudas sobre cosas indeterminadas. Por esa via vamos a darle validez a plantear dudas sobre dudas. Si se plantean dudas de algo será porque existe.
- Nunca me ha convencido que f(x)^g(x) pueda tender a un valor cuando ambas tienden a cero; pero eso sí, en algún caso ese límite no se puede calcular: otra chapuza.
- Nunca me ha convencido el concepto de límite. Cuando algo se hace muy pequeño desaparece. Pues no, te cuentan, como si tal, que es pequeño pero que da igual, que como si siguiera siendo grande.
- Y sincerandome de todo, no me creo que los números reales formen un continuo de la leche. A ver quién ha visto qué hay después de un número real de infinitas cifras.

Y ya para terminar, lo único que me anima a seguir con estas historias es la increible casualidad de que se parezca al mundo real en que vivimos.
Omar-P | 30 de November de 2010 | 11:31

El caso especial de cero elevado a la cero analizado en la Enciclopedia.
http://oeis.org/wiki/The_special_case_of_zero_to_the_zeroeth_power
holatao | 10 de December de 2010 | 07:45

si 0 elevado a 0 es 1, está clao que la nada genera el Universo y las leyes de la
termodinámica son subjetivas y que en internet hay mucho patata creacionista
haciéndose pasar por catedrático en matemáticas sin tener ni idea del tema

Lo que no tengo claro es si el cero o el conjunto vacio, existe o no existe porque afirmar
que el cero existe y no existe es lo mismo. Aunque parece que el cero si tiene
propiedades.

Agradezco este tema, saludos.
Samuel | 10 de December de 2010 | 08:45

@holatao:
Ni existe ni no existe. Simplemente, Zermelo y Fraenkel listaron unos axiomas que eres libre de creerte o no, y entre ellos está el que establece la existencia del conjunto vacío. No es algo que podamos “tocar” (ey, mira qué conjunto vacío más interesante tengo hoy) sino eso, un objeto formal que si quieres, existe y si no, pues no.
holatao | 10 de December de 2010 | 09:30

Samuel | 10 de December de 2010 | 08:45
@Samuel

“Ni existe ni no existe. ”
es lo mismo NI EXISTE que NO EXISTE

@Samuel
“Simplemente, Zermelo y Fraenkel listaron unos axiomas que eres libre de creerte o no,”

Las verdades evidentes que el ser humano afirma como verdaderas son tanto o mas subjetivas que el mismo ser humano, (ver el principio antropico).

No mas dogmas ni adoctrinamientos por favor, seamos serios, lo que apreciamos como evidente, por ejemplo atraccion gravitatoria o espacio vacio, no tenemos ni remota idea que es.

@Samuel
“y entre ellos está el que establece la existencia del conjunto vacío. ”

que un axioma establezca algo no quiere decir que sea verdadero.
Es lo mismo decir que el cero existe que el cero no existe, la nada, el conjunto vacio , el cero tiene una propiedad unica que le viene de no tener propiedades, no tener propiedades es tener 1 propiedad.

@Samuel

“No es algo que podamos “tocar” (ey, mira qué conjunto vacío más interesante tengo hoy) sino eso, un objeto formal que si quieres, existe y si no, pues no.”

Esto que austed le parece un tema sin importancia a cientificos de renombre entre ellos S:Hawkimg los trae de cabeza.
La unica explicacion logica-matematica del origen del Universo es la nada.

Saludos.

PD
curioso que respondiese tan rapido, se lo agradezco.
Samuel | 10 de December de 2010 | 20:25

@holatao
Yo lo que defiendo es la no-axiomatización de la Física, puesto que debe estudiar la naturaleza y debe ceñirse a lo que ésta presente; y, para las matemáticas, un modelo formal que somos libres de aceptar o no como modelo formal para las Matemáticas; no como unos “principios” que podamos aplicar a la Física.
De ahí que diga que los axiomas somos libres de creernoslos o no; los de Zermelo-Fraenkel son los que todos los que conozco siguen, junto con el Axioma de Elección. No obstante, podemos considerar que es falso y tomar los ZF + ¬AE y, matemáticamente, lo que deduzcamos, sería válido.

Sin ir más lejos, voy a ilustrar lo que digo con el Teorema de Banach-Tarski, un resultado de Topología que, llanamente, dice que podemos “cortar” una esfera de radio 1 en 8 “trozos” tales que si juntamos 5 de ellos tenemos otra esfera de radio 1; y si juntamos los otros 3 trozos, tenemos otra esfera de radio 1 (compacta, sin huequecitos).
Esto, por muy correcto que sea, es cuanto menos chocante e irrealizable en Física, al menos a nivel macroscópico. Además, resulta que este Teorema es EQUIVALENTE al AE, por lo que entonces nos tocaría elegir si creernos que el producto cartesiano infinito de conjuntos no vacíos es no vacío (AE) o resistirnos, y negando el AE, decir que no podemos “duplicar” por arte de Banach una esfera.

P.D.: simplemente, leí rápido, no hay nada que agradecer
josejuan | 10 de December de 2010 | 23:51

A la realidad (al Universo) le da igual que “La unica explicacion logica-matematica del origen del Universo sea la nada.”, la realidad es la que es (sea lo que carajo sea).

¡Vaya! si que ha derivado el tema del post ¿no? :O

PD: para caracterizar matemáticamente al Universo, deberías conocer su modelo (en matemáticas, sus axiomas), lo cual parece razonable pensar que es imposible. Por tanto, parece aventurado decir que es la única explicación lógica-matemática. ¿no?.
Samuel | 11 de December de 2010 | 10:45

@josejuan:
+1
Has “metido” una de las frases que suelo soltar cuando me preguntan “demasiado” sobre el Universo y su relación con las matemáticas. La realidad es lo que es.

Sí, esto tiene tanto que ver con $0!$ como indeterminados estamos (y no, no estoy hablando de Heisenberg )

P.D.: Eso es lo que intentan con la Teoría de Cuerdas… es muy ambicioso, pero… quién sabe, lo mismo nos sorprenden los Físicos.
Jorge Perez | 31 de December de 2010 | 09:28

Para mí 0 elevado a 0 no existe. El límite nos da una idea de como se comporta la función x^x, para x muy pequeños. Así de simple, aunque JAMÁS la función llegará a tomar ese valor. Por lo tanto 0^0 es indeterminado, pero el límite si existe y es 1, que son 2 cosas totalmente distintas.
holatao | 1 de January de 2011 | 00:24

Para mi, para ti, para el, para nosotros , para vosotros, para ellos. Ni que fuesemos de distintas especies, hombre por dios

Vale lo mismo el intervalo entre 0 y 1 que el intervalo entre 1 y 2 si tenemos en cuenta que el punto donde esta el cero vale cero y el punto donde esta el 1 vale 0.0…01 ?

El punto ocupado por el cero vale cero en cambio el punto donde esta el 1 es mayor que cero, luego el intervalo entre 0 y 1 vale 0.9 periodo y el intervalo entre 1 y 2 vale 1, porque 2-1=1 luego 0^0 = 0.0…01^0.0…01 = 1

La cuestión es: el punto de una recta imaginaria que ocupa el cero, tiene o no valor mayor que cero ?
Digo recta imaginaria porque en la realidad no hay rectas perfectas.

Es lo mismo decir que el cero existe que decir que el cero no existe.
Un conjunto vacio puede deformar sus propiedades siendo percibido como un conjunto no vacio y seguira siendo un conjunto vacio para un observador objetivo.

Parece una tontería pero este tema pone en contacto matematicas con filosofia y percepcion subjetiva del humano y es fundamental para la teoría unificadora del todo que entre otras cosas ha de explicar que es la gravedad.

Feliz año nuevo, saludos.
ingeniero | 20 de January de 2011 | 23:26

4 años y sin demostrarlo.

Para Gregor:

” Pero si f(x)=e^(-1/(x^2)) y g(x)=x^2, entonces, el límite de f(x)^g(x) sería 1/e…”

f(x) no se puede evaluar en 0, luego ese ejemplo no sirve, pues f(x) y g(x) deben existir si x=0.
ingeniero | 21 de January de 2011 | 00:45

0^0 es indeterminado (muy breve):

sea f(x)=0^x, entonces se tiene que f(1)=0 , f(-1)= (1/0)^1 = indeterminado.

por otro lim lateral derecho f(x) = 0 , en cambio lim lateral izquierdo f(x) es indeterminado.
Como ambos son diferentes (uno de ellos no numérico) entonces el limite no existe.

Luego 0^0 no arroja ningún valor real. Si procede de una función, entonces se debe evaluar de otra forma, por ejemplo L’Hôpital.
ingeniero | 21 de January de 2011 | 03:48

Otra forma sería utilizando una función más compleja como g(x,y)=x^y más los conceptos de límite.
Pablo | 21 de January de 2011 | 05:25

Bueno, excelente, pero que sucede entoncs con el caso de la tabla de codigos ascii! es dcir, el codigo ascii de la letra «L» es 01001100…. tenemos los primeros 2 (de derecha a izquierda) con el valor de 0, entoncs, segun la conversion de binario a decimal, tenemos que el primer numero (en este caso, nuestro primer 0) elevado a la 0, y el segundo 0 elevado a 1, el tercer dato que es 1 elevado al cuadrado y el siguiente 1 elevado al cubo, entoncs, bueno pues ahi es donde tengo entoncs la duda, xq segun la tabla de codigos ascii me dice que el primer 0 elevado a la 0 es = a 0 y el segundo 0 elevado a 1 = a 0…….. entoncs, 0 elevado a la 0 segun limites es 1, pero segun el «lenguaje maquina» es 0………… porque????

Soy profesor de computacion, y este es mi primer año dando clases, y bueno, e investigado sin nada concreto, me gustaria tener una base matematica segura para poder partir de ahi para explicar en clase!
Muchas gracias!
JJGJJG | 21 de January de 2011 | 11:44

Pablo, el código ASCII que comentas es un número en base 2, o sea que vale 0*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3….. es decir 0+0+2+4… y no hay ninguna indeterminación.
Pablo | 21 de January de 2011 | 18:18

Comprendo, y si muchas gracias, el problema es que como dice hasta arriba “en nuestra epoca de colegio nos dicen….” y pues, lo que sabia era que 0×2=0 y luego 0^0…. y e ahi el detalle……. en serio muchas gracias.

ahora bien, nose si alguien conozca el tema de normalizacion y desnormalizacion de bases de datos… se manejar las 3 formas de normalizar y unos cuantos ejemplos de desnormalizaciones, pero algun concepto o x asi decirlo “ley” para aplicar estas dos herramientas?…. existe??…….. muchas gracias!
Masacroso | 15 de April de 2011 | 22:41

Mirad 0^0 no está ni definido numéricamente. No tiene ningún sentido, lo quieras hacer como lo quieras hacer. El único sentido ocurre en una indeterminación. No puedes valorar 0^0 desde un límite de la función x^x… es que son cosas totalmente distintas (además de considerar que la función es contínua en ese punto al tomar el límite).

Por otro lado me interesa eso que alguien ha dicho de definir 0!=1 por ser el neutro de la multiplicación. ¿Existe alguna definición de n! que implique 1! y 0! que sea general y no requiera de convencionalismos? Gracias.
karitol | 21 de April de 2011 | 00:23

necesito ke me dijan ke esss estooo¨:
esta definido el 0 por ke????
holatao | 21 de April de 2011 | 03:16

Todo esto que estais poniendo, matematicos con 5 masters y solo 3 dedos de frente y ni siquiera se puede segurar que el cero sea un numero.

En una recta, cualquer punto vale 0.0…1 e incluso el punto cero vale 0.0…1 luego en fisica no existe el cero entonces en fisica 0= 0.0…1
En matematicas existe el cero ? Me trae sin cuidado ya que las matematicas son muchas, son juegos de numeros que dependiendo del observador daran unos u otros resultados. Los matematicos no se ponen de acuerdo si el cero es un numero o no pero vosotros, listos, si.

Y repito, si vosotros sabeis mas que los programadores de la calculadora del google, que haceis aqui ? estais perdiendo dinero.

Indefiniciones ? indefiniciones humanas mejor direis, que no nos enteramos de nada.
Que no sepamos que es un agujero negro, que no sepamos que origina el big bang, que no sepamos que es un electron o la gravedad , no es razon para llamarlo indefiniciones, indeterminaciones, objetos puntuales sin volumen, interaccion sin particula portadora, ect. Listos.
No sois matematicos, sois inventores de matematicas.

0^0 = 1

http://www.google.es/#hl=es&biw=889&bih=490&q=0%5E0&aq=f&aqi=g10&aql=&oq=&fp=fb6b37bae2ca0e6b
Carlos | 24 de April de 2011 | 15:36

Vaya, la semana pasada en un congreso saqué el tema de que 0^0 vale 1 y de hecho hasta tenía pensado escribir un post sobre ello en mi blog (de hecho lo tenía a medias). Desde luego que el planteamiento en el post no me gusta ya que tendríamos que ver qué significa función representativa.

Mi forma de ver que 0 elevado a 0 es 1 es a partir de la definición directa pura (pura por teoría de conjuntos).

Resumiéndolo, para calcular a^b, se coge un conjunto X de cardinal b, un conjunto Y de cardinal a y se mira cuantas aplicaciones existen de X a Y. Si a=b=0, el conjunto que cogemos es el vacío, y resulta que existe una aplicación del vacío en el vacío, la aplicación vacía (puede sonar raro, pero es así). De aquí se deduciría que su valor es 1.

Para no dejar la explicación tan resumida, voy a terminar la entrada en mi blog y la enlazo aquí.
Trackback | 24 Apr, 2011

Cero elevado a cero no es una indeterminación | Zurditorium
Carlos | 24 de April de 2011 | 17:23

Vaya, me acabo de dar cuenta de que esta entrada tenía ya 5 años!!! Es lo que me pasa por llegar aquí a través del twitter de gaussianos. En fin, no me he leído los más de 200 comentarios pero estoy seguro de que eltopologico se habrá pasado por aquí ya y explicado antes lo mismo que había dicho yo. En fin, pongo de todas formas el link:

http://www.zurditorium.com/cero-elevado-a-cero-no-es-una-indeterminacion

y enlazo la de eltopologico por si no se pasó por aquí:

http://eltopologico.blogspot.com/2008/04/cero-elevado-la-cero.html
gaussianos | 25 de April de 2011 | 02:37

Carlos, el caso es que no sé si El Topo Lógico se pasó por aquí, pero lo que es seguro es que tanto yo como otros comentaristas de este post sí lo hicieron por sus artículos, que de hecho aparecen en los comentarios de éste.

Por cierto, gracias por enlazar mi post en tu artículo. Y también por volver a sacar este tema. Yo intenté por todos los medios explicar lo que tú has comentado en tu post, pero después de más de 200 comentarios no tengo claro que lo haya conseguido :S.
Ingeniero | 25 de April de 2011 | 05:32

Supongamos que 0^0 existe = k, entonces sea k=0^0, luego lnk = ln(0^0) –> lnk = 0*ln0 (propiedad de logaritmos), pero ln0 no existe. Luego no estaría definido 0^0, pues la función exponencial y logaritmica están muy bien relacionadas entre sí.
No creo que haya más que decir, pues si 0^0 existe, entonces ln0 también.
holatao | 25 de April de 2011 | 07:34

ln0 ??? Eso que es ? Usted no hace matemáticas, las imagina e inventa.

El logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo x>0

Ingeniero no, astro-nauta ?
Ingeniero | 25 de April de 2011 | 17:35

Ln(0) claro que no existe. En todo caso la matemática (sin s) en inventada por si no lo sabe, al igual que el alfabeto, etc.

Entonces si ln(0) se define para reales no negativos, entonces 0^0 no está defina tampoco (se deduce fácilmente). Ud. mismo lo dice.
PUNTO FINAL AL ASUNTO.
Ingeniero | 25 de April de 2011 | 17:44

Sr. Holatao, no confunda truncamiento, aproximación, precisión y exactitud.

Por ejemplo el vacío del espacio no existe como tal, ya que su densidad volumétrica no es 0 átomos/parsec^3 absoluto (he ahí su confusión). O bien la temperatura promedio del espacio de 4K, inexistiendo el 0 absoluto en la escala Kelvin, el tiempo 0 segundos del Big Bagng, Y así los ejemplos físicos son innumerables.
Sive | 26 de April de 2011 | 03:48

@Ingeniero:

Supongamos que (-2)^2 existe = k, entonces sea k=(-2)^2, luego ln(k) = ln((-2)^2) –> ln(k) = 2*ln(-2) (propiedad de logaritmos), pero ln(-2) no existe. Luego no estaría definido (-2)^2, pues la función exponencial y logaritmica están muy bien relacionadas entre sí.
No creo que haya más que decir, pues si (-2)^2 existe, entonces ln(-2) también.

Ops…
Sive | 26 de April de 2011 | 17:49

Aunque sea bajar el nivel del blog un poco, creo que gaussianos debería dedicar una o varias entradas a esos matices que no se suelen enseñar en otras carreras, como las ingenierías, y que causan que muchos aficionados a las matemáticas se queden a cuadros con ‘demostraciones’ como la anterior, incapaces de ver dónde está el error.
gaussianos | 27 de April de 2011 | 02:19

Sive, pues no descarto hacerlo, no te creas. Todo se andará. Gracias por la sugerencia .
Ingeniero | 27 de April de 2011 | 16:10

Sive, interasante contraejemplo.

Se asemeja a lo siguiente:

$(-2)^{2/2} = (-2)^{1} = -2$

o bien

$(-2)^{2/2} = sqr{(-2)^2} = sqr{4} = 2$

¿qué me dices tú? ¿dónde está el error?
Sive | 27 de April de 2011 | 19:28

Ingeniero, los contraejemplos no son interesantes, o al menos este adjetivo se les queda corto.

Un contraejemplo es algo devastador. No existe nada con un poder argumental comparable al de un contraejemplo válido. Nada.

No te lo tomes como algo personal, yo también soy ingeniero, y puesto que lo soy, sé que el enfoque práctico que se le da a las matemáticas en estas carreras, tiene estos efectos colaterales.

En cuanto a tu segunda demostración errónea (ya sé, esta vez, el error es intencionado), tengo que discrepar, no se parecen en nada (salvo en que ambas son erróneas). El error es de otra naturaleza.

En el caso de la primera demostración, en el fondo es algo que ya he mencionado en los comentarios de esta misma entrada, cuando intenté explicar que el valor de $0^0$ no se puede demostrar (ni tampoco su inexistencia), y que su valor se debe fijar atendiendo únicamente a criterios de conveniencia.

Me refiero a este HECHO:

- No se pueden usar las propiedades de una función fuera del dominio donde está definida

Cuando lo ves por escrito, parece de cajón, ¿verdad?, pero como es algo que no se enseña (o no se suele enseñar), pues nos aprendemos propiedades a lo loco y las usamos como si fueran aplicables siempre. En particular, no se puede escribir:

$\log{a^b} = b \log{a}$

Si $a$ es negativo o cero.

Y lo mismo se puede decir del logaritmo del producto, o del cociente. Por ejemplo:

$log 6 = \log{((-2)(-3))} = \log{(-2)} + \log{(-3)} = Ups!$

En cuanto a tu ejemplo de demostración errónea, permíteme que la exprese como quisiste expresarla, para evitar confusiones:

$(-2)^{2/2} = \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

En este caso el error es mucho más conocido. Creo recordar que el peligro de olvidar la raíz negativa, y de las ‘soluciones falsas’ que se introducen en las ecuaciones al elevar al cuadrado, es algo que se enseña en los institutos (no sé si la LOGSE se habrá cargado eso, que no me extrañaría).

Si lo hubieras escrito así:

$(-2)^{2/2} = {(\sqrt{-2})}^2 = Ups!!$

Matizando que trabajamos en $R$ , entonces el error sí sería de la misma naturaleza que el de tu primera demostración.

Volviendo al tema de los logaritmos, y por si no te vale la explicación general de “no se pueden usar las propiedades de una función fuera su dominio”, te recomiendo que busques la demostración de:

$\log a^b = b \log a$

Y en esa demostración, cambies a por -2, y b por 2 (o las variables que usen). Y tú mismo verás como la demostración se cae a pedazos. Y lo mismo sucederá si haces a=0 y b=0.
Ingeniero | 27 de April de 2011 | 21:27

Ok, estamos de acuerdo, mientras nos atengamos a los dominios, no debería haber problemas.

Pero sigo con una duda, y es la siguiente (salió mal en LATEX)

si la expresión

$(-2)^{2/2} = (-2)^1 = -2$

o bien sin simplificar el exponente y utilizando la notación radical se tiene que

$(-2)^{2/2} = \sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$

Me refiero al número en sí (raíz positiva), no a las soluciones de la ecuación cuadrática

$x^2=2$
que claramente son dos.

Es decir, ¿cuál de las dos expresiones es la correcta?.
que hay dos soluciones.
Ingeniero | 27 de April de 2011 | 21:38

En cuanto a 0! creo que es 1 por conveniencia solamente. No se puede aplicar la función gamma, pues no está definida para negativos ni para el 0.

Recuerdo del triángulo de Pascal que la primera columna es para n = 0 , la segunda para n = 1, la tercera para n= 3 (binomio) ,etc.
y la cúspide de ella es el número 1 (n=0) y no 0. Parece que Pascal ya lo había intuido.

Desconozco si alguien puede demostrar que 0!=1 y no otro valor, es decir que no sea un axioma.

Vamos que cinco años y no leo ninguna conclusión. En todo caso si se ingresa 0^0 a una calculadora TI-89 arroja “undef” , en cambio la de google arroja 1. ¿Quién tiene la razón? o ninguno en realidad?
Sive | 27 de April de 2011 | 22:59

Ingeniero, es que cuando haces esto:

$(-2)^{2/2} = \sqrt{(-2)^2}$

Y te olvidas de la raíz negativa, estás cometiendo el mismo error que cuando haces:

$x = -2$
$x^2 = (-2)^2$
$x = \sqrt{(-2)^2}$
$x = \sqrt{4}$
$x = 2$

Primero, te olvidas de la raíz negativa, y segundo, te olvidas de que al elevar al cuadrado se introducen soluciones adicionales.

Esto se evita simplemente aplicando la siguiente propiedad:

$x^{a/b} = \sqrt[b]{x^a}$

Únicamente si a/b es irreducible, que además es como se define la potenciación con exponentes fraccionarios.
Ingeniero | 28 de April de 2011 | 00:46

Sí, pero mira este caso:

$2^{1/2} = \sqrt{2}$
es decir el signo + de la raíz está implícito ya. No hay dos signos, sino el resultado de

$2^{1/2} + 2^{1/2}$

serían tres:

$2\sqrt{2} ; -2\sqrt{2} ; 0$

y a mi juicio es sólo el primero de ellos.

Tengo claro que el exponente debe ser irreductible, pero ¿por qué razón? será para evitar lo que planteo, ¿que una misma expresión aritmética represente dos números diferentes?
Sive | 28 de April de 2011 | 02:04

Si, cuando se habla, por ejemplo de la raiz de 2, nos referimos a la positiva. Y cuando lo escribimos sin más así $\sqrt{2}$ o así $2^{1/2}$ , es la raiz positiva.

Pero este no es el caso, en el caso de la ‘demostración’, se hizo un desarrollo en el que aparecía una raiz cuadrada que no estaba inicialmente, y se decidió (porque sí) que la válida tenía que ser la positiva.
Maximiliano Jebus Chazarreta | 22 de May de 2011 | 18:21

[(-2)^2]1^2=/-2/=2 ,donde 2 es la longitud respecto al cero , por lo tanto sus valores son 2 y -2. Si /y/=2 ….4^1/2=2 y -2.. : )
Maximiliano Jebus Chazarreta | 22 de May de 2011 | 18:33

Para mi es una función modulo encubierta, nada mas, osea son funciones que al combinarse funcionan como una función modulo(compuesta), y si parten a la función es evidente que van a tener diferentes resultados pero en si ,si la analizan como función compuesta ambos resultados están bien, y los pseudos-contrajemplos son solo justificaciones del porque es valido matemáticamente que obtengamos ambos resultados, y todavía no soy ingeniero, me parece que es cuestión de ingenio mas que sapiencia.
kellys | 7 de June de 2011 | 05:47

hola tengo un problema , cuando quiero convertir un numero binario a base diez resulta el problema en muchas ocasiones que 0 a la 0, entonces si le doy el valor de uno, me sobra un numero cuando hago la suma de los numeros resultantes de la conversion base dos a base diez, y se dejo como cero, si me da, ¿ que hago?
cula es el valor real?
help!!!
josejuan | 7 de June de 2011 | 08:43

Kellys para pasar de una base a otra, no aparece la indeterminación que encabeza el artículo.

En particular, los dígitos de los números binarios se suelen denominar “bits” y se enumeran como “bit 0″ (el menos significativo, es decir, el primero de la derecha) hasta el “bit n-ésimo” (el más significativo, es decir, el primero de la izquierda). Ojo, el bit n-ésimo tiene por índice $n-1$ .

Así, un número en binario con $n$ bits sería:

$b_{n-1}$ … $b_{1}b_{0}$

Cada bit de un número binario, está asociada con su correspondiente potencia de 2: el bit 0 con la potencia $2^{0}$ , el bit 1 con la potencia $2^{1}$ , …, el bit k-ésimo con la potencia $2^{k-1}$ , …

Si multiplicas cada potencia con su bit y lo sumas, habrás pasado el número a base 10.

Por el ejemplo, el número $1011_{2}$ pasado a base 10 sería:

$2^{3}$ · 1 + $2^{2}$ · 0 + $2^{1}$ · 1 + $2^{0}$ · 1 = 8 · 1 + 4 · 0 + 2 · 1 + 1 · 1 = 8 + 2 + 1 = $11_{10}$
holatao | 18 de August de 2011 | 01:48

¿Cuánto vale cero elevado a cero?

Esta es la cuestión principal, os vais por las ramas, lo cual , conociendoos, me parece normal.
Repito, ¿Cuánto vale cero elevado a cero? esta es la cuestión principal, lo que nos hace plantearnos si el cero existe o si el cero es realmente un número….

Cuando los dos terminos de la potenciación tienden a cero observamos que el resultado tiende a uno, luego y suponiendo que el cero exista o dicho de otra forma, suponiendo que el cero sea un número, lo cual no dudo ni lo dejo de dudar, tenemos :

0.000…1^0.000…1 = tiende a uno 1

luego
0^0 = 1
No es cuestión de ser un sabio ni un matemático con 5 doctorados y solo 3 dedos de frente, es cuestión de lógica.
Lo siento, pero si no entendeis esto, nunca entendereis como funciona el Universo.
Y es que no sabemos pensar ya que las expresiones, “la nada existe” es equivalente a la frase, “la nada no existe”
ZetaSelberg | 25 de August de 2011 | 05:16

Dejo un enlace que habla al respecto, en el cual hacen la misma pregunta.

http://www.askamathematician.com/?p=4524

Salu2.

PD: 240 comentarios con el mio, Wow que entrada más discutida… eso es bueno siempre que sea constructivo.
BTW todos los números menores a un millon tienen a lo sumo 240 divisores.
Sive | 5 de September de 2011 | 09:05

Genial el enlace ZetaSelberg, además la entrada lo dice todo, sin dejar nada a los comentarios de la gente.

Lo importante es entender la conclusión, cuando dice que $0^0=1$ pero…

“The choice is not “right”, it is merely nice.”

Porque esto es lo que parece que no entiende casi nadie (incluido el ser supremo holatao).

El comienzo de la intervención del personaje matemático que se inventa el autor es clave también:

“Zero raised to the zero power is one. Why? Because mathematicians said so. No really, it’s true.”

(Más o menos dice: “Cero elevado a cero es uno ¿Por qué? Porque los matemáticos lo dicen. No, en serio, es así”)
Asier | 5 de September de 2011 | 13:44

Sí, muy buen enlace, ZetaSelberg, un buen resumen de la problemática y las diferentes maneras de afrontarlo.

Quería comentar que la ecuación $0^0 = 1$ me hace pensar en “la creación a partir de la nada”. Es decir, tenemos a un lado de la ecuación solamente ceros (nada) y al otro lado el uno, que es algo. ¿No os resulta sugerente?
Ignacio Larrosa Cañestro | 6 de September de 2011 | 14:51

El significado de 0^0 es una convención. Como todas las convenciones, es una cuestión de conveniencia. Por lo que tengo entendido, actualmente en matemática discreta la convención es 0^0 = 1, y nadie se molesta en aclaralo, se da por supuesto.

En el libro ‘Concrete Mathematics’ de R. Graham, D. Knuth y O. Patashnik, se dedica un párrafo al asunto, al que se llega fácilmente por la primera entrada del índice (¿o habría que decir la 0-ésima entrada del índice …):

“Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions x^0 and 0^x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define

x^0 = 1, for all x,

if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = – y. The theorem is too important to be arbitrarily restricted!. By contrast, the function 0^x is quite important. (See [220] for further discussion.)”

Es decir, más o menos:
Algunos libros de texto d3ejan la cantidad 0^0 indefinida, porque las funciones x^0 y 0`x tienen diferentes valores límites cuando x decrece hasta 0. Pero esto es un error. Debemos definir

x^0 = 1, para todo x,

si el teorema del binomio ha de ser válido cuando x = 0, y = 0, y/o x = -y. !El teorema es demasiado importante para ser arbitrariamente restringido!. Por contraste, la función 0^x es poco importante (Ver [220] para discusión adicional).

(previamente habla del teorma del binomio con la notación (x + y)^n)

La cita es:

[220] Donald E. Knuth, “Two notes on notation,” American mathematical Monthly 99 (1992), 403-422.

En cuanto a 0! = 1, es una convención extraordinariamente conveniente, diriamos que casi obligada. Extendoindo la relación de recurrencia todo lo que da de si,

n! = n(n – 1)!

…

2! = 2*1! ===> 1! = 2!/2 = 1

1! = 1*0! ===> 0! = 1!/1 = 1

0! = 0*(-1)! ===> No podemos calcular así (-1)!, pues deberíamos dividir por 0:

(-1)! = 0!/0

pero de hecho, el factorial es la restricción a los enteros no negativos de la función Gamma de Euler, que tiene singualridades aisladas en cero y los enteros negativo, mientras que para los positivos es Gamma(n) = (n – 1)!.
Hernán | 6 de September de 2011 | 15:46

Este sitio es único, ojalá todos los que escribieran en internet lo hicieran con sinceridad, y no se hicieran los tontos ante comentarios. Aplaudo de pié a los que hicieron el artículo porque leyeron y siguieron la linea de comentarios. Son un ejemplo. Saludos!
Nisargadito | 27 de October de 2011 | 02:37

Me ha encantado este artículo y la actividad que ha generado.

Seguramente esta convención toca la fibra axiomática de la teoría de números. El origen del número 0 data del siglo III a.C, y es un número básicamente antiintuitivo, porque no expresa positividad, ni negatividad, aunque puede ser definido como el resultado de la suma de su opuesto.

Filosoficamente hablando parece que encontramos una frontera intelectual al pensar que cero elevado a cero pueda dar origen a 1, como si la nada al emerger de su reposo no pudiera dar origen a la multiplicidad.

Desde un punto de vista matemático (que no demostrativo…pues no tengo el conocimiento suficiente para ello), el problema pienso que radica en tratar de aplicar propiedades de cierto campo de la matemática al emparejarlo con operadores que pueden desvirtuar su carácter primordial. Realizar operaciones como límites (y entiendo lo que quiere decir “gaussiano”) al sembrar este dilema, pueden llevar a agregar suposiciones que aún no siendo falsas, tampoco tienen por qué ser verdaderas.

En todo caso, parece lícito pensar por lógica formal que 0 elevado a 0 pueda ser 1. Algebraicamente no parece ninguna tontería. A ver si alguien puede darnos una explicación de este tipo con más detalle.

Lo bueno además sería que algún matemático aportara una demostración geométrica de este dilema (esto sería ya la repanocha…jeje)

Un abrazo cordial a todos los participantes.
manuel | 27 de October de 2011 | 19:36

parecen olvidar que 0^0=0^1*0^-1=0*(1/0). si aceptamos que 1/0 no es posible entonces tampoco lo es 0^0
Jesús C | 27 de October de 2011 | 20:46

Nisargadito,

Si has ojeado los doscientos cuarenta y tantos comentarios (hay que ver cuánta polémica), en alguno se explica bien que no se puede demostrar, es un convenio que 0^0 vale 1, pero un convenio conveniente. Se puede argumentar lo conveniente que es, con el número de aplicaciones del conjunto vacío en sí mismo, o con lo de que a^b = 1 x a x a x .. x a, el producto de “a” está “b” veces.

Y como argumento geométrico que buscas, vale el enunciado del hilo. Prueba a dibujar la gráfica de la función x^x por ejemplo en http://fooplot.com/. Te puede servir como “argumento geométrico” de que para x=0 el valor conveniente es 1.
JJGJJG | 27 de October de 2011 | 22:39

Manuel, nunca se ha planteado ninguna ambigüedad en las expresiones como 0^2=0 o como 0^3=0.

Sin embargo, según tú, 0^2=0^3*0^-1=0*(1/0) haría también inevaluable a 0^2.

De esta otra expresión 0^2=0^2*0^0=0^(2+0)=0^2 concluímos la utilidad del convenio para que se mantengan las igualdades.

El polémico (en esta entrada del blog, al menos) convenio representa muchas ventajas y pocos inconvenientes.

Aceptemos que el 0, como número, lleva implícito un singular comportamiento al ser el único número que representa “nada” cuyo inverso es “especial”.

Aun teniendo que tratarlos con especiales mimos creo que el cero y el infinito son los aportes más valiosos al desarrollo de las matemáticas.
Francisco Manuel Dexter Bosch | 6 de November de 2011 | 16:09

Hola a todos desde Puerto Rico!

He notado que algunos de los comentaristas están expresando que el número cero elevado a cualquier cosa (excepto él mismo) da como resultado cero. Esta regla solamente se aplica exponentes positivos. Si elevamos cero a un exponente negativo el resultado sería el recíproco de este, el cual no está definido o simplemente no existe. Si lo hacemos con un exponente imaginario (0^i) no obtendríamos algo conocido, porque no existe un convenio entre matemáticos ni una demostración, ni siquiera una definición aceptada sobre el tema.

En el caso del cero como exponente, sí. Si elevamos cualquier número real, imaginario o complejo a cero (se debate aquí lo del cero como base) obtendríamos uno. El uno como base elevado a cualquier cosa sea número, infinitud o indeterminación comoquiera resulta en uno.

Algunos confunden algo indefinido (1/0) con algo indeterminado (0/0). Lo que nombramos como infinito o indefinido es aquello que no tiene fin. Es, por tanto, lo que no puede existir, a diferencia de cero que es la ausencia de algo en un contexto dado. Lo indeterminado puede ser cualquier cosa que escogiéramos para la solución de algo sin caer en una contradicción. Por ejemplo, la ecuación x+1=x+2 es indefinida, ya que cualquier valor que le pongamos a la variable x crearía una desigualdad, mientras que la ecuación x=x sería indeterminada, porque cualquier valor que le asignemos haría de esta una igualdad. En geometría una recta representa la indeterminación y dos rectas paralelas la indefinición.

En cuanto a si 0^0 es igual a uno, vamos a ver lo siguiente. Si hacemos una gráfica de y=1 obtendríamos una recta horizontal que intercepta el eje de y en el uno, pero si hacemos una gráfica de y=0^0 tendríamos el eje de y. Lo único que tienen ambas en común es el punto (0,1).
El Ema curiosiando | 15 de November de 2011 | 00:50

No participare en las discusiones de arriba por que seria meter las manos al fuego y apenas voy adentrandome a este mundo maravilloso de las matematicas; acudo a este blog por que buscando por internet fue lo unico que pude encontrar sobre la funcion x^x (equis a la equis), estoy en mi primer curso de calculo diferencial y mi maestro no supo como decirme como derivar x^x y navegando por internet no lo logro encontrar algo que me sirva. Alguna ayuda, recomendacion sobre como derivar x^x, de antemano gracias.
Ignacio Larrosa Cañestro | 15 de November de 2011 | 01:11

Derivación logaritmica. En general, si tienes

y(x) = f(x)^g(x)

podemos tomar logaritmos, con objeto de transformar la potencia en un producto:

Ln(y(x)) = Ln(f(x)^g(x)) = g(x)*Ln(f(x))

Ahora podemos derivar esta expresión:

(Ln(y(x)))’ = (1/y(x))y’(x) = g’(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f’(x) ==>

y’(x) = y(x)(g’(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f’(x))

y’(x) = f(x)^g(x)(g’(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f’(x))

En la práctica es más fácil. Por ejemplo, para y(x) = x^x,

Ln(y(x)) = Ln(x^x) = x*Ln(x)

Derivando,

y’(x)/y(x) = Ln(x) + x*1/x = 1 + ln(x)

y’(x) = y(x)(1 + ln(x)) = x^x(1 + ln(x))

Si te quedan dudas, pregunta de nuevo.
Jesús C | 15 de November de 2011 | 01:14

d/dx(x^x) = x^x (log(x)+1)

Lo puedes hacer tomando logaritmos y luego derivando..

f(x) = x^x

log(f(x)) = log (x^x) = x log(x)

y ahora derivas.. (a la izquierda regla de la cadena, a la derecha regla del producto)

(1/f(x)) * f`(x) = log(x) + x*(1/x)

f`(x)/f(x) = log(x) + 1

y despejas f`(x)

f`(x) = f(x) * (log(x) + 1) = x^x * (log(x) + 1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x