Gaussianos

¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:

a⁰ = 1
0^b = 0

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale 0⁰?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?.

Muchos diríais: 0⁰ es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación 0⁰, sino que queremos saber cuál es el valor del número 0⁰ (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a 0⁰?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación 0⁰, pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: x^x. Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

lim_x->0x^x = ” 0⁰ ” = A;

log A = lim_x->0log (x^x) = [Propiedad de los logaritmos] = lim_x->0x·log x = ” 0·(-infinito) “;

Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos x como 1/x al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital:

log A = lim_x->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = lim_x->0(1/x)/(-1/x²) = [Operamos] = lim_x->0(-x) = 0;

Por tanto log A = 0 –> A = 1

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

0⁰ = 1

Algo del estilo ocurre con 0!. Sabemos que n! = n·(n - 1)·(n - 2)·…·2·1. Pero, ¿qué pasa con 0!?. Pues muy sencillo: 0! = 1. Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento:

4! = 3!·4 –> 3! = 4!/4 = 6;
3! = 2!·3 –> 2! = 3!/3 = 2;
2! = 1!·2 –> 1! = 2!/2 = 1;
1! = 0!·1 –> 0! = 1!/1 = 1

Por tanto:

0! = 1

Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería decir. Os acosejo que leáis los comentarios que he hecho explicado un poco más estos dos temas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 26 de Septiembre de 2006 en Aprenda como, Demostraciones, Números enteros

58 comentarios

Trackback para este post

lafundacion - 24 de Noviembre de 2006 18:55

Fascinante. Me he quedado de piedra. Simple y rapida demostracion.
meneame.net - 24 de Noviembre de 2006 18:55

¿cuanto vale 0 elevado a 0? y 0!?

Fantasticas demostraciones de lo que siempre he pensado que eran indeterminaciones.
Zifra - 24 de Noviembre de 2006 18:56

Me vale la de 0!, pero la otra, uyuyuyuyuyuyuy….

¿Qué significa eso de “la función más lógica”? Esa frase repele mi alma matemática.
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 18:58

zifra cierto, esa frase igual queda algo coja. Lo que quería decir con lógica es que es la función más sencilla que podemos utilizar para este caso y en la que se ve más claramente que evaluando en cero obtenemos 0^0.

Más formalmente: lo que he hecho sería equivalente a extender de forma continua la función x^x. Como su límite cuando x->0 vale 1 podemos decir que 0^0 debe tomar valor 1 para que la función sea continua. ¿Te convence ahora?
Caminante - 24 de Noviembre de 2006 18:59

Sigo sin entender lo de la función más lógica. X^X no me parece una función representativa, porque por lo mismo podemos decir que X/X es una indeterminación (0/0), operamos y obtenemos 1. Ya está resuelto y en menos pasos. En realidad es lo mismo que dices tú: cualquier nº multiplicado por 0 es 0, y cualquier nº dividido por 0 es infinito…

El problema es que la X de arriba no siempre es igual que la X de abajo. Sería más exacto decir que coges la función X^Y (o Y^X) (en mi ejemplo X/Y). Claro, en ese caso la cosa se complica, pues tendríamos dos límites que no tienen por qué converger a la misma velocidad.

El razonamiento de 0! también me parece incorrecto. Dices
1!=1·0! –> 0!=1!/1 = 1
¿? ¿Cómorrrr? ¡¡¡Pero si no has definido 1! !!!
Al final tienes que parar en un punto, y por convenio es que 0!=1. Pero podría haber sido perfectísimamente que 2!=2, N!=N*N-1! para números >=2, y al igual que no existe factorial de negativos no permitirlo para el 1 o el 0. Es lo que tienen los convenios.

Lo que cuentas me parece igual a las demostraciones de 1=-1. Veamos: -1=sqrt(-1^2)=sqrt(1)=1
Se basa en una sutil trampa que engaña al principio.
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 18:59

Caminante voy por partes:

¿x^x no te parece una función representativa? Lee mi comentario anterior. En principio esa función no está definida en 0, pero podemos definirla y hacerla continua en cero dándole el valor del límite. Eso es lo que quería decir cuando afirmo que 0^0 = 1.

¿Que la x de arriba no es siempre igual que la x de abajo?. Son exactamente iguales si hablamos de límite cuando x->0.

Yo hablaba numéricamente. Con tu ejemplo pasa igual. En principio la función x/x no está definida en cero. Pero podemos coger una extensión continua de esa función que está definida en cero y cuyo valor en cero es 1 ya que su límite en cero es 1. Y sería algo parecido: numéricamente hablando 0/0 = 1 (muy importante eso de numéricamente).

¿Que no he definido 1!?. ¿Y qué es esto entonces?:

n! = n·(n - 1)·(n - 2)·…·2·1

Igual me ha faltado poner que esa definición es válida para n mayor o igual que 1, pero vamos, creo que es bastante intuitivo a partir de la definición. Con ese razonamiento quería hacer ver que el hecho de que por convenio se elija 0! = 1 tiene bastante sentido. Nada más.

Y sobre el ejemplo que tú pones, no lo veo comparable a lo que yo he comentado, ya que en tu ejemplo hay un fallo en el razonamiento que hay que descubrir (es evidente que debe haber un fallo ya que llegamos a un resultado falso a todas luces). Los casos que comento no van por esa línea.

Por otra parte te felicito por tu comentario. Con posts como este intento que la gente se coma la cabeza, que razone, que me critique y que me discuta si no está de acuerdo conmigo, y veo que lo consigo. De todas formas espero que mi explicación te convenza :).

Saludos
Caminante - 24 de Noviembre de 2006 19:00

Me alegro que no te lo tomaras a mal el comentarios. A ver. Te contesto rápidamente (lo siento, pero estoy en el curro).

El primer caso veo el fallo porque tratas solamente un caso muy particular. Si lo haces con un caso general (base y exponentes diferentes) entonces la cosa cambiaría mucho. Pero ¿si quieres demostrar 0^0=1 porqué quiero un caso general? Porque acabas usando límites y operaciones de simplificación (esa es la parte que me parece un poco trampa en la argumentación).

Hace poco leí un comentario de Asimov acerca de si chocara un cuerpo imparable contra un objeto inamovible. Venía a decir que es imposible porque si existe uno no existe otro por definición. Aquí pasa algo igual. Parece que intentas demostrar un error de definición matemático: algo elevado a 0 = 1, 0 elevado a algo = 0, ¡se contradice!. En ese caso estoy de acuerdo: está mal definido. Y no estoy en contra de tu resultado: buscamos la solución más lógica y lo redefinimos como a^0=1 para todo a y 0^a=0 si a!=0. Así habrás/habremos tomado una decisión bastante lógica pero arbitraria (la mejor entre dos opciones si lo prefieres).

Sobre el factorial. El factorial se define:
Fact(0)=1
Fact(1)=1
Fact(N)=N*N-1

Los dos primeros casos son básico, pero son ambos puntos de parada arbitrarios (en algún sitio habrá que deternerse).
Y evidentemente es que no queda otra con Fact(0), porque sería tonto definir Fact(n)=n*n-1*n-2*…*2*1*0

Te pido disculpas si había leido tu artículo pensando que intentabas darle un sentido más matemático que de sentido común.

Hasta luego
Caminante
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:01

A ver, voy a intentar explicarlo otra vez: puede que tal y como está escrito el artículo no se entienda bien, pero básicamente lo que yo quería hacer es extender x^x de manera continua al valor cero. El artículo está enfocado en orden inverso, por decirlo de alguna forma. Por eso lo de 0^0 = 1.

Quiero aclarar, por si alguien se ha liado: en límites, ya sean de sucesiones o de funciones, 0^0 es una indeterminación. Que quede claro. Con este artículo quería referirme al caso en el que pudiéramos encontraros 0^0 como número, y no como exponencial de funciones o sucesiones que tienden a cero simultáneamente. Espero que este quede claro.

El hecho de tomar “0^0 = 1″ numéricamente hablando no me parece para nada arbitrario, ya que lo que estamos haciendo es darle a x^x el valor 1 en x = 0, que es lo que vale su límite cuando x->0.

Sobre la definición de factorial: a mí no me lo definieron así. Me lo definieron como yo he puesto para n mayor o igual que 1 y me dijeron que 0! = 1 sin más explicaciones. No pretendía dar una demostración de este hecho con este post. Lo que pretendía era que la gente a la que se lo definieron igual que a mí comprenda por qué esa definición de 0! = 1. Que tiene sentido, que no es un valor arbitrario.
omalaled - 24 de Noviembre de 2006 19:02

Hola.

Quisiera intentar aportar mi granito de arena. Respecto a Caminante, lo de Asimov no es muy buen ejemplo. En un choque no existe el concepto de velocidad, pues la velocidad es la “derivada del espacio respecto del tiempo” y en ese punto, la función presenta un “quiebro”, o sea, un punto no derivable. Cosa que no quita argumentación a tu idea, pero quería dejar claro ese punto.

Respecto a lo del 0!, tengo otra idea y es hacer la binomial sobre 2. La binomial sobre 2 nos dice (por ejemplo), cuántos choques de mano hay en un grupo de n personas. Pues n sobre 2. 5 personas sería 5!/2!(5-2)!=10; pues 2 sobre 2 sería 2!/2!(2-2)!=1 El 1 lo conocemos positivamente, y de ahí debemos extraer que el denominador, el térmono (2-2)!=0!=1
Ro - 24 de Noviembre de 2006 19:02

Hola.

En mi opinión 0^0 no esta definido, no hay ningún número que sea igual a 0^0, de la misma forma que no hay nada que sea igual a 0/0. Cosa distinta es que determinadas funciones tomen ciertos valores cuando se acerquen al cero. Tu tomas la función x^x y efectivamente en el límite vale 1, Pero igualmente, por ejemplo, la función x^(1/ln(x)) toma el valor e cuando x tiende a 0+.
Tu función es más sencilla y de alguna forma es la función “natural” para lo que tu pretendes, pero de ahí a decir que el valor más coherente para 0^0 es 1, me parece que es dar un salto quizás demasiado grande.
Un saludo
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:03

Esa es la parte que puede que se haya interpretado peor. Al parecer lo que se entiende del post es que 0^0 = 1 siempre por el tema del límite. Yo no quería decir eso. Era algo así como: si en algún momento nos encontramos con 0^0 numérico tendríamos que darle el valor que se obtiene de extender de forma continua la función x^x para que todo funcionara bien, y ese valor es 1. Por eso he intentado aclarar que su en un límite nos encontramos 0^0 eso es indeterminado y tendríamos que usar algún método de cálculo de límites para saber su valor, no pudiendo por tanto darle a ciegas el valor 1.

Ya digo, probablemente haya equivocado el enfoque del post y debía haberlo escrito de otra forma, pero mi intención era la que he intentado explicar en los comentarios a raíz de vuestras críticas (constructivas todas por cierto).
0xC - 24 de Noviembre de 2006 19:04

Hola, excelente blog, los felicito, muy interesante.
yo les traigo un problema, se ve fácil, pero requiere de un nivel aceptable de matematicas.

Esta vez trata sobre ecuaciones diferenciales…

Encontrar la ecuacion diferencial que satisface la sigueinte ecuacion:

r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 –> donde r=k

Tips: Eliminacion de constantes arbitrarias….
Despejas constantes y derivas, despejas y derivas, etc….

Fácil ¿no?………
0xC - 24 de Noviembre de 2006 19:04

en mi comentario les deje un problema… Saludos..
Jorge - 24 de Noviembre de 2006 19:05

Lo de que 0!=1 de deduce de la combinatoria, binomio de Newton y triángulo de Pastal/Tartaglia. Además, 0! se puede interpretar como el producto de ningún factor, así que el resultado ha de ser el neutro del producto, es decir, 1 (de la misma forma que sumar ningún sumando da el neutro de la suma, el 0).

Sobre 0^0… me parece que nos estáis tomando el pelo a base de bien. Veamos. Sobre el cálculo del límite… no habéis considerado hacer el límite por la derecha o por la izquierda y ser si son iguales.

Pero lo peor de todo es la base de partida.

0^b = 0 siempre que b sea mayor de 0. Si b es 0 o menor de 0 entonces ya no sirve esa igualdad: por ejemplo, 0^(-1) = 1/0.

a^0 = a/a, es decir, una división, y todos sabemos que no se puede dividir por 0, así que a^0=1 si y sólo si a es distinto de 0.

Etcétera.

Ya que estáis con ello, ¿porqué no probáis a hayar el valor numérico de la raíz cuadrada de 4? Unos dicen que es +2, y otros que es -2. Pero es imposible que puedan ser dos valores distintos
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:06

Sobre lo del punto de partida: creo que queda claro lo que quería decir viendo la frase

En nuestra época de colegio nos dicen que…

Evidentemente eso no es cierto, sólo quería recalcar que eso es lo que nos dicen. Al menos a mí me lo dijeron así.

Sobre los límites laterales: vale, límite por la derecha solamente.

Y lo otro: Raíz cuadrada de 4 = 2.
Para obtener el -2 habría que escoger la menos raíz cuadrada de 4.

Saludos
nieves (abelgalois) - 24 de Noviembre de 2006 19:07

yo creo que lo de 0 elevado a 0 es así de fácil…si es 0 elevado a x , con x tendiendo a cero..entonces será 0…y si es x elevado a 0 con x tendiendo a cero ,entonces será 1.
y no os comáis más el coco..
Sois geniales y generáis mucha controversia… xxddd.
Un saludo neok y diamond

(lo había puesto fuera de post,perdón)
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:08

Gracias nieves.

Y no te preocupes por el comentario en otro lugar, no problem
raiz_de_5 - 24 de Noviembre de 2006 19:08

Está mal. No se puede definir en la aritmética un valor para 0^0, es decir, usando sólo números y operaciones básicas en un número finito de pasos. De hecho, sólo encontrarás ese símbolo en cálculos con funciones, y entonces se impone el uso de límites, si es que existen. La idea es que el símbolo 0^0 no puede nunca ser un número, de la misma forma que tampoco puede ser un número 0/0, o el infinito, como bien matiza RO. El motivo es que, precisamente, el límite de funciones de tipo 0^0 no siempre es el mismo, dependiendo de las funciones implicadas en el cálculo, lo que daría un conjunto de valores posibles para 0^0, que es contradictorio con la idea de número. Similarmente, 0/0 puede tomar cualquier valor finito o infinito, y por eso se dice que no puede ser un número porque realmente ¡son muchos números a la vez!.
Cuando asignas un valor númérico constante a 0^0, intuyo que introduces contradiciones no permitidas en las matemáticas.
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:09

Definitivamente equivoqué el enfoque del post ya que parece que no se me ha entendido.

Lo que quería decir básicamente era:

0^0 es una indeterminación, pero si tuviéramos que darle un valor numérico (es decir, si tuviéramos que extender de forma continua la función x^x), ¿cuál le daríamos?

Y le daríamos el valor 1, ya que es el valor del límite de x^x cuando x->0.

Y aunque lo he hecho ya varias veces lo vuelvo a recalcar: si al evaluar un límite nos encontramos con un 0^0 eso es una indeterminación.

Saludos
Ro - 24 de Noviembre de 2006 19:09

Sin ánimo de polemizar, yo creo que el asunto está mal “planteado” de partida. No tenemos que darle un valor numérico a 0^0, de hecho no podemos, tal cosa no existe. Lo de extender la función x^x de forma continua es otra cuestión.
Me “chirría” especialmente la frase “y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario”.
Acid - 24 de Noviembre de 2006 19:11

No me gusta el razonamiento:
Cuando se llega al paso
log A = 0 … no implica A = 1
Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

Te pongo otro ejemplo:
y = x^2
log y = 2*log x
¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
¿implica esto x = 1??
Hay que tener en cuenta que x=-1
también cumple la ecuación…
Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar.

Para mi, 0^0 simplemente no está definido. (así que es indefinido o indeterminado)

Cuando definimos la operación “elevado a” si la definimos en números naturales asumimos que n^m es multimplicar n por sí mismo m veces… pero no tiene sentido multiplicar un número por sí mismo 0 veces… Eso es un convenio cuando se extrapola, pero la extrapolación no vale cuando n es cero.
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:11

Ya he explicado en los comentarios que creo que me equivoqué al enfocar el tema y por tanto no se ha entendido bien lo que quería decir. Prefiero no volver a explicarlo para no repetirme.

Respecto a tu ejemplo: log y = 0 implica log x = 0, evidentemente. Y eso implica sin ningún género de dudas que x = 1, ya que el logaritmo está definido sólo para números reales positivos. Por tanto no cabe una solución negativa, ya que el logaritmo de un número negativo no existe.
Lorena - 24 de Noviembre de 2006 19:12

Mmmm… no existen?
karluyz - 24 de Noviembre de 2006 19:13

Digamos que lo que tratas de establecer, me queda clarisimo. No obstante entiendo, que para meterse en esas profundidades han de tenerse claros muchísimos conceptos y definiciones.
No se debe aseverar cosas que no hemos estudiado, como por ejemplo que los logaritmos de números negativos no existen.
Ejemplo: log(-2)=log(2)+πi
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:13

karluyz en todo momento estamos hablando de logaritmos de números reales. Si en el razonamiento estuvieran involucrados los números complejos lo habría dicho.

Y en esta situación el logaritmo de un número negativo no se puede hacer, al igual que el logaritmo de 0.
Indeterminado - 24 de Noviembre de 2006 19:14

¿Álguien me podría explicar cómo se aplica la Regla de l’Hôpital? En la Wikipedia pone unos ejemplos que creo que no se corresponden.

No veo lo siguiente:

log A = limx->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = limx->0(1/x)/(-1/x2) = [Operamos] = limx->0(-x) = 0;
^DiAmOnD^ - 24 de Noviembre de 2006 19:14

Indeterminado ¿cuál es exactamente el paso que no entiendes?
Pulpux - 24 de Noviembre de 2006 19:15

Para caminante:

Pusiste

Sobre el factorial. El factorial se define:
Fact(0)=1
Fact(1)=1
Fact(N)=N*N-1

y es

fact (n)= n * fact(n-1)

y lo que dijo diamond sería bastante lógico aunque la “verdadera” explicación la daría por el triangulo de tartaglia.

Continuando con la logica que dió Diamond:

dividiendo por n ambos miembros de la ecuacion fact (n)= n * fact(n-1)
nos queda
fact(n) /n = fact(n-1)

por lo tanto

Fact(1) / 1 = fact(0) = 1

Saludos a todos y me encantó este blog!!!
Francisco - 24 de Noviembre de 2006 19:16

¿¿¿¿¿¿¿
No me gusta el razonamiento:
Cuando se llega al paso
log A = 0 … no implica A = 1
Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

Te pongo otro ejemplo:
y = x^2
log y = 2*log x
¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
¿implica esto x = 1??
Hay que tener en cuenta que x=-1
también cumple la ecuación…
Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar. ??????????

uno: el logaritmo de x.. no tiende a menos infinito cuando x tiende a cero??
que sentido tiene calcular el logaritmo de cero?
el logaritmo de un numero a devuelve el numero al cual debe ser “elevada” la base del logarito para obtener a. sin importer la base, èsta tendria que e evarse solo a menos infinito para que sea cero..
y la base.. sea 10 o e.. solo elevada a 0 da 1!!!!
( lo que significa que sólo el log(1)=0 => si log(a)=0 -> a=1)

dos: logaritmo de -1?? real??? el logaritmo de -1 es pi*i, siendo i, la unidad imaginaria o raiz cuadrada de menos uno, la forma euleriana de un complejo.
siendo asi, 2*log(-1) jamas podria ser cero.. solo es un valor imaginario..

tres: las matematicas, el calculo y el algebra son absolutos.. NO DEPENDEN DEL MATEMATICO.. para mi y parab ti.. tiene que ser lo mismo..no se puede interpretar distinto.. solo es… se sabe o no se sabe.. nada mas.. ( no es por aparentar saber.. pero asi es la cuestion.. la intuicion suele llevar a error.. sobre todo a un niver mas alto.. se puede demostrar con un solo ejemplo que algo es falso.. pero puedes demorarte una vida tratando de demostrar algo que crees vedadero..)

PARA EL PROBLEMA DE 0 A LA 0————
para el caso dado.. el limite de x a la x tiende a uno.. pero hay muchas maneras de acercarse a cero elevado a cero.. y no todas tienden a uno.. si su pudiera demostrar que todas la formas de acercarse tiendan a uno cuando x tienda a cero, tendras tu respuesta. pero sin embargo.. si tomo lA siguiente funcion: x^(x^(-2), que tambien tiende a cero elevado a cero cuando x tinde a cero.. y le aplico el limite (cuando x tiende a cero).. y se obtiene nada mas que.. cero (distinto a uno)
entonces.. se puede decir que cero a la cero depende de la forme en que te acerques al valor cero.. por lo tanto NO podemos decir que valga 1… entonces..nos queda un valor indeterminado…

PARA EL CASO DE O!—
es una demostracion que puede hacerse mediante la funcion gama, tomando en cuenta que gama(x)=(x-1)!
lo dejo propueso por si alguien se anima..
gama(x)= la integral de cero a infinito de (u^(x-1)*e(-u)*du)
alex - 20 de Diciembre de 2006 12:10

¿cual seria la funcion represntativa de e^x??
Naka Cristo - 20 de Diciembre de 2006 16:05

x^(x^(-2)) tiende a 1 cuando x tiende a 0. (Por lo menos según Maple)
^DiAmOnD^ - 20 de Diciembre de 2006 23:42

Pues me da que Maple se equivoca…

Pronto hablaremos de programas informáticos
Naka Cristo - 21 de Diciembre de 2006 9:27

Sí, he debido decirle antes algo mal.
^DiAmOnD^ - 21 de Diciembre de 2006 11:15

Igual lo que escribiste en el programa fue (x^x)^(-2)
Nauar - 5 de Enero de 2007 11:06

Hola a todos, a mí me sale una contradicción:

dado que 0^0 = 1
y que 0^0 = 0^2*0^(-2) y 0^2 = 0 y 0^(-2) = 0

Tenemos que:

1 = 0^0 = (0^2)*(0^(-2)) = 0 * 0 = 0 => 1=0??

Agradecería que alguien me lo pudiera explicar.
^DiAmOnD^ - 5 de Enero de 2007 16:02

Nauar echa un ojo a todos los comentarios y verás que la intención del post no era decir que 0^0=1 siempre, sino que si tuviéramos que definir la función x^x para que fuera continua en cero deberíamos darle el valor 1, ya que su límite cuando x tiende a 0 por la derecha vale 1. En principio 0^0 es indeterminado, el límite de una función que tiende a 0^0 puede valer cualquier cosa.

Por otra parte en tu razonamiento tienes un error: 0^(-2) no es cero, ya que es 1/0^(2), que tiende a infinito. Por tanto obtendrías 0*infinito, lo cual también es indeterminación.
NuezMoscada - 18 de Enero de 2007 17:03

En teoría de conjuntos se define la exponenciación de números naturales del siguiente modo:
n^m es el número de funciones que puedes definir de m en n.
eso da de forma inequívoca que 0^0=1 COMO NÚMEROS, como límites es otro asunto.
Chimpún.
Tiresias - 13 de Marzo de 2007 11:51

NuezMoscada… si 0 es el conjunto vacío ¿cómo defines una función del vacío en sí mismo? Esa definición no arregla el problema… piensalo…
jxe - 8 de Marzo de 2008 23:57

esto es muy complicado sin embargo en potencias todos saben que cero es 1, y el exponente es el cero(º) siempre va ser 1 en tonces 0º es = que 1 elevado a 1 no?

0º = 1º= 1
si me resolicion de este problema es correta contacteme porfavor !!!
gracias
jose ignacio
peter - 25 de Marzo de 2008 22:36

la demostración de que 0^0 es uno es mucho más simple a mi parecer. un número dividido entre sí mismo es 1 siempre no? es decir que, por ejemplo: 0^3 : 0^3= 1

Y por otra parte, por propiedades de potencias:
0^3 : 0^3 = 0^3-3 = 0^0, y como hemos visto antes, es igual a 1

saludos y gracias! si ven alguna contradicción no duden en contestar!
Omar-P - 25 de Marzo de 2008 23:54

No se puede dividir por cero.
Enrique - 26 de Marzo de 2008 15:17

Me parece mejor demostrar que 0! = 1 usando la función Gamma. Simplemente calculariamos Gamma de uno.
GABRIEL DAVID MONTENEGRO G - 27 de Marzo de 2008 0:14

PARA RESPONDER 0^0 ES INDETERMINADO

Como la potenciacion es una operacion, en particular, para cada par de numeros existe uno y un solo un resultado:

sea X un # real tenemos:

propiedad 1 0^0=0
propiedad 2 X^0=1

luego es una contradicion para la definicion de operacion en numeros reales. esto significa Indeterminado.

ayudado por una amiga de puertas de sol Suba, gracias

GABRIEL DAVID MONTENEGRO G - F.U.S.M.
ING. SISTEMAS
WAA - 7 de Mayo de 2008 2:29

Hola,

No olvideis que el “0″ aunque es maravilloso, es una cifra inicialmente inventada por los antiguos solo para poder representar potencias de 10 y no para representar “la nada” o la “separación” entre la recta real en sus parte negativa y positiva, y por lo tanto no es una cantidad como tal lo son los demás números, por ello fallarán en rigor algunas leyes aplicables a los demás números reales.
Es mejor no asegurar nada de cero a la cero, por medio de funciones. Imaginence que el cero puede existir en cualquier intervalo abierto o cerrado de la recta real si se interpreta como “la nada”
Marcos - 7 de Mayo de 2008 14:01

Recuerdo una discusión de hace un tiempo en la lista Snark, sobre si el cero era un número o no.

El cero es un número como cualquier otro (además es mi número favorito); no entiendo por qué hay necesidad de asignarlo a conceptos totalmente distintos de los números como “la nada”. El cero es simplemente la cantidad de elementos del conjunto vacío, o la cantidad de cosas en “la nada”.
Sive - 8 de Mayo de 2008 8:46

La demostración de $0^0$ no me satisface, es arbitraria como alguien a apuntado por ahí. Sin embargo si me satisface el resultado, es decir $0^0=1$ .

Me satisface el resultado porque es coherente con la aritmética, por ejemplo:

$(a+b)^2 = a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2$

Si ahora hacemos b=0, tenemos según el primer término de la igualdad:

$(a+0)^2 = a^2$

Y según el segundo:

$a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2 = a^20^0 + 2a^10^1 + a^00^2$

Lo cual da como resultado $a^2$ si y solo si $0^0=1$ .
Sive - 8 de Mayo de 2008 9:42

También me gusta el razonamiento de NuezMoscada…
Anton - 14 de Mayo de 2008 20:47

NO ESTOY DE ACUERDO.

No puedes hallar el valor de 0^0 a través de x^x de la misma forma que no puedes hallar el valor de 0 / 0 como x/x. Lo que aquí tenemos no es una función (ya sé que lo has puesto con negritas, lo triste es que hayas caído dos líneas más abajo).

La única razón por la que los números elevados a cero dan 1 es: 2^0 =2^(3-3)= 2^3 / 2^3 = 1

He usado el 3 para los exponentes como podria haber usado otro.

La diferencia entre el dos y el cero es que al hacer eso te queda un cero en el deminador. Lo cual no existe, no es ni siquiera un número imaginario o algo así. Simplemente, no existe.

En cuanto al factorial de 0, prefiero ir a la definición, que es lo único realmente conocido:

n! = n·(n - 1)·(n - 2)

donde n=0, quedaría

0! = 0

Sólo una cosa más. No es que te hayas explicado con poca claridad, es que yo estoy en absoluto desacuerdo. Saludos.
Anton - 14 de Mayo de 2008 20:54

Como indica la wikipedia: “Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.”

Es una cuestión de comodidad. Un convenio.
Winted - 14 de Mayo de 2008 21:15

Respecto a 0^0 me parece tan simple como que se ha malentendido la proposición. Se refiere a la igualdad hablando de límites, que se especifica. Creo que ha armado un poco de alboroto innecesariamente. Y respecto al facotiral, con indicar que es por convenio, como se ha hecho, queda suficientemente claro, cosa que en mi opinion no tiene sentido mas que para esta demostración, pero bueno. No veo mas problema en esto. No sé qué opinarán ustedes.
Sive - 15 de Mayo de 2008 10:54

Ambos resultados son convenciones. El de 0! está muy aceptado, y el de 0^0 no tanto, pero también.

Pero no basta con decir que se toman tales o cuales valores por conveniencia. Hay que argumentar dicha conveniencia.

Por ejemplo, en el caso de 0^0 hay dos opciones:

1) La fórmula del binomio de Newton no es válida cuando alguno de los sumandos es cero. Lo cual nos obligaría a acordarnos de estudiar este caso especial en algunos desarrollos.

2) Definimos 0^0=1 y Santas Pascuas.

En el caso de 0! también se puede usar la fórmula del binomio de Newton como argumento. Hay dos posibilidades:

1) La fórmula del binomio de Newton no sirve para calcular los coeficientes primero y último que son 1 por definición (aparecen factoriales de cero tambien en estos casos).

2) Definimos 0!=1 y Santas Pascuas.
Sive - 15 de Mayo de 2008 11:22

Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para demostrar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?
Sive - 15 de Mayo de 2008 11:23

Quise poner (en negrita la errata):

Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para argumentar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?
Omar-P - 15 de Mayo de 2008 12:22

Todo número elevado a la cero es 1.
Winted - 15 de Mayo de 2008 17:17

Cero no siempre simboliza un número.
Omar-P - 15 de Mayo de 2008 17:36

¿Y que simboliza entonces?
Hector - 24 de Mayo de 2008 23:23

yo pense que era indeterminacion!
Andres Fielbaum - 7 de Julio de 2008 2:07

respecto a la discusion del n!, me parece que si es mas natural definirlo como 1. por que?
porque uno puede definir n!=pitatoria_{k=1}^n(k)
lo cual, para n=0, significa no multiplicar ningun numero, y en ese caso, lo mas usual suele ser adoptar el neutro multiplicativo, i.e., 1, al igual que se hace con la suma, que usualmente se asume como cero…

de todos modos, por supuesto que sigue siendo, como siempre, una convencion, pero asi se ve menos arbitraria

respecto a lo de 0^0, no estoy de acuerdo con eso de la “funcion mas natural”, pues uno puede tomarse infinidad de funciones… es cierto que esa quiza sea la primera que a uno se le ocurre, pero eso no significa nada… de hecho, con la convencion mas usual 0*infinito=0, puede sonar mas razonable 0^0=0, pero sigue siendo solo tomando casos particulares.

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¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

00 = 1

0! = 1

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