Lo puedes hacer tomando logaritmos y luego derivando..

f(x) = x^x

log(f(x)) = log (x^x) = x log(x)

y ahora derivas.. (a la izquierda regla de la cadena, a la derecha regla del producto)

(1/f(x)) * f`(x) = log(x) + x*(1/x)

f`(x)/f(x) = log(x) + 1

y despejas f`(x)

f`(x) = f(x) * (log(x) + 1) = x^x * (log(x) + 1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x

y(x) = f(x)^g(x)

podemos tomar logaritmos, con objeto de transformar la potencia en un producto:

Ln(y(x)) = Ln(f(x)^g(x)) = g(x)*Ln(f(x))

Ahora podemos derivar esta expresión:

(Ln(y(x)))’ = (1/y(x))y’(x) = g’(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f’(x) ==>

y’(x) = y(x)(g’(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f’(x))

y’(x) = f(x)^g(x)(g’(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f’(x))

En la práctica es más fácil. Por ejemplo, para y(x) = x^x,

Ln(y(x)) = Ln(x^x) = x*Ln(x)

Derivando,

y’(x)/y(x) = Ln(x) + x*1/x = 1 + ln(x)

y’(x) = y(x)(1 + ln(x)) = x^x(1 + ln(x))

Si te quedan dudas, pregunta de nuevo.

He notado que algunos de los comentaristas están expresando que el número cero elevado a cualquier cosa (excepto él mismo) da como resultado cero. Esta regla solamente se aplica exponentes positivos. Si elevamos cero a un exponente negativo el resultado sería el recíproco de este, el cual no está definido o simplemente no existe. Si lo hacemos con un exponente imaginario (0^i) no obtendríamos algo conocido, porque no existe un convenio entre matemáticos ni una demostración, ni siquiera una definición aceptada sobre el tema.

En el caso del cero como exponente, sí. Si elevamos cualquier número real, imaginario o complejo a cero (se debate aquí lo del cero como base) obtendríamos uno. El uno como base elevado a cualquier cosa sea número, infinitud o indeterminación comoquiera resulta en uno.

Algunos confunden algo indefinido (1/0) con algo indeterminado (0/0). Lo que nombramos como infinito o indefinido es aquello que no tiene fin. Es, por tanto, lo que no puede existir, a diferencia de cero que es la ausencia de algo en un contexto dado. Lo indeterminado puede ser cualquier cosa que escogiéramos para la solución de algo sin caer en una contradicción. Por ejemplo, la ecuación x+1=x+2 es indefinida, ya que cualquier valor que le pongamos a la variable x crearía una desigualdad, mientras que la ecuación x=x sería indeterminada, porque cualquier valor que le asignemos haría de esta una igualdad. En geometría una recta representa la indeterminación y dos rectas paralelas la indefinición.

En cuanto a si 0^0 es igual a uno, vamos a ver lo siguiente. Si hacemos una gráfica de y=1 obtendríamos una recta horizontal que intercepta el eje de y en el uno, pero si hacemos una gráfica de y=0^0 tendríamos el eje de y. Lo único que tienen ambas en común es el punto (0,1).

Sin embargo, según tú, 0^2=0^3*0^-1=0*(1/0) haría también inevaluable a 0^2.

De esta otra expresión 0^2=0^2*0^0=0^(2+0)=0^2 concluímos la utilidad del convenio para que se mantengan las igualdades.

El polémico (en esta entrada del blog, al menos) convenio representa muchas ventajas y pocos inconvenientes.

Aceptemos que el 0, como número, lleva implícito un singular comportamiento al ser el único número que representa “nada” cuyo inverso es “especial”.

Aun teniendo que tratarlos con especiales mimos creo que el cero y el infinito son los aportes más valiosos al desarrollo de las matemáticas.

Si has ojeado los doscientos cuarenta y tantos comentarios (hay que ver cuánta polémica), en alguno se explica bien que no se puede demostrar, es un convenio que 0^0 vale 1, pero un convenio conveniente. Se puede argumentar lo conveniente que es, con el número de aplicaciones del conjunto vacío en sí mismo, o con lo de que a^b = 1 x a x a x .. x a, el producto de “a” está “b” veces.

Y como argumento geométrico que buscas, vale el enunciado del hilo. Prueba a dibujar la gráfica de la función x^x por ejemplo en http://fooplot.com/. Te puede servir como “argumento geométrico” de que para x=0 el valor conveniente es 1.

Seguramente esta convención toca la fibra axiomática de la teoría de números. El origen del número 0 data del siglo III a.C, y es un número básicamente antiintuitivo, porque no expresa positividad, ni negatividad, aunque puede ser definido como el resultado de la suma de su opuesto.

Filosoficamente hablando parece que encontramos una frontera intelectual al pensar que cero elevado a cero pueda dar origen a 1, como si la nada al emerger de su reposo no pudiera dar origen a la multiplicidad.

Desde un punto de vista matemático (que no demostrativo…pues no tengo el conocimiento suficiente para ello), el problema pienso que radica en tratar de aplicar propiedades de cierto campo de la matemática al emparejarlo con operadores que pueden desvirtuar su carácter primordial. Realizar operaciones como límites (y entiendo lo que quiere decir “gaussiano”) al sembrar este dilema, pueden llevar a agregar suposiciones que aún no siendo falsas, tampoco tienen por qué ser verdaderas.

En todo caso, parece lícito pensar por lógica formal que 0 elevado a 0 pueda ser 1. Algebraicamente no parece ninguna tontería. A ver si alguien puede darnos una explicación de este tipo con más detalle.

Lo bueno además sería que algún matemático aportara una demostración geométrica de este dilema (esto sería ya la repanocha…jeje)

Un abrazo cordial a todos los participantes.

En el libro ‘Concrete Mathematics’ de R. Graham, D. Knuth y O. Patashnik, se dedica un párrafo al asunto, al que se llega fácilmente por la primera entrada del índice (¿o habría que decir la 0-ésima entrada del índice …):

“Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions x^0 and 0^x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define

x^0 = 1, for all x,

if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = – y. The theorem is too important to be arbitrarily restricted!. By contrast, the function 0^x is quite important. (See [220] for further discussion.)”

Es decir, más o menos:
Algunos libros de texto d3ejan la cantidad 0^0 indefinida, porque las funciones x^0 y 0`x tienen diferentes valores límites cuando x decrece hasta 0. Pero esto es un error. Debemos definir

x^0 = 1, para todo x,

si el teorema del binomio ha de ser válido cuando x = 0, y = 0, y/o x = -y. !El teorema es demasiado importante para ser arbitrariamente restringido!. Por contraste, la función 0^x es poco importante (Ver [220] para discusión adicional).

(previamente habla del teorma del binomio con la notación (x + y)^n)

La cita es:

[220] Donald E. Knuth, “Two notes on notation,” American mathematical Monthly 99 (1992), 403-422.

En cuanto a 0! = 1, es una convención extraordinariamente conveniente, diriamos que casi obligada. Extendoindo la relación de recurrencia todo lo que da de si,

n! = n(n – 1)!

…

2! = 2*1! ===> 1! = 2!/2 = 1

1! = 1*0! ===> 0! = 1!/1 = 1

0! = 0*(-1)! ===> No podemos calcular así (-1)!, pues deberíamos dividir por 0:

(-1)! = 0!/0

pero de hecho, el factorial es la restricción a los enteros no negativos de la función Gamma de Euler, que tiene singualridades aisladas en cero y los enteros negativo, mientras que para los positivos es Gamma(n) = (n – 1)!.