¿Es más trascendente la cantidad de números algebraicos?

Hablábamos el pasado miércoles sobre la curiosa sucesión Look-and-say y la constante de Conway, número que surgía como límite de los cocientes entre las cantidades de cifras de cada elemento de la sucesión entre el elemento anterior. Esta constante de Conway era la siguiente:

$\lambda = 1.30357726 \ldots$

y muchos decimales más sin ningún patrón. Vamos, que este número $\lambda$ es irracional.

En este mismo post comentábamos que $\lambda$ también era, sorprendentemente, un número algebraico. ¿Sorprendentemente? ¿Por qué?

Recordemos que un número algebraico es un número (en general, complejo) que es solución de algún polinomio cuyos coeficientes son números enteros. Los números para los cuales no existe tal polinomio se denominan números trascendentes.

Si le explicáis a alguien todo esto (si puede ser con ciertos conocimientos matemáticos, más que nada para que sepa usar con suficiente soltura los polinomios y las soluciones de los mismos), probad ahora a comprobar si lo ha entendido:

Profesor: A ver si lo has entendido. Dime un número que sea algebraico.

Alumno: Pues…cualquier número entero vale, ¿no? Si $k \in \mathbb{Z}$ entonces la ecuación polinómica $x-k=0$ tiene coeficientes enteros y a $k$ como solución.

P: Sí, y en general todos los racionales sirven, ya que si todo número racional $m/n$ es solución de la ecuación polinómica $nx-m=0$ , que, evidentemente, tiene coeficientes enteros.

Bien, dime otro.

A: Pues…no sé…¡ah, sí! $\sqrt{2}$ , ya que es solución de la ecuación polinómica $x^2-2=0$ …Y muchos más: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots$ , vamos, $\sqrt{n}$ , si $n \in \mathbb{N}$ no es un cuadrado perfecto (si lo es ya está incluido en los naturales) también es algebraico.

P: ¡Exacto! Pero hay muchísimos más:

El número de oro: $\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (solución de $x^2-x-1=0$ ).

La unidad imaginaria $i$ (solución de $x^2+1=0$ ).

El propio $\lambda = 1.30357726 \ldots$ (solución de…bueno, de la ecuación polinómica de grado 71 que aparece en el post enlazado al principio de éste).

…

A: Sí, muchísimos.

Esta parte de la supuesta conversación entre vosotros (profesor) y la persona a quien le habéis contado este tema (alumno) podría ser más o menos como habéis leído. Vamos a suponer ahora que en realidad vuestro alumno tiene conocimientos de matemáticas algo más avanzados y sigamos conversando:

P: Bien, dime ahora un número trascendente.

A: Fácil: $\pi$ .

P: Cierto, el número $\pi$ es trascendente. No existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga a $\pi$ entre sus soluciones. Dime otro.

A: Esto…pues…ah, sí, el número $e$ .

P: Exacto, el número $e$ también es trascendente. Llevamos dos. Dime uno más.

A: Uhmmmm…otro número trascendente más…pues…no se me ocurre ninguno ahora, pero debe haber más…

P: Pues sí, claro que hay más. Y si leyeras Gaussianos más a menudo sabrías alguno más:

El número de Liouville: $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$

El número de Champernowne: $0,123456789101112131415 \ldots$

El número de Hilbert: $2^{\sqrt{2}}$

Y algunos más que aparecen en este post.

Pero tengo que confesarte que en cierto modo no es raro que no conocieras ninguno más, ya que no es fácil encontrarlos.

A: ¿No? Pero también hay muchos, ¿verdad?

P: Claro que hay muchos, pero es complicado demostrar que un cierto número es trascendente.

A: Vale, supongo que sera porque entre tanto algebraico los trascendente escasean, ¿no?

P: Pues…no, ni muchísimo menos. Y te lo voy a demostrar.

Eso es lo que vamos a hacer después de esta conversación ficticia (aunque, bajo mi punto de vista, ciertamente plausible): demostrar que los números trascendentes no escasean, ni mucho menos. De hecho vamos a demostrar lo siguiente:

Hay más números trascendentes que números algebraicos

hecho que, por otra parte, puede ser muy chocante para los no iniciados.

Georg Cantor De todas formas, la demostración de este resultado es bien sencilla. Entre los números reales hay tanto números algebraicos como números trascendentes. Y además sabemos que este conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales es no numerable, es decir, no puedo enumerar sus elementos (siempre que intente enumerarlos resultará que me he dejado alguno por el camino). El primero en observar este hecho fue Georg Cantor). Y, bueno, aunque creo que no hace falta decirlo lo hago: un conjunto no numerable tiene más elementos que cualquier conjunto numerable.

Por otra parte, hemos dicho que un número es algebraico si es solución de un polinomio de coeficientes enteros. Bien, pero el conjunto de los enteros es infinito-numerable (infinito, sí, pero puedo enumerar sus elementos), y el conjunto de los polinomios cuyos coeficientes están dentro de un conjunto numerable también es numerable. Como el número de soluciones de un polinomio es también numerable, al combinar todo esto obtenemos que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

O sea, que tenemos que los números reales algebraicos, que es un subconjunto de los números reales, es un conjunto numerable. Pero $\mathbb{R}$ no lo es. Por tanto, lo que quede en los reales al quitar los algebraicos es no numerable. ¿Qué es lo que queda? Los números reales trascendentes.

¿Qué significa todo esto? Pues lo que habíamos dicho: que hay muchísimos más números trascendentes que algebraicos. Por eso puede resultar tan extraño que cueste tanto encontrar un número trascendente. Y por eso es tan sorprendente que un número que aparece de la forma que apareció el $\lambda$ del que hablamos en el post anterior sea algebraico…

…¿o no es tan sorprendente?

13 comentarios

MrValenz | 13 de June de 2011 | 08:23

Me encantó el post, y creo que efectivamente, a la mayoría nos sorprende cuando recién nos enteramos de este hecho.
Tito Eliatron | 13 de June de 2011 | 09:45

Teniendo en cuenta que los racionales son DENSOS y éstos son un subconjunto de los algebraicos… resulta que el ocnujunto de números algebraicos es DENSO en $\mathbb{R}$ . con lo que, realmente, es un conjunto muy grande (el algún sentido de esta palabra.
mimetist | 13 de June de 2011 | 12:49

Interesante, sí señor… pero la duda me corroe, ¿porqué resulta tan sumamente difícil demostrar que un determinado número es trascendente?

Por cierto, me ha encantado el post, la conversación profesor-alumno me ha recordado al estilo de George Polya en How To Solve It.

Saludos!!
vayapordios | 13 de June de 2011 | 12:56

Puede ser por la propia definición de trascendente, que es básicamente de “no existencia”, lo más difícil de demostrar normalmente. Se trata de descartar que algo no pertenece a un conjunto enorme y cuyos elementos tienen las propiedades más variadas.
jjagmath | 13 de June de 2011 | 15:40

No es tan dificil como se hace parecer en el artículo encontrar más números trascendentes. Una vez que uno prueba, por ejemplo, que $\pi$ es trascendente, es muy fácil probar (incluso trivial por comparación) que los números $r \pi$ para cualquier racional r distinto de 0, $r + \pi$ para cualquier racional r, y $\pi^n$ para cualquier entero positivo n, son todos trascendentes.
Samuel | 13 de June de 2011 | 16:54

Idéntica demostración nos hizo en clase Javier Cilleruelo, una vez la ves [i]cae de cajón[/i].
Otro gran post, ^DiAmOnD^
Trackback | 13 Jun, 2011

Bitacoras.com
gaussianos | 13 de June de 2011 | 18:58

jjagmath, sí, vale, pero, por decirlo de alguna forma, no son números trascendentes esencialmente distintos de $\pi$ . De hecho hay número reales relacionados con $\pi$ de los cuales no se sabe sin son trascendentes. Por ejemplo, $\pi^e$ .

Samuel, sí, es que es una demostración sencilla, y perfectamente comprensible .
josejuan | 13 de June de 2011 | 21:59

Preciosa entrada, sencilla, pero profunda.
Rama Nujan | 13 de June de 2011 | 23:18

Dos cosas:

1) Una forma más correcta de decirlo es que el conjunto de los números reales no transcendentes tiene medida cero. Es decir, de forma simple, virtualmente todos los números reales son transcendentes, el conjunto de los que no lo son (algebraicos, etc) no mide nada en comparación.

2) No es *nada* dificil encontrar números transcendentes. Por ejemplo, todos los logaritmos de números algebraicos (excepto el de 1) son transcendentes, todos los senos, cosenos, y tangentes (excepto de 0 y ciertos múltiplos de Pi), etc. Lo que sí es dificil es demostrar que constantes concretas son transcendentes, tales como e o Pi, que si esta demostrado, o gamma, la constante de Euler-Mascheroni, que no esta demostrado que lo sea aunque todos los entendidos creen que sí que lo es.

Saludos.
josejuan | 14 de June de 2011 | 08:34

Rama Nujan, muy interesantes los comentarios.

No obstante, por (1), el número de números trascendentes que estás encontrando en (2) tiene medida 0, por tanto, estás encontrando muy poca cosa de los trascendentes.

Es decir, para mí, la conclusión más interesante del post es, que se conoce muy poco de los números (trascendentes en este caso), probablemente debido a la forma en la que las matemáticas están construidas, que hace que para llegar a ellos se siga un camino largo.

Yo lo veo similar a lo que pasa con la distribución de los números primos o las partes de N (formalizada, creo, hace poco por Young et al), que seguro hay nuevas formas de verlos que te dan una visión más clara de ellos.
Rama Nujan | 15 de June de 2011 | 00:57

.
Gracias por tu comentario al mio, josejuan.

Dos cosas:

si, nadie puede encontrar mucha cosa de los transcendentes, la idea que queria dar es que no solo los multiplos de Pi y de E y otras combinaciones de unos cuantos números certificadamente transcendentes resultan en nuevos transcendentes, tambien funciones tan básicas como logaritmos, exponenciales, y trigonométricas proporcionan infinitos números transcendentes, concretamente para todos sus argumentos algebraicos (excepto para valores muy concretos como 0 ó 1, etc).

En todo caso, si bien “hay más” transcendentes que algebraicos, esa no es la última clasificación posible, queda la clasificación de los transcendentes en “computables” y “no computables” y como puedes suponer el conjunto de números transcendentes computables tiene medida cero en comparación con el de los transcendentes no computables.

En pocas palabras, que los transcendentes no computables son el 100% de los números reales que existen, y los transcendentes computables, algebraicos, racionales, y naturales son el 0% restante. XD

Lo triste es que jamás conoceremos en detalle ni un solo de esos infinitos y omnipresentes números transcendentes no computables, tendremos que conformarnos con Pi y sus colegas. Es decir, salvo que los futuros ordenadores cuánticos sean capaces de computar lo no computable …

Saludos.
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josejuan | 15 de June de 2011 | 08:27

El hecho de que sea computable o no, únicamente aporta información sobre las limitaciones de la definición formal de máquina de turing, no sobre los números algebráicos.

Es decir, yo (que soy así de chulo), puedo obtener todos los números trascendentales no computables (es decir, los “pata negra”) que quiera, ¡sólo con un compás!.

¿Cómo?