1=2 (y un bonus logarítmico)

En matemáticas es muy peligroso trabajar con lo que yo llamo el piloto automático, es decir, trabajar de forma mecánica sin pensar si los pasos que estamos siguiendo son correctos, hacer un ejercicio siguiendo el mismo camino que se siguió en otros ejercicios similares sin tener en cuenta si el ejercicio en cuestión tiene alguna particularidad que lo hace esencialmente distinto a los que estamos usando de base.

Y es muy peligroso porque nos hace cometer errores. Y lo peor es que son errores de los que no nos damos cuenta, por lo que no tenemos posibilidad de rectificar. En este artículo voy a poner un par de ejemplos de situaciones típicas en las que puede ocurrirnos esto.

La raíz cuadrada y 1=2

Existen muchas demostraciones de que 1=2, todas, evidentemente, con algún error. Seguro que muchos de vosotros habéis tenido ocasión de encontraros con alguna de ellas. En ciertos casos el error es fácil de ver, pero en otros está tan escondido que es muy complicado detectarlo. Posiblemente ésta sea la situación que se da en esta demostración de que 2=1 que publiqué hace ya algún tiempo. Vamos a ver otra:

\begin{matrix} 1-3=4-6 \\ \mbox{Sumamos 9/4 a ambos lados:} \\ 1-3+\cfrac{9}{4}=4-6+\cfrac{9}{4} \\ \mbox{Expresamos ahora cada miembro como el cuadrado de un binomio:} \\ \left (1- \cfrac{3}{2} \right )^2=\left (2-\cfrac{3}{2} \right )^2 \\ \mbox{Aplicamos ra} \acute{\imath} \mbox{z cuadrada a ambos lados:} \\ 1-\cfrac{3}{2}=2-\cfrac{3}{2} \\ \mbox{Por tanto:} \\ 1=2 \end{matrix}

Bien, ¿dónde está el fallo? Para algunos estará muy claro, pero es más difícil verlo que en otras demostraciones parecidas a ésta. El fallo se encuentra en el paso en el que aplicamos raíz cuadrada a ambos lados. ¿Por qué? Muy sencillo:

Como 3^2=9, entonces \sqrt{9}=3. Y como 7^2=49, entonces \sqrt{49}=7. De aquí podríamos concluir que \sqrt{x^2}=x, ¿verdad?

Pero también ocurre que (-3)^2=9, pero \sqrt{9} \ne -3.

¿Cuál es el problema? Muy fácil: que \sqrt{x^2}=|x|.

Es decir, que si al tomar raíz cuadrada en un miembro de la igualdad nos aparece un número negativo debemos cambiarle el signo para convertirlo en positivo, vamos, tomar su valor absoluto. Y precisamente esto es lo que ocurre en la demostración anterior, ya que 1-\textstyle{\frac{3}{2}} es negativo, por lo que debemos multiplicarlo por -1, quedando entonces

\begin{matrix} \cfrac{3}{2}-1=2-\cfrac{3}{2} \\ \mbox{De donde:} \\ \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

que sí es correcto.

A mí me parece un buen ejercicio para trabajar con los alumnos que se inician con los radicales, más que nada para evitar que esos fallos se produzcan mucho más adelante en su vida académica, que por desgracia es lo que termina ocurriendo.


Eduardo me dio la idea para este artículo a través de un mail. Y Tito Eliatron también quiso hacer hincapié en este curioso e interesante error.


Bonus logarítmico

El error en el que se incurre en la situación anterior es el olvido del valor absoluto. Este olvido no es ni mucho menos exclusivo de las raíces cuadradas. De hecho es un error muy común (yo diría que demasiado). Os voy a poner otro ejemplo en el que he visto que ocurre mucho:

Sabemos que la derivada de \log{(x)} es \frac{1}{x}. Y también sabemos que la integral es el proceso inverso de la derivada. Por tanto:

\displaystyle{\int \cfrac{1}{x} \; dx=\log{(x)}+C}

¿Esto es cierto? Sí…pero no. Probemos con una integral definida:

\displaystyle{\int_{-3}^{-2} \cfrac{1}{x} \; dx=\left. \log{(x)} \right ]_{-3}^{-2}=\log{(-2)}-\log{(-3)}}

¿Ein? El logaritmo de un número negativo no existe…Pero la integral está bien hecha…¿o no?

En realidad no, ya que:

\displaystyle{\int \cfrac{1}{x} \; dx=\log{|x|}+C}

El olvido de ese valor absoluto en una integral indefinida no es tan importante a efectos del resultado, pero en una integral definida puede ser fatal. Como los alumnos comienzan a trabajar con integrales indefinidas hay que asegurarse de que los quede claro que ese valor absoluto es obligatorio para que no se les olvide más adelante.


¿Qué otros ejemplos parecidos a estos conocéis?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. El error en el problema de 1=2 sí es por lo que mencionas pero haz hecho algo mal, debes sumar a lado y lado 9/4 no restar, o sino no se podría factorizar:

    1-3+\frac 94 = 4-6+\frac 94

    \left(1-\frac 32\right)^2 = \left(2-\frac 32\right)^2

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  2. Hola :

    Antes que nada, buenísimo tu blog.
    En el ejercicio de 1=2 no me dan los cálculos por la suma de los 9/4 en el miembro de la izquierda, me queda 1-3/4,. Igual vuelvo a revisar.
    Cordiales saludos

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  3. Hola, lo siento pero no veo por qué ha de ser $sqrt{9}
    e -3$

    Obviamente no soy matemático. Y perdon por el Latex, pero no sale como fórmula.

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  4. “Y perdon por el Latex, pero no sale como fórmula.”

    ¡Anda! :-DDDD

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  5. Se que faltan las barras en la fórmula, llevo años usando latex, pero no al escribirlo en aquí al darle a publicar desaparecen.

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  6. @david (y @vayapordios, ja, ja, está al quite), el problema no es de LaTeX sino de desconocer cómo hay que meter el LaTeX en los comentarios.

    En el menú de este blog, la opción más larga se llama “Fórmulas con LaTeX en WordPress”, allí se aclara cómo hay que escribirlo.

    (Aunque hay algunos bugs, je, je)

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  7. Ahora que veo este desliz logarítmico, me acuerdo de este.

    Tenemos:

    (-x)(-x) = x^2 \Rightarrow \log[(-x)(-x)] = \log(x^2) \Rightarrow \log(-x)+\log(-x) = \log(x^2) \Rightarrow 2\log(-x) = 2\log(x)

    Por lo tanto:

    \log(-x) = \log(x)

    Con lo que:

    \log(-1) = \log(1) = 0

    Donde está el error?

    Salu2

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  8. donde puedo obtener el programa Latex…, quisiera aprender a escribir las fórmulas asi como algunos de aqui… gracias, si alguien me pudiera dar informes… hasta pronto

    chao

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  9. Abraham, manuales los encontrarás por decenas. Lo que te vendrá bien también es esto:

    http://www.dragmath.bham.ac.uk/demo_Latex.html

    Puedes meter la fórmula con el asistente gráfico y luego puedes hacer dos cosas, fijarte cómo el script de Java lo traduce a latex, así trabajas tus propios ejemplos (falla con las desigualdades, pero me temo que también falla en eso el plugin que han puesto en este sitio, es curioso), o copiar lo que escribe y pegarlo aquí (que es lo que he hecho yo en alguna ocasión).

    El error con los logaritmos es el de siempre, que en el argumento sólo cabe el valor absoluto de una expresión.

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  10. Con respecto al problema que plantea Mellon, se puede ver que, en primera instancia

    \log(-x)(-x)=\log(-x)+\log(-x)

    es válido si y sólo si x es menor que cero , en este caso no se tiene que

    \log(x^{2})=\log(x \cdot x)=\log(x)+\log(x)

    y para el caso en que x es positivo se tiene el problema inverso.

    Saludos, excelente página

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  11. A raíz del problema sugerido por @Fabián Pereyra, e aquí otro:

    “Demuestren que los únicos números enteros distintos entre sí que satisfacen x^{y}=y^{x} son el 2 y el 4.”

    Entonces a partir de

    x^{y}=y^{x}

    elevamos todo a \frac{1}{xy}

    quedando

    \left( x^{y}\right) ^{\frac{1}{xy}}=\left( y^{x}\right) ^{\frac{1}{xy}}

    es decir

    x^{\frac{1}{x}}=y^{\frac{1}{y}}

    de lo que se deduce que la proposición es falsa y la expresión indicada es válida para cualquier par de números.

    ¿Dónde está el error?

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  12. A ver si no es por ese lado(es que no es lo mismo escribir x=y Samuel ): ¿de donde se deduce que “la expresión indicada es válida para cualquier par de números”?

    x^ frac{1}{x}= y^ frac{1}{y} De esta expresión no veo como se deduce eso(a no ser x=y y por supuesto 2 y 4 pero la hipótesis dice enteros distintos)……

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  13. A ver si no es por ese lado(es que no es lo mismo escribir x=y Samuel ): ¿de donde se deduce que “la expresión indicada es válida para cualquier par de números”?

    x^ \frac{1}{x}= y^ \frac{1}{y} De esta expresión no veo como se deduce eso(a no ser x=y y por supuesto 2 y 4 pero la hipótesis dice enteros distintos)……(Siento el doble post pero es que no me dejo editar por segunda vez)

    Es decir no veo ninguna demostración….

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  14. Por eso puse el casi entre paréntesis, porque no estaba seguro. El caso es que si x=y, x^y=y^x. Porque tendríamos x^x =x^x, lo cual será verdad siempre. La implicación al revés, no la sé demostrar, por lo que puse el casi para no sufrir un Epic Fail.
    Yo lo que siento es no tener ni zorra de LaTeX y haceros ver circunflejos xD

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  15. Sería genial que DiAmOnD haga un post de este tema si no es mucho pedir ya que es una interesantísima ecuación que en casi ningun libro he visto (en realidad en ninguno).

    Aclaro que el enunciado dice que x e y sean distintos, de lo contrario, todos los reales cumplirian la condición.

    Aquí pongo una imagen de la ecuación, que también coloqué en el otro post:

    http://i29.tinypic.com/nwljdh.jpg

    Propongo además que hallen la ecuación de la curva que, junto con x = y, satisface que x^y = y^x

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  16. que tal este cual es la integral de ((x^2*arctag(x))/(sqr(1-x^2)))dx resolver es un reto y saludos a todos

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  17. respecto al problema de josejuan: Supongamos que es correcta la afirmación de que los únicos 2 números que satisfacen x^y=y^x son el 2 y el 4. Al final se llega a que
    x^{\frac 1x}=y^{\frac 1y}

    si remplazamos por 2 y 4 queda

    2^{\frac 12}=4^{\frac 14}
    \sqrt 2 = \sqrt 2

    Es decir, no hay ningún error que desenmascarar, la igualdad se sigue cumpliendo para 2 y 4, ya está.

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