2 = 1

Hay muchos juegos matemáticos que, ocultando un error en su proceso, terminan en 1 = 0, 2 = 1 o resultados parecidos. Suelen ser bastante sencillos de resolver ya que generalmente el error que se produce es un error de cálculo intencionado que, aunque está oculto, se puede ver con relativa facilidad. Pero este no es el caso. Vamos a ver quién es capaz de explicar dónde está el error:

x2 = x · x
x2 = x · (1 + 1 + 1 + ··· x veces ··· + 1)
x2 = x + x + ··· x veces ··· + x

Derivando en ambos términos de la igualdad se obtiene:

2x = 1 + 1 + ··· x veces ··· + 1
2x = x

Y cancelando x (podemos suponer desde el principio que x no es cero para evitar divisiones por cero):

2 = 1

Evidentemente hay un error ya que llegamos a un resultado falso a todas luces, pero…¿dónde está?

Actualización 24-8-2006:

Aunque b3co y mimetist ya han dado las claves del error os pongo la explicación que he encontrado en El Agujero, la web de Ozarfreo:

El paso en el que se deriva una suma con un número de términos variable no está justificado. Simplemente no hay ninguna regla de derivación (ni justificación posible) que nos diga que eso puede hacerse tal como se hace allí.

La derivada representa cómo de rápido crece una cierta cantidad cuando movemos otra. En este caso, si movemos x no sólo cambia el valor de cada término de la suma sino también el número de términos, y eso no está incluido en el cálculo anterior. Además, no podemos derivar funciones definidas sólo en los números enteros: ¿qué significa la suma 1 + 1 + 1 + ··· x veces ··· + 1 cuando x es, digamos, tres medios? ¿hay que sumar x “tres medias veces”?

Ahí estaba el error.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Yo sé la respuesta pero porque ya había visto el juego… así que no digo nada :(

    (Por cierto, no supe hallar el error aquella vez :’( )

    Publica una respuesta
  2. Gracias por no decirlo mimetist. Si en un tiempo prudencial nadie ha encontrado el fallo coméntalo tú :) .

    Yo sí supe cuál era el error cuando lo vi. Bueno, en realidad lo intuí, y cuando vi la solución confirmé que mi intuición no me fallaba :) .

    Saludos

    Publica una respuesta
  3. Supongo que el problema radica en el “x veces” ya que X es dos veces incógnita:
    x^2 = sum(i=1;x;x)
    y aqui la x aparece como límite de sumatoria (incógnita) e incógnita per se.

    Es de los errores de derivación estilo x^x donde para derivarla hay que transformarla al e^(ln(x^x))=e^(x(ln(x)))

    Saludos!

    Publica una respuesta
  4. Sí, esa es la idea, aunque creo que la analogía con el caso de la función x^x no es muy acertada, ya que para esa función la derivada está perfectamente definida, hecho que no ocurre en nuestro caso. De todas formas muy bien b3co

    mimetist cuéntanos tú cómo lo resolverías

    Publica una respuesta
  5. Pues yo no sería capaz de resolverlo… eso fue lo que me pasó cuando lo intenté.

    el problema es que “sumar x veces” implica que x es necesariamente un número entero… lo que convierte a la “función” de la derecha en una función discontinua por lo que la derivación no es aplicable.

    (esas son las conclusiones a las que llegué cuando vi el mismo juego en matematicas.net)

    Publica una respuesta
  6. Pues sí, básicamente es eso. No hay ninguna regla de derivación para la función de la derecha ni puede justificarse. Voy a actualizar el post con la explicación que he encontrado en una web de un profesor de la Universidad de Granada.

    Saludos :)

    Publica una respuesta
  7. Qué onda?

    Ciertamente la analogía que puse no fue por la regla de derivación, sino por el engaño a primera vista de intentar aplicar la regla de la cadena. Como en ambos casos no es lo que parece, aunque como dices, en el segundo está bien definido.

    Saluods!

    Publica una respuesta
  8. Sin embargo en ocasiones como en el estudio de poblaciones y en cuestiones mecánicas o eléctricas aparecen funciones que se sabe que no son derivables o incluso se suponen que verifican ciertas ecuacions diferenciales y se trabaja derivándolas y los resultados que se obtienen se sabe empíricamente que son correctos

    Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *