Cómo contruir triángulos pitagóricos

Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas

Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados

Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que x^2+y^2=z^2. A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

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Los dedos de las manos suman 1023
Nov29

Los dedos de las manos suman 1023

Todos alguna vez de pequeño habremos contado con nuestros dedos, o incluso sumado números con ellos. Esto es un gran incoveniente ya que con los dedos puedes sumar hasta diez, y sumar hasta diez no te vale para nada.

Pero si cambiamos la manera de contar podremos contar con los dedos de las manos hasta 1023, todo gracias al magnífico sistema binario.

Cuenta en binario

En esta imagen vemos como es posible contar en binario con los dedos, e incluso en tono humorístico dicen que si usaramos los dedos de los pies llegaríamos a la increíble cifra de 1.048.575 (un millón cuarenta y ocho mil quinientos setenta y cinco).

(Vía instructables)

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La conjetura de Collatz

Elijamos un número natural, digamos n, y realicemos los siguientes cálculos:

  • Si n es par dividámoslo por 2
  • Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado

Con el número obtenido repitamos el proceso, y así sucesivamente. Hagámoslo con un ejemplo:

n = 6

La secuencia que obtenemos es:

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Vemos que en unos cuantos pasos hemos llegado al número 1. Pues eso mismo es lo que dice la conjetura de Collatz (también conocida como conjetura 3n + 1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa):

Conjetura de Collatz

Para cualquier número natural n realicemos los siguientes cálculos:

  • Si n es par dividámoslo por 2
  • Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado

Repitiendo el proceso con los números obtenidos la secuencia siempre acabará en 1

Ya hemos visto la secuencia que obtenemos comenzando por 6. Si escogemos n = 11 obtenemos:

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Una secuencia algo más larga, pero que también termina en 1. Y con n = 27, un número ciertamente pequeño, obtenemos una secuencia considerablemente grande: 111 pasos

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Imaginad las secuencias que obtendríamos con números grandes.

Este resultado sigue siendo una conjetura ya que no se tiene demostración alguna de su veracidad ni nadie ha encontrado ni contraejemplo ni demostración que demuestre su falsedad. Se ha comprobado que para números hasta 258 la secuencia siempre acaba en 1, es decir, la conjetura es cierta para esos números, pero eso no nos sirve como demostración. Sólo nos podría servir para intuir que podría ser cierto, pero la intuición a veces puede fallar, y si no recordar el caso de la conjetura de Polya.

Si alguien se atreve con el problema y obtiene algún resultado interesante que no dude en comunicárnoslo.

Fuente: Wikipedia (inglés): Collatz conjecture

Actualización: Dos apuntes interesantes:

  • Interesante forma de atacar el problema la propuesta por Asier. Puede que desarrollándola no se llegue a nada concluyente, pero es bastante original.
  • Enric ha creado un programa para calcular las sucesiones de números que aparecen al comenzar por cualquier número. Tenéis que entrar aquí y escribir http://www.enric.es/php/conjetura-collatz/?f=número-que-queráis. Hasta 1000000000000 lo da bien. A partir de ahí llega al ciclo 4, 2, 1 y lo repite indefinidamente. Y 2000000000010 es el último número para el que ocurre eso. A partir de ahí aparecen números tan grandes que el programa muestra INF de forma indefinida. De todas maneras es muy interesante.
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Triolet, el scrabble matemático existe

Hace ya tiempo hablaba de un juego para ordenador llamado Calculum, ese juego consistía en una especie de Scrabble de números, es decir, un scrabble matemático (como ya lo bautice en su momento).

En ese post me quejaba de que no existiera una versión física, de mesa, de ese juego. Hasta que ayer me encontré de casualidad con este juego llamado triolet, que no es más que un Calculum en juego de mesa.

Aunque las reglas son un tanto diferentes, ya que en el Calculum te daban puntos por hacer operaciones y cuanto mayor fuera el resultado más puntos, en Triolet el objetivo es sumar 15 con 3 fichas, o sumar 15 o menos con dos fichas, y después hacer diferentes combinaciones para obtener bonus.

Se vende en tiendas de Ingalterra, y en su portada dan 15 razones (que os he traducido) para comprarlo y jugar:

  1. Es el juego del año 2006.
  2. Es como una versión numérica del Scrabble.
  3. Tus matemáticas mejoran sin darte cuenta.
  4. Puedes competir por el título nacional (supongo que habrá algún torneo de este juego).
  5. Tiene unas reglas sencillas, pero es un juego tacticamente complejo.
  6. Es parte de las Olimpiadas de Deportes Mentales (¡vaya frikada! La primera vez que oigo hablar de ellas).
  7. Una partida se juega en 30/40 minutos.
  8. Es un buen juego para jugar en familia.
  9. Cada partida es diferente.
  10. Para cualquier edad y persona.
  11. Está recomendado por la Guía Good Toy 2005.
  12. Estimula el cerebro.
  13. Es un excelente recurso para escuelas.
  14. No se necesita un diccionario.
  15. Si puedes sumar 15, puedes jugar.
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Equivocación por partes
Nov27

Equivocación por partes

Vamos con un problemita para comenzar la semana. Queremos integrar la función tan x, y en vez de hacerlo como generalmente se suele hacer lo haremos usando el método de integración por partes:

Equivocacion por partes

Simplificando la integral de ambos lados obtenemos que 0 = -1. ¿Dónde está el error?

Solución:

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