El TVI y el dado de tres caras

Hace un tiempo Papá Oso, de Sospechosos Habituales, nos mandó una consulta sobre un post suyo de su blog El Hombre de los Dados. El artículo en cuestión relacionaba el teorema de los valores intermedios y los dados, intentando a partir de él construir un dado de 3 caras, es decir, una figura de 3 caras que cumpliera que las 3 caras tienen la misma probabilidad de salir al tirarla tipo dado. Este post va a servir para presentaros el artículo de Papá Oso y para que veáis la respuesta que yo le di.

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Postulado controvertido

Las demostraciones del postulado euclídeo de las paralelas pueden desarrollarse hasta el punto en que aparentemente sólo queda por concluir un detalle sin importancia. Pero un análisis cuidadoso viene a demostrar que en este detalle sin importancia es donde radica el punto crucial del asunto, porque normalmente o bien contiene la proposición que se trataba de demostrar o un postulado alternativo equivalente a ella.

Johann Heinrich Lambert

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

El quinto postulado en Gaussianos.

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Sumatorio de enlaces VIII

Vamos con otro sumatorio con algunos enlaces curiosos que tengo por aquí:

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¿Sabía que…

…el número 1741725 tiene una curiosísima propiedad?

17+77+47+17+77+27+57=1741725

Al parecer es el único número con el que se sabe que ocurre. O sea que si alguno de vosotros encontráis otro ejemplo igual os hacéis famosos. Vía El Pito Doble.

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El infinito

Ningún pensamiento como el del infinito ha turbado tan profundamente el espíritu humano, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto

David Hilbert

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

Qué razón tiene el señor David. Y si no que nos lo digan a nosotros. Ejemplos: éste y éste.

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Nace Biblioteca Digital Española de Matemáticas

El pasado 13 de junio de 2007 se presentó la Biblioteca Digital Española de Matemáticas (DML-E). Lo que se pretende con este proyecto es el acceso al texto completo de los artículos publicados desde el año 1980 hasta la actualidad en las principales revistas de investigación de matemáticas españolas.

Si entramos en la web a la izquierda podemos ver una relación de las revistas a las que pertenecen los artículos digitalizados. Además podemos utilizar el buscador que nos puede echar una mano a la hora de buscar artículos. Muchos de ellos están en inglés, pero también podemos acceder a bastantes artículos en español.

El proyecto ha sido llevado a cabo por un equipo del Centro de Información y Documentación Científica (CINDOC) del CSIC y constituye la aportación española a la iniciativa mundial de la World Digital Mathematics Library (WDML).

Sin duda una gran iniciativa.

Fuentes:

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Suma de potencias complejas

Vamos con un ejercicio relacionado con números complejos:

Sean

Exponencial compleja

y

Suma de potencias complejas

Calcular el valor de A a mano, es decir, sin calculadoras, programas informáticos ni similares.

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Cómo probar que 22/7 es mayor que π

Arquímedes demostró en su obra Sobre la medida del círculo la siguiente desigualdad relacionada con el número π:

Desigualdad de Arquímedes para π

Podéis comprobar con la calculadora que la desigualdad es totalmente cierta.

El genio griego utilizó para ello polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

El número 22/7 se tiene desde entonces como una gran aproximación del número π teniendo en cuenta lo simple que es la fracción y las pocas herramientas de las que se disponía en aquella época. En este post vamos a ver una demostración de que este cociente es mayor que π utilizando integrales:
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Algoritmos para el cálculo de Pi

En toda la historia se han descubierto/creado muchas maneras para calcular aproximaciones del número Pi. En el post del día de Pi ya vimos algunas aproximaciones numéricas. Hoy os traigo dos algoritmos para el cálculo de aproximaciones de Pi. Vamos con ellos:

  • Algoritmo de Gauss-Legendre:

    Partimos de los siguientes datos iniciales:

    Datos iniciales del algoritmo de Gauss-Legendre

    A partir de ellos realizamos la siguientes operaciones:

    Algoritmo de Gauss-Legendre

    Entonces Pi se aproxima de la siguiente forma:

    Aproximación de Pi por el algoritmo de Gauss-Legendre

    El método tiene convergencia de segundo orden. Es decir, en cada iteración duplicamos el número de dígitos exactos obtenidos en la iteración anterior.

  • Algoritmo de Borwein:

    Partimos de los siguientes datos iniciales:

    Datos iniciales del algoritmo de Borwein

    Con ellos operamos de la siguiente forma:

    Algoritmo de Borwein

    Entonces se tiene lo siguiente:

    Aproximación de Pi mediante el algoritmo de Borwein

    La convergencia de este método es cuártica. Es decir, en cada iteración se consiguen el cuádruple de dígitos exactos que en la iteración anterior. Existen variaciones de este método que consiguen en cada iteración muchos más dígitos exactos. En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver algunas de ellas.

Evidentemente existen muchísimos más. Y también muchas fórmulas que involucran a Pi mediante las cuales podemos calcular aproximaciones de este número. Más adelante irán apareciendo en este blog muchas más. Se aceptan sugerencias en los comentarios.

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Buscando el número 100

Vamos con un juego de esos que os gustan tanto (véanse por ejemplo el problema de los cuatro cuatros, el problema de los tres nueves o el problema 123456789=100). Ahí van las reglas:

El problema está en obtener como resultado el numero 100 con las siguientes reglas:

-Cinco numeros, ni más, ni menos.
-Deben ser iguales.
-Deben estar separados por los signos +, -, ·, /, y ( )

El punto de “deben ser iguales” significa que deben usarse por ejemplo cinco números 7.

Tal y como está planteado parece ser que la concatenación de números no es válida. Como siempre, si se ve en un tiempo razonable que no salen todos se irán suavizando las normas. A ver cuántos conseguimos con éstas.

Tomado prestado de Su.Doku.Es que lo cogió de Acertijos Matemáticos.

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