¿Sabía que…

…el repunit (repeated unit) 1111111…1111111 (270343 unos) es un nuevo primo probable? Maksym Voznyy y Anton Budnyy han sido los encargados de informar del descubrimiento.

Estos números se representan como R(x), siendo x el número de unos que forman el número. Ya vimos en este post que R(2), R(19), R(23), R(317) y R(1031) son primos y que R(49081), R(86453) y R(109297) son primos probables. De todas formas, dada la complicación que conlleva, habrá que esperar para saber con total seguridad si estos números son primos o no.

Vía MathPuzzle

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Gaussianos cumple 1 año de vida
Jul26

Gaussianos cumple 1 año de vida

Tal día como hoy, 26 de julio, del año pasado, 2006, Gaussianos comenzaba a andar. Parece que fue ayer y ya ha pasado un año. En todo este tiempo nos han pasado muchas cosas. El proyecto comenzó con dos integrantes: Fran y ^DiAmOnD^ (yo mismo). Como suele pasar, al principio se tiene mucha ilusión, se quiere intentar hacer las cosas bien y se quiere llegar a ser algo conocido. Pero ni mucho menos podíamos esperar que las cosas salieran como al final están saliendo. En poquísimo tiempo crecimos muchísimo. Las visitas aumentaban, cada vez había más comentarios y los suscriptores al feed del blog eran cada vez más numerosos. Y eso sólo os lo podemos agradecer a vosotros. De verdad, muchas muchas gracias.

Gaussianos comenzó en Blogsome, donde todavía podéis verlo: Gaussianos en Blogsome. Tiempo después decidimos pasarnos a un servidor propio, ya que aunque en Blogsome teníamos WordPress no podíamos acceder a todas las opciones, instalar plugins, etc. Al mismo tiempo adquirimos un dominio propio. Mediante la publicidad de Google Adsense que tenemos en el blog hemos podido pagar el coste de esos servicios.

Bueno, vamos ahora con datos. Gaussianos siempre se ha caracterizado por tener muchos suscriptores en proporción al número de visitas que recibía. Supongo que se deberá a que es un blog con una temática bastante definida. A continuación os dejo algunos datos sobre visitas, páginas vistas (Google Analytics), suscriptores (Feedburner) y posición en algunos rankings (los datos son del 14 de julio ya que en estos momentos estoy de vacaciones):

  • Según Google Analytics, en el último mes hemos tenido 30556 visitas, 66040 páginas vistas y 21812 usuarios únicos absolutos. En total, desde el 22 de noviembre de 2006 (fecha en la que comenzamos con Google Analytics) hemos tenido 223565 visitas, 403121 páginas vistas y 151577 usuarios únicos absolutos
  • Según Technorati ocupamos la posición #19984. Al parecer esa es la posición entre unos 84 millones de blogs.
  • Según Feedburner tenemos un promedio en los últimos 30 días de 1330 suscriptores al feed del blog. En este gráfico podéis ver la progresiva subida que ha experimentado el blog en este sentido:

    Suscriptores

  • Top.Blogs.Es: #133. En el ranking según los datos de Feedburner ocupamos la posición #88.
  • Pagerank de Google: PR 5
  • Alexa: posición 196887 del ranking mundial
  • Hasta el día de hoy tenemos 272 posts y 3871 comentarios

Y en todo este tiempo hemos escrito sobre muchos temas y hemos resuelto muchos juegos. Aquí os dejo los enlaces a algunos de los artículos más interesantes, importantes o elaborados que se pueden consultar en Gaussianos:

En la sección Archivo-Categorías podéis ver todos los posts que se han publicado en este año.

Pero por desgracia no todo puede ser bueno. El tiempo es muy valioso y no siempre se tiene el que uno quiere. Por ello Fran decidió hace un tiempo dejar el blog de manera temporal. El tiempo que necesita su Proyecto de Fin de Carrera y las ganas de escribir posts interesantes y bien fundamentados no son compatibles. De todas formas espero que algún día decidas cuanto menos colaborar conmigo y escribir algo para el blog.

El tiempo también está haciendo que yo escriba bastante menos. El trabajo ha ocupado gran parte de mi tiempo en estos últimos meses. Pero prometo escribir más a menudo a partir de ahora. Lectores y lectoras como vosotros y vosotras se merecen un gran esfuerzo.

Y para terminar sólo espero que al menos podamos celebrar otro año más de vida todos juntos, vosotros y yo. Para ello, como ya sabéis, tenéis los comentarios. Y si lo que queréis es comunicarme ideas o enviar enlaces interesantes o colaboraciones echad un ojo a la sección ¿Quiénes somos? y encontraréis la forma de hacerlo.

Un afectuoso saludo.

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Identidad verdadera

Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado, y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad.

(Refiriéndose a \displaystyle e^{i \pi}+1=0)

Benjamin Peirce

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

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Dios y los dados

…conseguimos obtener así la fórmula estadística para conocer aproximadamente la posición de un electrón en un instante determinado. Pero, personalmente, no creo que Dios juegue a los dados.

Albert Einstein

Al parecer Einstein estaba doblemente equivocado cuando afirmó que Dios no juega a los dados. Los estudios sobre la emisión de partículas desde agujeros negros permiten sospechar que Dios no solamente juega a los dados, sino que, a veces, los echa donde nadie puede verlos

Stephen William Hawking

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

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La constante de Euler-Mascheroni

En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: \displaystyle\gamma.

Esta constante se define de la siguiente forma:

\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left(  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}

Es decir, \displaystyle\gamma se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx

Su valor aproximado es: \displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots

No se sabe si \displaystyle\gamma es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10242080. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece \displaystyle\gamma:

Integrales cuyo resultado es \displaystyle\gamma

\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx \displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx

Integrales que involucran a \displaystyle\gamma

\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}

\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} (¿os suena ese \displaystyle\frac{\pi^2}{6}?)

Relación con \displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}

\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right ) \displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)

Relación con la función \displaystyle\Gamma

\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]

Relación con el número e

\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i -1}

siendo p_n el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots

Mezclando las tres constantes

\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

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