La vida y la probabilidad

La vida es una escuela de probabilidad.

Walter Bagehot

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

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The matching problem o cómo no formar ninguna pareja

Imaginemos que nos encontramos alguna de esta situaciones y nos planteamos la pregunta que viene en cada una de ellas:

  • Un profesor manda un trabajo para casa a un grupo de alumnos. Ellos entregan los mismos al profesor y cuando éste los va a devolver corregidos lo hace aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los alumnos reciba su propio trabajo?
  • En una fiesta hay un cierto número de hombres ataviados con sombrero. Dejan los mismos en una sala y al término de la celebración cogen su sombrero de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hombres lleve su propio sombrero?
  • Vamos a enviar felicitaciones de Navidad a nuestros familiares. Rellenamos las tarjetas por un lado y los sobres por otro y luego metemos las tarjetas en los sobres aleatoriamente. ¿Cuál es lo probabilidad de que ninguna de las tarjetas acabe en el sobre que le corresponde?

Todos estos ejemplos son casos en los que podemos aplicar el, al parecer, llamado The Matching Problem, aunque también he visto que lo llaman Montmort’s matching problem en honor a Pierre Raymond de Montmort, matemático francés nacido en 1678.

Bueno, vamos al tema. Para empezar, creo que se ve bastante claro que todos los casos son equivalentes. Entonces, ¿cuál diríais que es la probabilidad que se nos pide? Lo primero que uno podría pensar es: depende del número de alumnos, hombres y familiares que haya en cada caso. Es decir, que lo normal sería pensar que esa probabilidad depende del número de individuos que tenga la población. Pues no es así. La probabilidad es siempre la misma. Bueno, no exactamente. En realidad la probabilidad se acerca a un número concreto conforme el número de individuos se acerca a infinito. Curioso, ¿no?

Y ahora la pregunta es: ¿cuál es esa probabilidad? Pues bueno, teniendo en cuenta que si llamamos N_n a la variable aleatoria que nos indica el número de emparejamientos válidos de entre n se puede llegar a que su función de probabilidad es la siguiente:

\displaystyle{P(N_n=k)=\cfrac{1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^{n-k} \cfrac{(-1)^j}{j!}} con k=0,1, \ldots ,n

la probabilidad de que no se haya formado ninguna pareja válida nos la da la probabilidad de que N_n sea igual a {0}. Es decir:

\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!}}

¿Os suena esta suma? Seguro que a muchos sí. Hacemos límite cuando n \to \infty y obtenemos lo que queremos:

\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!} \xrightarrow{n \to \infty} \cfrac{1}{e}}

Es decir, que la probabilidad de que no se forme ninguna pareja válida se acerca a \cfrac{1}{e} tanto más como grande sea n. Al parecer con n=5 ya nos queda una buena aproximación. Lo sorprendente es que cuanto más grande sea n mejor es la aproximación a \cfrac{1}{e}. Y digo yo: ¿cuánto vale ese número? Pues algo así como 0.367879441. Es decir, que en una situación de este tipo no se forma ninguna pareja válida aproximadamente el 36,8% de las veces. Y ese tanto por ciento se va acercando cada vez más a \cfrac{1}{e} \cdot 100 conforme aumenta el valor de n.

Realmente curioso el asunto. ¿Esperabais que la probabilidad fuera más alta o más baja?

Fuentes:

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El número 113 con cuatro cuatros

Seguro que los lectores más antiguos de Gaussianos recuerdan el problema de los cuatro cuatros. Fue uno de los juegos más interesantes y con más participación de los que ha habido en este blog. El objetivo del juego era obtener todos los números del 0 al 100 utilizando cuatro cuatros y las operaciones suma, resta, multiplicación, división, concatenación, potencia, punto decimal, raíces cuadradas, factoriales y números periódicos, pudiendo colocar también paréntesis donde viéramos conveniente. Entre todos conseguisteis rellenar la lista completa y por eso os felicité dedicándoos este post. El 73 conseguido por homero se llevó la palma, ya que en la lista que yo poseía aparecía utilizando una operación que no estaba permitida: números combinatorios.

Según parece se puede continuar a partir del 100 y los números pueden ir consiguiéndose…hasta que llegamos al 113. Según la información que tengo este número no puede conseguirse con estas operaciones. Pero ya que, como he dicho antes, en la lista que yo poseía aparecía un número en el que se usaba otra operación os voy a poner una forma de conseguir el 113 con cuatro cuatros añadiendo una operación mas: la parte entera. Esta función nos da el número entero que hay justo antes del número que le indiquemos. Por ejemplo tenemos que \left \lfloor 3,46 \right \rfloor =3 y que \left \lfloor -7,5 \right \rfloor = -8.

Pues Julio me manda por mail esta solución que ha encontrado utilizando esta operación:

113=(4!+4) \cdot 4+ \left \lfloor \sqrt{\sqrt{4}} \right \rfloor

Sin duda una solución muy ingeniosa. ¿Alguien es capaz de aportar alguna otra solución aunque tengamos que añadir otra operación nueva? Evidentemente cuanto menos rebuscada sea la operación extra más valorada será la solución

Actualización:

Más soluciones del asunto:

\left\lfloor 4! \cdot \sqrt{4!} - 4-.4 \right \rfloor [Imagen mandada por Markelo]
\left\lfloor(4!)^{\sqrt[4]{4}}\right\rfloor+4! [GNeras]
\left\lfloor(4!)^{\sqrt{\frac{4}{\sqrt{4}}}}\right\rfloor+4! [GNeras]

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Producto de senos

Este problema nos lo manda nuestro conocido comentarista Domingo. Por recomendación suya lo propongo en dos partes:

Demostrar que:

1.- sen \left (\cfrac{\pi}{5} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{2 \pi}{5} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{3 \pi}{5} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{4 \pi}{5} \right )=\cfrac{5}{16}

2.- sen \left (\cfrac{\pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{2 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{3 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{4 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{5 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{6 \pi}{7} \right )=\cfrac{7}{2^6}

Según él nos va a tener entretenidos durante un tiempo. Ánimo.

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Fracciones y 2007

Este problema nos lo plantea Domingo en un comentario de este post. Lo he quitado de allí y lo he puesto aparte para no mezclar uno con otro:

Sean a,b,c tres números reales no nulos cuya suma sea no nula y tales que \displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}}

Demostrar que entonces se verifica que \displaystyle{\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{b^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}}}

A ver cuál es la demostración más ingeniosa que se nos ocurre.

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