¿Sabía que…

…el número 10^{33} (mil quintillones para los amigos) es la potencia de 10 más grande conocida que puede representarse como producto de dos números que no contienen ningún cero?. En efecto:

1000000000000000000000000000000000=2^{33} \cdot 5^{33}=8589934592 \cdot 116415321826934814453125

Es claro que cualquier número de este tipo debe ser de la forma 2^x \cdot 5^x, ya que si no fuera así alguno de los factores contendría al menos un 2 y un 5 y por tanto sería múltiplo de 10, conteniendo entonces al menos un cero.

Parece ser que lo complicado es encontrar una potencia de 5 que no contenga ceros. Se sabe que 5^{58} no contiene ningún cero, pero al calcular 2^{58} vemos que contiene al menos un cero. Por tanto no nos vale.

Ya tenéis otro reto, aunque éste me parece que es sumamente difícil.

Curiosos datos sacados del libro El prodigio de los números, de Clofford A. Pickover.

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Cuestión de importancia

La formulación de un problema es más importante que su solución.

Albert Einstein

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

¿Estáis de acuerdo?

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Serie numérica que espera explicación

Vamos con una curiosa serie numérica que espera explicación por vuestra parte:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211

¿Cuáles son los dos siguientes términos? ¿Por qué son así?

La serie ya ha aparecido bastantes veces en internet, pero la gracia es que intentáramos darle explicación sin buscarla antes. Cuando se haya resuelto pongo alguna cosa más de la misma.

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¿De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado?

Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones polinómicas de segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación concreta:

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendo cuántas hay y cuáles son en el caso de que existan.

La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula? Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:

Partimos de la ecuación polinómica siguiente:

ax^2+bx+c=0

donde se supone a\ne 0 para que la ecuación sea de verdad de segundo grado.

Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado más unas ciertas constantes, digamos (m+n)^2+p=0. Como sabemos que (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 tenemos que:

  1. El término del binomio que nos proporcionará ax^2 (supongamos que es m) debe ser \sqrt{a}x. Por tanto m=\sqrt{a}x.
  2. El término bx debe salir del doble producto 2mn. Como m=\sqrt{a}x tenemos que bx=2(\sqrt{a}x)n. Despejando obtenemos que n=\frac{b}{2\sqrt{a}}.
  3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que n^2=\frac{b^2}{4a}, constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además c debe seguir estando. Por tanto p=-\frac{b^2}{4a}+c.

Vamos, que la cosa queda como sigue:

ax^2+bx+c=\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2-\cfrac{b^2}{4a}+c=0

Pasamos las constantes al otro lado:

\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a}-c

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el $Latex \pm$):

\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a}-c}

Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:

\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a}}

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos 4a de la raíz:

\sqrt{a}x=\cfrac{-b}{2\sqrt{a}} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}

Dividimos ambos miembros por \sqrt{a} (lo que comúnmente se diría como pasamos \sqrt{a} al otro miembro) y sumamos las fracciones. La cosa queda:

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

que es lo que todos conocemos.

Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez en cuando recordar ciertas cosas relativamente sencilla que generalmente la gente no retiene en su memoria (el cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo sobre este tipo de temas). Espero que os haya parecido interesante.

Actualización: En los comentarios Pelícano nos comenta otra forma aún más simple. Ahí va:

Partimos de ax^2+bx+c=0. Restamos c a ambos lados. Queda:

ax^2+bx=-c

Multiplicamos a ambos lados por 4a. Queda:

4a^2x^2+4abx=-4ac

Sumamos b^2 a ambos lados:

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac

La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:

(2ax+b)^2=b^2-4ac

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:

2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}

Restamos b a ambos lados:

2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}

Y para concluir dividimos por 2a a ambos lados obteniendo lo que queríamos:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
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¿Sabía que…

…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos?

Me explico: dado un número natural n cualquiera (sí, sí, cualquiera) podemos encontrar un conjunto de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos. ¿Cómo? Muy sencillo:

Sabemos que n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 es divisible por 2, 3, \ldots, (n-1), n. Entonces n!+2 es divisible por 2, n!+3 es divisible por 3, … , n!+n es divisible por n. Tenemos aquí un conjunto de n-1 números naturales consecutivos que son compuestos.

Tomando (n+1)! en vez de n! obtenemos que (n+1)!+2 es divisible por 2, (n+1)!+3 es divisible por 3, … , (n+1)!+n es divisible por n y (n+1)!+(n+1) es divisible por n+1. Dado un n número natural cualquiera obtenemos así una serie de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos.

Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de n números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para n=3 la serie que encontramos es 26, 27 y 28, pero la más pequeña posible 8, 9 y 10. Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.

Y, como he dicho antes, n puede ser cualquier número natural, da igual lo grande que sea. Es decir, hay series de números naturales consecutivos enormemente grandes entre los cuales no hay ningún número primo. Cosas como esta pueden hacer más difícil creerse que el conjunto de números primos es infinito, pero en realidad es así. En este blog ya hemos visto dos demostraciones de este hecho: la demostración de Euclides y la demostración utilizando números de Fermat.

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