La paradoja del cumpleaños

Probablemente muchos de vosotros conoceréis la llamada paradoja del cumpleaños, pero para quienes no la conozcan la voy a explicar:

Introducción: enunciado de la paradoja

Imaginad que en un cierto momento estáis con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en un bar, cualquier grupo aleatorio de personas valdría. Digamos que hay 25 personas. Os planteo la siguiente cuestión: ¿cuál creéis que es la probabilidad de que en ese grupo de personas haya dos personas que cumplen los años el mismo día del mismo mes?? Quien no conozca este asunto probablemente responda algo como: No sé, pero seguro que muy pequeña. Al menos esa es básicamente la respuesta que yo me he encontrado siempre que he comentado el tema.

Pues la cosa es que ni mucho menos es pequeña. Vamos con lo que podríamos considerar el enunciado de la paradoja:

En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0,507, es decir, hay un 50,7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.

Para las 25 personas de mi ejemplo la probabilidad es aproximadamente de 0,57, es decir, casi el 57%.

Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.

Demostración matemática

El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.

Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n \le 365 (ya que si hay más de 365 la probabilidad es 1) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos p. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación 1-p. Calculemos p (tomaremos el año con 365 días):

Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es \frac{364}{365} (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es \frac{363}{365} (por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es \frac{362}{365}, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para n personas nos queda la siguiente expresión:

p=\cfrac{364}{365} \cdot \cfrac{363}{365} \cdot \cfrac{362}{365} \cdot \ldots \cdot \cfrac{365-n+1}{365}

Usando factoriales podemos excribir esa expresión así:

p=\cfrac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}

Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será 1-p. Es decir, la probabilidad de que en una reunión de n personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:

1-\cfrac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}

Con n=22 obtenemos una probabilidad de 0.475695. Con n=23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297. Con n=25, el del ejemplo del principio, estamos ya en 0.5687.

Y no os digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Os dejo unos cuantos resultados:

Para n=30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.
Para n=35, la probabilidad es de 0.814383, poco más del 81%.
Para n=40, la probabilidad es de 0.891232, casi del 90%.
Para n=45, la probabilidad es de 0.940976, cerca del 95%.
Para n=50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.
Para n=60, la probabilidad es de 0.994123, ¡¡más del 99%!!.

La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.

Comprobación

Probablemente muchos de vosotros sigáis pensando algo así como eso es imposible, no puede ser tan alto. Si es así os invito a que realicéis vosotros mismos una comprobación experimental, es decir, que en un cierto momento en el que dispongáis de un grupo (lo más aleatorio posible) de unas 25/30 personas comencéis a preguntar fechas de cumpleaños. Eso mismo hice yo hace unos días en un bar donde mi Nadym y yo solemos ir mucho. En ese momento habría 30 personas en el bar. No sé ni por qué surgió el tema, pero al ver un grupo idóneo en número y aleatoriedad me puse a preguntar fechas de cumpleaños. La coincidencia se produjo al preguntar a la persona número 28. En ese momento, según la fórmula anterior, una probabilidad de 0.654461 de que así fuera, es decir, más del 65%. Por tanto no es tan raro, aunque casi todo el mundo que preguntó de qué iba el tema puso cara de sorpresa (excepto otro matemático que conocí en ese mismo momento, cosa curiosa).

Para terminar, una curiosidad de ese mismo día: hemos comentado antes que la probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja. Concretamente, para n personas la probabilidad se calcula así:

1-\left ( \cfrac{364}{365} \right ) ^{n-1}

Teniendo en cuenta que yo era quien comenzó el experimento, es razonable pensar que yo era en ese caso una persona destacada entre las demás. Es decir, que si podemos pensar en una persona fija en un experimento que estoy realizando yo sería normal pensar en mí mismo. Pues lo curioso fue que la coincidencia fue conmigo. Es decir, que la primera pareja de cumpleaños el mismo día que encontré fue la formada por una chica y yo. Encontrar una pareja no es nada sorprendente con 28 personas. Que la primera coincidencia se produjera conmigo sí que fue curioso por lo poco probable, exactamente 0.0713971, es decir, un 7%. Final curioso para un interesante experimento.

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El error es importante

Cualquiera que no esté cometiendo errores es que no está intentándolo lo suficiente.

Wess Roberts

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

Interesante reflexión que nos indica la importancia del error en el trabajo.

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Entre sucesiones anda el juego
Ene29

Entre sucesiones anda el juego

El problema de la semana también lo propone Domingo por mail. Está relacionado esta vez con sucesiones y es el siguiente:

Para cada natural n\geq 1 se considera el conjunto ordenado \mathfrak{F}_n que consiste en las fracciones irreducibles con denominador menor o igual que n ordenadas de menor a mayor:

\mathfrak{F}_1=\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_2=\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_3=\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_4=\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_5=\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\}

\vdots

Las cuestiones son las siguientes:

  1. Demostrar que si las fracciones \frac{a}{b} < \frac{a'}{b'} son elementos consecutivos de \mathfrak{F}_n entonces a'\cdot b-a\cdot b'=1.
  2. Demostrar que si dos fracciones propias \frac{a}{b},\frac{a^\prime}{b^\prime} verifican a^\prime \cdot b-a \cdot b^\prime=1, entonces son elementos consecutivos de \mathfrak{F}_n, siendo n=max\{b,b^\prime \}.
  3. Demostrar que si las fracciones \frac{a}{b} < \frac{a'}{b'} < \frac{a''}{b''} son elementos consecutivos de \mathfrak{F}_n, entonces \frac{a'}{b'}=\frac{a+a''}{b+b''}.
  4. Calcular el límite \displaystyle{\lim_{n\to \infty} \cfrac{|\mathfrak{F}_n|}{n^2}}, donde |\mathfrak{F}_n| representa el número de elementos de la secuencia.
  5. Para cada fracción irreducible propia \frac{a}{b}, se considera la circunferencia \mathcal{C}_{\frac{a}{b}} de centro el punto (\frac{a}{b},\frac{1}{2 b^2}) y diámetro \frac{1}{b^2}. Demostrar que \mathcal{C}_{\frac{a}{b}} y \mathcal{C}_{\frac{a^\prime}{b^\prime}} son tangentes si y sólo si las fracciones \frac{a}{b} y \frac{a^\prime}{b^\prime} son términos consecutivos de una secuencia \mathfrak{F}_n.

Imagen con circunferencias tangentes enviada también por Domingo:

Circunferencias tangentes

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Nuevo récord de dígitos de Pi de memoria…¿seguro?
Ene28

Nuevo récord de dígitos de Pi de memoria…¿seguro?

Probablemente muchos de vosotros hayáis visto estos días en los informativos la noticia sobre el nuevo récord Guinness de decimales del número \pi por parte de Jaime García Serrano. Por ejemplo, en este enlace, podéis verlo.

El anterior récord, aunque no fue homologado, pertenecía a Akira Haraguchi, psiquiatra japonés.

El caso es que al parecer este nuevo reto con los decimales de \pi no ha sido como los anteriores. En otras tentativas se recitaron todos los decimales, pero en ésta no se hizo así. En un cierto momento Jaime dice que si siguiera estaría unas 50 horas seguidas. Por tanto si quieren pueden escoger una página de entre las 652 que componen el pdf con los 150000 decimales de \pi y la elegida es la 197. Jaime pide la página anterior para continuar a partir de ella y cuando la ha inspeccionado la sigue. Hasta aquí bueno, se podría aceptar. El problema es que los números que aparecen en esa página no pertenecen al listado los 150000 primeros decimales del número \pi. Increíble, ¿verdad? Veámoslo:

Silvia, una lectora de Gaussianos, me ha enviado un mail con el enlace a la noticia en El Mundo en el que se puede ver un vídeo del evento. La noticia es ésta y el vídeo es el siguiente:

La página 197, la elegida supongo que por el notario es la siguiente:

Decimales Pi página 197

Yo he probado un par de secuencia en un par de páginas que tienen almacenados muchos más decimales de \pi que esos 150000 y no aparecen o aparecen mucho después del 150000. Las páginas son Pi Search (200 millones de decimales almacenados) y Pi Phone Number Search String (4200 millones de decimales almacenados).

Os pongo un ejemplo:

En la imagen aparece, entre otras, la secuencia 8128562. Según las dos páginas esta secuencia aparece en la posición 4885157, muy por delante de la posición 150000.

O alguien nos explica este asunto, a poder ser el propio Jaime, o creo que el prestigio de este calculista va a bajar bastante.

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El teorema de Morley
Ene28

El teorema de Morley

Este artículo es una colaboración de Fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com

Tenemos en la figura un triángulo ABC en negro, con los trisectores interiores de cada ángulo en gris y los trisectores exteriores de cada ángulo en verde.

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En 1899 Frank Morley descubrió el resultado que ahora se conoce como teorema de Morley:

Los puntos de intersección de los trisectores de los ángulos de cualquier triángulo ABC determinan triángulos equiláteros

En la imagen podemos verlos en azul:

– Los trisectores interiores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos D, E y F que son los vértices de un triángulo equilátero.

– Los trisectores exteriores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos G, H y I que son los vértices de un triángulo equilátero.

– El trisector interior por A adyacente al lado AB y el trisector exterior por B adyacente al lado AB se cortan en punto J. El trisector interior por A adyacente al lado AC y el trisector exterior por C adyacente al lado AC se cortan en punto K. Los trisectores exteriores por B y C adyacentes al lado BC se cortan en un punto G. Los puntos J, K y G son los vértices de un triángulo equilátero. Análogamente para los otros ángulos.

Podemos encontrar demostraciones del teorema de Morley en esta revista o en este sitio.

Como esas demostraciones son para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores interiores, damos una aquí para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores exteriores.

Si  \angle CBA = 3b, el ángulo entre los lados y los trisectores interiores y entre éstos es igual a b y el ángulo entre los lados y los trisectores exteriores y entre éstos es igual a  \ 60^{\circ} - b.

Trisectores exteriores

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Demostramos que el triángulo formado por los trisectores exteriores adyacentes a cada lado es equilátero. Para ello usamos el siguiente lema:

Lema:

Sobre dos lados PQ y PR de un triángulo equilátero PQR construimos hacia el exterior triángulos PQH y PRG como en la figura, de forma que \angle PQH = \angle PRG = a,\ \  \angle RPG = b y  \ \angle QPH = c.
Reflejamos el triángulo PQH sobre PH para obtener el triángulo PQ^\prime H y el triángulo PRG sobre PG para obtener el triángulo PR^\prime G.

Lema:

En la construcción anterior, si a + b + c = 60^{\circ} , los puntos G y H están en la recta R^\prime Q^\prime y \angle PGH = a + b.

Porque como  \angle R^\prime PQ^\prime = 2b + 60^{\circ} + 2c < 180^{\circ}[/latex] y el triángulo [latex]R^\prime PQ^\prime[/latex] es isósceles, porque [latex]PR^\prime [/latex] y [latex]PQ^\prime[/latex] son iguales al lado del triángulo equilátero, tenemos que [latex] \angle PR^\prime Q^\prime =  \angle PQ^\prime R^\prime = a[/latex], porque [latex]2a + 2b + 2c + 60^{\circ} = 180^{\circ}[/latex]. Pero por construcción también [latex] \angle PR^\prime G = \angle PQ^\prime H = a[/latex], luego los puntos [latex]G[/latex] y [latex]H[/latex] están en la recta [latex]R^\prime Q^\prime[/latex].   Y por tanto [latex] \angle PGH = 180^{\circ} - \angle PGR^\prime = 180^{\circ} - \angle PGR = a+b = 60^{\circ} - c.


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Ahora, si tenemos un triángulo cualquiera ABC, con \ \angle BAC = 3a,\ \angle ABC = 3b,\ \angle BCA = 3c, construimos sobre los lados de un triángulo equilátero PQR , triángulos PRG, PQF y QPH haciendo ángulos a,\ b,\ c,\ a,\ b,\ c con los lados del triángulo equilátero como en la figura.

Entonces, por el lema anterior, como a + b + c = 60^{\circ}, \ \angle PGH = 60^{\circ}-c, \ \angle RGF = 60^{\circ} - c. Pero como \ \angle RGP = 120^{\circ} + c, resulta que \begin{matrix} \ \angle FGH = \angle RGP - \angle PGH - \angle RGF = \\ = 120^{\circ} + c - (60^{\circ}-c) - (60^{\circ}-c) = 3c \end{matrix}.

De la misma forma obtenemos  \angle GFH = 3a y  \angle FHG = 3b. Por lo tanto el triángulo FHG es semejante al triángulo ABC. Pero como \angle PGH = \angle RGF = 60^{\circ}-c , las lineas GP y GR son trisectores exteriores de FHG, y también FR, FQ, HQ y HF. Y estos trisectores exteriores se cortan en P, Q y R que son los vértices de un triángulo equilátero. Y como la semejanza preserva los ángulos, y ABC es semejante a FHG, en nuestro triángulo original ABC también los puntos se intersección de los trisectores exteriores serán vértices de un triángulo equilátero, como queríamos demostrar.


Trigonométricamente se demuestra que el lado del triángulo equilátero formado por la intersección de los trisectores exteriores es  8R \ \mathrm{sen}(a+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(b+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(c+120^{\circ}), donde R es el radio del círculo circunscrito.

La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas.

Como última curiosidad, al parecer el propio Morley no estaba demasiado contento con el descubrimiento de este teorema, ya que los matemáticos del momento se centraron en él por su sencillez y por lo inesperado del resultado y dejaron a un lado el resto de sus trabajos.

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