La llave

La Matemática es la llave de oro que abre todas las ciencias.

Víctor Duruy

Fuente: INFINITUM. Citas matemáticas

¿Estáis de acuerdo?

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Encontrando la suma a partir del divisor

Os dejo aquí el problema de la semana:

Sea a un número natural. Probar que existe otro número natural b tal que para todo natural n se verifica que:

a divide a 1^n+2^n+3^n+ \ldots +b^n.

A por él.

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La hipopede de Eudoxo
Abr28

La hipopede de Eudoxo

Inauguramos una nueva categoría en el blog llamada Curvas famosas con esta colaboración de fede enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Espero que os resulte interesante.

Eudoxo de Cnidos

Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.

Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.

La hipopede de Eudoxo

hipopede2Supongamos una esfera con centro O que gira alrededor de un eje ON. Sea un punto M en esa esfera que gira y sea P un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a ON y OM. Si mientras gira la esfera un punto H parte de P y se mueve por el círculo máximo perpendicular a OM a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto H describe una curva con forma de 8 en el espacio.

Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.

Si R es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento P y H, el ángulo POR es siempre igual al ángulo POH.

Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto R y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por R y paralelo a ON, y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.
dhesfera2

Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que H se siga moviendo por su círculo máximo (círculo PBS de la figura), alejándose de P. Si al mismo tiempo que H sale de P salen de P dos puntos R y T moviéndose por el círculo máximo perpendicular a ON (círculo PAS de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que H sobre su círculo, el plano en que están H, R y T en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en P.

Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro RT y por tanto el ángulo RHT es recto. Entonces el ángulo HTR es complementario del ángulo HRT. Si FR es perpendicular al plano PAS, el ángulo FRH también es complementario del ángulo HRT, y entonces los ángulos FRH y HTR son iguales.

Pero el ángulo HTR inscrito en el círculo de diámetro RT es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos PAS y PBS.

Por tanto el ángulo entre las rectas FR y HR es constante. Y como los triángulos HRT, en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón \textstyle{\frac{RC}{RT}} es constante, donde C es el pie de la perpendicular desde H sobre RT.

Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje ON a la misma velocidad angular que el punto R y en sentido contrario, el punto R quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba P y el punto H describirá la hipopede. Como el ángulo entre FR y HR es constante, HR es generatriz de un cono con eje FR, y como \textstyle{\frac{RC}{RT}} es constante, el punto C describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro R a la curva que describe el punto T, es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.

Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.

En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.

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Geometría curiosa

La suposición de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor de 180^\circ conduce a una geometría curiosa, completamente diferente a la nuestra, pero totalmente consistente, que he desarrollado a mi entera satisfacción.

Carl Friedrich Gauss

Fuente: INFINITUM. Citas matemáticas

Y la suposición de que esa suma es mayor de 180^\circ también. En el quinto postulado podéis ver algo sobre el tema. Y aquí otra cita sobre este tema.

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Producto con cosenos

Semanas difíciles estas últimas por varias cosas. De todas formas pronto volverán a aparecer con la frecuencia habitual artículos más largos y elaborados. Mientras tanto os dejo con el problema de la semana:

Para cada natural n \ge 3 calcular:

\displaystyle{\prod_{k=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}} \left (3+2 cos(\cfrac{2k \pi}{n}) \right )

El límite superior del producto es la parte entera de \textstyle{\frac{n-1}{2}}.

A por él.

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