Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto

Sive, en este comentario, ha dado una demostración informática de que un número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto. En este post voy a dar yo una más matemática.

Definición

Un número de Mersenne es un número M de la forma M=2^n-1, con n\in\mathbb{N}.

Teorema

Todo número de Mersenne M=2^n-1 con n compuesto es también compuesto.

Demostración

Si n es compuesto se puede descomponer como producto de al menos dos factores mayores que 1. Supongamos entonces n=p \; q, con p,q > 1.

Sabemos que a^m-b^m=(a-b) \; (a^{m-1}+a^{m-2} \; b+ \ldots +a \; b^{m-2}+b^{m-1}). Además 2^n=2^{p \;q}=(2^p)^q. Tomando a=2^p y m=q en la igualdad anterior se tiene el resultado:

(2^p)^q-1=(2^p)^q-1^q=(2^p-1) \; ((2^p)^{q-1}+(2^p)^{q-2}+ \ldots +2^p+1)

Es decir, 2^{pq}-1 tiene al menos dos factores mayores que 1 y, por tanto, es compuesto.

¿Qué pasa si n es primo? Pues que sus únicos divisores son 1 y el propio n. Por tanto, utilizando la igualdad anterior obtendríamos:

2^n-1=2^n-1^n=(2-1) \; (2^{n-1}+2^{n-2}+ \ldots +2+1)=2^{n-1}+2^{n-2}+ \ldots +2+1

número éste que podría ser primo o no. Por eso 2^n-1 sólo puede ser primo si n lo es.

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Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 45

El día 23 de agosto el grupo GIMPS recibió el aviso del descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, número que todavía no han hecho público. Los primos de Mersenne (como ya vimos en posible descubrimiento del 44) son los números primos de la forma 2^n-1, con n un número primo. El mayor conocido hasta ahora es precisamente el número 44:

2^{32582657}-1

Éste rozó los 10 millones de cifras (concretamente 9808358), y se esperaba que el próximo en ser encontrado las superara. Pues tendremos que esperar unos días, al parecer unas dos semanas, para 1) que se verifique que el número encontrado es primo; y 2) en ese caso saber el número de cifras.

En God Plays Dice, sitio donde he visto la noticia, han publicado su predicción sobre el número de cifras y, aunque está ciertamente fundamentada, a mí me parece muy grande. Paso a explicarla:

Según la enciclopedia de las sucesiones, el número de primos de Mersenne hasta el de exponente N es aproximadamente K \; \log(N), para cierta constante K.

En el caso de primo de Mersenne número 44, 44 \approx K \; \log(32582657). Despejando obtenemos K=2,5434. Utilizando ese valor de K para el primo de Mersenne número 45 obtendríamos que tiene ¡¡14,5 millones de cifras!!.

Lo que he dicho antes, me parece demasiado.

De todas formas habrá que estar atentos a las noticias sobre el tema en los próximos días.

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Raro raro

El descubrimiento de un fragmento de las matemáticas que cuadra con el mundo de una forma nueva es un raro acontecimiento.

Ted Bastin

INFINITUM. Citas matemáticas

Si el LHC ayuda a comprobar la relación entre E_8 y una teoría unificadora del universo tendremos otro raro acontecimiento (probablemente el más raro) de los que nos habla Bastin.

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Olimpiada Internacional de Matemáticas 2008 – Problema 5: Calcula la razón

Quinto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Sean n y k enteros positivos tales que k¸ n y k - n es par. Se tienen 2n lámparas numeradas 1, 2, \ldots , 2n cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).
Sea N el número de sucesiones de k pasos al cabo de los cuales las lámparas 1,2, \ldots , n quedan todas encendidas y las lámparas n + 1, \ldots , 2n quedan todas apagadas.
Sea M el número de sucesiones de k pasos al cabo de los cuales las lámparas 1,2, \ldots , n quedan todas encendidas y las lámparas n + 1, \ldots , 2n quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.
Calcular la razón \cfrac{N}{M}.

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Resultados del concurso "Logo para Gaussianos"
Ago21

Resultados del concurso "Logo para Gaussianos"

Como sabéis el mes pasado convoqué un concurso para la creación de un logo para Gaussianos. El plazo que di fue hasta el 15 de agosto, es decir, el viernes pasado. Durante este tiempo he recibido varias propuestas, diez concretamente. Os dejo la lista de las personas que han colaborado:

Alpoma
bluff
Sergio
Merfat
Alpha
Piponauta
Jesús
Bootiz
Ever Salazar
Kaito

Algunas de ellas han sido sencillas y otras muy elaboradas. De hecho son varias las que me han gustado. Pero como en todo concurso debe haber un ganador, y en este caso ha sido…

Alejandro Polanco (http://www.alpoma.net)

Su propuesta ha sido la siguiente:

Banner principal

Banner principal de Gaussianos

El primer banner tenía el fondo gris y las letras en blanco, pero al final se modificó para que quedara así.

Favicon

Favicon de Gaussianos

En principio la idea es colocar el logo sin el subtítulo de la izquierda. Y ahí es donde volvéis a entrar vosotros. En estos momentos hay tres propuestas para el logo (con texto plano, sombreado y con relieve) y me gustaría que me ayudarais a decidir. Por eso os dejo una encuesta, para que me digáis cuál os gusta más. Aquí os dejo los logos:

Texto plano

Logo con texto plano

Texto sombreado

Logo con texto sombreado

Texto con relieve

Logo con texto en relieve

Y aquí la encuesta:

De todas formas quiero comentar que el logo no es 100% definitivo. Podría ser que sufriera alguna modificación o alguna mejora con el tiempo. Os mantendré informados si hay alguna novedad.

Por otra parte, como ya comenté en el post sobre el concurso en principio no tenía pensado ofrecer ningún premio. Aunque puede que cambie de idea. Tengo algo en mente que ni siquiera el ganador sabe. También comentaré algo sobre ello más adelante.

Y para terminar simplemente agradecer a todos los participantes el interés que han mostrado con el tema y el tiempo que han invertido en ello. Siempre respondéis a mis propuestas, y eso es de agradecer. Muchísimas gracias.

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