Tres equis

Bombín es a Bombón
como Cojín es a EQUIS
Me importan 3 EQUIS
que me cierren la edición.

Supuesta portada de la revista La Codorniz.

Y digo supuesta ya que parecía que era así…pero al final es una leyenda urbana. De todas formas no deja de ser curiosa la frase.

Gracias Tito Eliatron.

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Suma de raíces

Después de un fin de semana de viaje (los dardos han ocupado mi tiempo estos días) y un problema con Jazztel anoche (no me dejó conectar) os dejo el problema de la semana:

Sea un polinomio P(z) en la variable compleja z, de grado exacto n y con coeficientes complejos. Supongamos que sus n raíces a_1, \ldots ,a_n son simples (distintas dos a dos) y sean b_1, \ldots ,b_{n-1} las raíces del polinomio derivado P^\prime (z). Calcular el valor de la siguiente suma:

\displaystyle{S= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n-1} \cfrac{1}{a_i-b_j}}

A por él.

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Avanzando con notación

Gracais al simbolismo avanzamos en el razonamiento casi mecánicamente, sólo con la mirada; sin él tendríamos que utilizar centros más especializados del cerebro. Una buena notación nos libera del trabajo innecesario y nos permite concentrarnos en los aspectos más difíciles de los problemas.

Alfred North Whitehead

INFINITUM. Citas matemáticas

Qué razón tiene Whitehead. Un ejemplo es la notación \epsilon - \delta para el análisis. ¿Qué más ejemplos se os ocurren?

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Construyendo un cubo

Joan nos envía este problema que al parecer se planteó en las Oposiciones de 2008 en la Comunidad de Madrid. Nos pide ayuda para una amiga suya. Ahí va:

Con dados de 1 cm de arista se construye un cubo sólido de 4cm de arista y se pinta de negro toda la superficie del cubo así construido. Se deshace el cubo y cogiendo los dados al azar sin mirarlos se construye de nuevo. Calcular la probabilidad de que en el nuevo cubo figure, al menos, una cara blanca.

Vamos a por él.

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El teorema de Wilson

Introducción

El teorema de Wilson es un resultado de teoría de números relacionado con la primalidad de un número entero positivo. Fue atribuido a John Wilson por su profesor Edward Waring. Éste último comentó que Wilson había dejado anotado este resultado en un cuaderno pero que no lo había demostrado (os suena esta historia, ¿verdad?). El propio Waring tampoco pudo hacerlo y tuvo que ser Lagrange en 1771 quien dio la primera prueba.

En esta entrada vamos a dar una sencilla demostración que utiliza propiedades más o menos elementales de teoría de números.

El teorema de Wilson

Teorema: Sea p un número entero mayor que 1. Entonces p es primo si y sólo si

(p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p)

Demostración:

De forma sencilla puede comprobarse que este resultado es cierto para p=2 y para p=3. Supongamos entonces que p > 3.

Para demostrar la implicación de derecha a izquierda (si (p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p) entonces p es primo) vamos a demostrar su contrarrecíproco, es decir, vamos a demostrar que si p es compuesto entonces no se cumple esa igualdad:

\Longleftarrow) Supongamos que p es compuesto. Entonces sus divisores positivos se encuentran entre los enteros 1,2, \ldots ,p-1. Por tanto es claro que mcd ((p-1)!,p >1$. En particular p tiene algún divisor d > 1.

Supongamos ahora que el resultado es cierto, es decir, que (p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p). Como d divide a p entonces d también divide a (p-1)! y, por la congruencia, d divide a (p-1)!+1. Por tanto d divide a 1, hecho que nos lleva a una contradicción con la condición d >1. En consecuencia la implicación de derecha a izquierda es cierta.

\Longrightarrow) Supongamos ahora que p es primo. Por tanto todos los enteros 1,2, \ldots , p-1 son primos relativos con p. Por otra parte ese conjunto de números forma un grupo con la multiplicación, en concreto el grupo \mathbb{Z}_p de los enteros módulo p (en realidad, al ser p primo ese conjunto es un cuerpo, pero ahora sólo nos interesa su condición de grupo con esa operación). Entre otras cosas eso significa que para todo a \in \mathbb{Z}_P existe un único b \in \mathbb{Z}_p tal que a \cdot b \equiv 1 \; (mod \; p). También por ser p primo se tiene que a=b si y sólo si a=1 ó a=p-1, es decir, 1 y p-1 son inversos el uno del otro. Por tanto para cualquier otro elemento del grupo distinto de éstos se tiene que su inverso también es distinto de éstos. En consecuencia podemos agrupar el resto de elementos por parejas (cada uno junto a su inverso) para que se cumpla lo siguiente:

2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p-2 \equiv 1 \; (mod \; p)

Esto es, (p-2)! \equiv 1 \; (mod \; p). Multiplicando ahora a ambos lados por (p-1) y utilizando que p-1 \equiv -1 \; (mod \; p) obtenemos el resultado buscado.

Utilidad del teorema

El teorema tiene principalmente valor teórico ya que en la práctica es relativamente complicado calcular (p-1)! para valores grandes de p. Por eso generalmente antes que este teorema suelen usarse otros tests de primalidad, como el pequeño teorema de Fermat.

De todas formas es útil para generar a partir de él fórmulas de primos, es decir, fórmulas que generar números primos (en Gaussianos ya vimos algo así con los números primos pseudogemelos). Aunque, como en el caso anterior, suelen ser fórmulas poco prácticas por lo costoso que es calcular (p-1)! para p muy grande.

De todas formas, como dije antes, la belleza del resultado reside en su valor teórico. Y algunas, en ocasiones, tenemos suficiente con ello.

Fuentes:

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