Cuidado con el arXiv (II)

En Gaussianos ya hemos visto que hay que tener cuidado con el arXiv. Nuestro amigo Acho me manda un mail a través de nuestro nuevo formulario de contacto en el que me habla sobre otro artículo que sigue la línea del que ya publiqué.

En este caso es un tal Laurent Germain cree haber demostrado que el cardinal de los números naturales y el cardinal de los números reales es el mismo (aquí podéis ver el artículo). Vamos, que si Cantor levantara la cabeza y viera el artículo del señor Germain y el de los Vlahovic (los autores del artículo del que hablé hace un tiempo) se volvía a morir del susto. Pero no porque pudiera temer por la validez de su demostración, sino por la forma de trabajar de estos señores.

Yo puedo entender que alguien dude sobre si cierto teorema es cierto o falso, ya que hay muchos resultados en matemáticas que atentan contra el sentido común. Lo que creo que uno no puede hacer es intentar refutar un teorema sin hacer ningún tipo de referencia a su demostración. El señor Germain, en el artículo que ha publicado, no hace referencia a la demostración de Cantor. Bueno, en realidad sí hace referencia a la misma, pero dándole validez:

We know that the set of integers is infinitely countable and that its cardinality is \aleph_0. Cantor proved in 1891 with the diagonal argument that the set of real numbers is uncountable and that there cannot be any bijection between integers and real numbers.

Traducción aproximada:

Sabemos que el conjunto de los naturales (habla de enteros pero en realidad trabajo en todo momento con los naturales) es infinito numerable y que su cardinal es \aleph_0. Cantor probó en 1891 con el argumento diagonal que el conjunto de los números reales es no numerable y que no hay ninguna biyección entre los naturales y los reales.

Creo que lo mejor hubiese sido comenzar el trabajo mostrándonos el error de esta demostración de Cantor. Debe haberlo si es verdad que hay un contraejemplo, y si no lo hay uno debería dudar de su hallazgo. Pero no. Lo que hace es construir algo que para él nos lleva a la conclusión contraria a la que nos lleva el trabajo de Cantor. Me explico:

Cantor demostró que no existe ninguna aplicación biyectiva entre los naturales y los reales. Germain contruye una aplicación biyectiva entre estos dos conjuntos.

Si esa aplicación estuviera bien definida y fuera biyectiva la demostración de Cantor debería tener algún error. Si no lo tiene, ¿cómo puede ser que esta aplicación sea válida?

No me voy a meter en consideraciones técnicas, ya que en Good Math, Bad Math han explicado muy bien por qué la demostración no es correcta. Y al parecer el error va en la misma línea que el que cometieron los Vlahovic.

Conclusión: no intentéis demostrar que el cardinal de los naturales es igual al de los reales, porque no es así. Como tampoco deberíais intentar demostrar que \pi es racional o que se puede cuadrar un círculo, duplicar un cubo o trisecar un ángulo con regla y compás. Suficiente gente hay ya perdiendo el tiempo en esto, no lo perdáis vosotros.

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Demasiado general

Este principio es tan general que no es posible aplicarlo a ningún caso particular.

George Pólya

INFINITUM. Citas matemáticas

Curiosa paradoja la que muestra esta frase de George Pólya, matemático húngaro que ya apareció por Gaussianos hace un tiempo.

Por cierto, si alguien se anima puede añadir esta cita a la página de la Wikipedia española dedicada a Pólya y crear la página La conjetura de Pólya a partir del artículo de Gaussianos que he enlazado y la correspondiente de la Wikipedia inglesa. Si lo hace alguien que lo cuente en un comentario.

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Problema sobre q-enteros

Nuestro amigo vengoroso me envió hace un tiempo un problema que os planteo hoy a vosotros:

Llamamos números q-enteros a los polinomios:

\left [ n \right ] = 1+q+q^2+ \ldots q^{n-1}

Con estos números podemos construir, por ejemplo, los q-factoriales:

\left [ n \right ] != \left [ n \right ] \cdot \left [ n-1 \right ] \cdot \ldots \cdot \left [ 2 \right ] \cdot \left [ 1 \right ]

También podemos construir los números q-combinatorios:

\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = \cfrac{\left [ n \right ] !}{\left [ k \right ] ! \; \left [ n-k \right ] !}

A partir de aquí planteamos varias preguntas:

  1. Demostrar que \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} es un polinomio (y no sólo una función racional).
  2. Si fijamos q un número natural que sea potencia de un primo y consideremos F_q el cuerpo finito con q elementos, demostrar que el conjunto de todos los subespacios vectoriales de dimensión k dentro de (F_q)^n tiene exactamente \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} elementos.
  3. Hallar el polinomio de Taylor de la función N_{n,k}(q)= \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} en un entorno de q=1.

A por él.

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El teorema de las circunferencias tangentes de Descartes
Ene26

El teorema de las circunferencias tangentes de Descartes

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en enviar alguna colaboración, consulta, etc., utiliza esa dirección de correo electrónico.

Introducción

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En una carta de fecha 29-11-1643, dirigida a la princesa Isabel de Bohemia, Descartes enuncia el resultado que relaciona los radios de cuatro circunferencias tangentes entre sí, conocido hoy como teorema de las circunferencias de Descartes.

El apéndice 3 (pdf, 206Kb) de esta edición de la correspondencia de 1643 es un artículo bastante informativo sobre el intercambio de cartas entre Descartes e Isabel de Bohemia sobre este tema.

Descartes afirmó el resultado sólo para el caso en el que las cuatro circunferencias sean tangentes exteriormente entre sí, pero hoy se enuncia el teorema incluyendo el caso en el que una de las circunferencias contenga a las otras de la siguiente forma:

Sean C_i \ (i=1,2,3,4) cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres,
y sea r_i el radio de C_i.

Entonces si \epsilon_i = \dfrac{1}{r_i} cuando las otras circunferencias son tangentes exteriormente a C_i, y \epsilon_i = -\dfrac{1}{r_i} si las otras circunferencias son tangentes interiormente a C_i, resulta que

 2( \epsilon_1^2 +\epsilon_2^2 +\epsilon_3^2 +\epsilon_4^2) = ( \epsilon_1 +\epsilon_2 +\epsilon_3 +\epsilon_4)^2

La demostración que sigue está tomada de Coxeter, “Introduction to Geometry”, y es del matemático aficionado Philip Beecroft (publicada en The Lady’s and Gentleman’s diary, 1841).

La circunferencia que pasa por los puntos de tangencia

Si P_1, P_2, P_3 son los puntos de tangencia de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, tenemos que  O_1P_2 es igual all semiperímetro de \triangle O_1O_2O_3 menos el lado opuesto a O_1, y análogamente para los otros radios, y por tanto P_1, P_2, P_3 son los puntos de contacto del círculo inscrito en \triangle O_1O_2O_3 con los lados.
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Si en cambio dos de las circunferencias son tangentes interiormente a la circunferencia de centro O_1, y O_1O_2O_3 no están alineados, entonces O_1P_2 es el semiperímetro de \triangle O_1O_2O_3, O_2P_1 es el semiperímetro menos el lado O_1O_2 y O_3P_1 es el semiperímetro menos el lado O_1O_3. Por tanto en este caso los puntos P_1, P_2, P_3 son los puntos de tangencia del círculo exinscrito (de \triangle O_1O_2O_3) opuesto a O_1 con los lados.

Obtenemos entonces el radio r de la circunferencia que pasa por los tres puntos de tangencia de tres circunferencias mutuamente tangentes de radios r_1, r_2, r_3 , usando las fórmulas que dan el radio de los equicírculos a partir de los lados.

En el primer caso tenemos \dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{r_1r_2} +\dfrac{1}{r_1r_3} +\dfrac{1}{r_2r_3} , y en el segundo caso \dfrac{1}{r^2}= -\dfrac{1}{r_1r_2} - \dfrac{1}{r_1r_3} +\dfrac{1}{r_2r_3} . Haciendo \eta = \dfrac{1}{r} y | \epsilon_i | = \dfrac{1}{r_i}, y \epsilon_i negativo si la correspondiente circunferencia contiene a los demás, se cumple siempre que \epsilon_1\epsilon_2 +\epsilon_1\epsilon_3 +\epsilon_2\epsilon_3 = \eta^2 .

En el caso de que O_1O_2O_3 estén alineados o de que una de las tres ‘circunferencias’ originales sea una recta se cumple también esta relación, haciendo cero el valor de la curvatura \epsilon_i \ o \ \eta si la ‘circunferencia’ correspondiente es una recta.

En lo que sigue asumimos que una recta es una circunferencia de curvatura cero.

Como la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia P_1, P_2, P_3 es tangente a los lados de \triangle O_1O_2O_3, esa circunferencia es ortogonal a las tres circunferencias tangentes, es decir corta en ángulos rectos a esas circunferencias.

Familias ortogonales de circunferencias tangentes

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Sea C_1, C_2, C_3, C_4 una familia de cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres.

Si K_1 es la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de C_2, C_3, C_4, K_2 la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de C_1, C_3, C_4 , etc, tenemos otra familia de cuatro circunferencias, K_1, K_2, K_3, K_4, que también serán cada de ellas tangente a las otras tres (pues cada circunferencia de esta familia corta ortogonalmente a las circunferencias de la primera familia).

Los 6 puntos de tangencia de las dos familias de cuatro circunferencias son los mismos, y si trazamos las circunferencias que pasan por los puntos de tangencia de cada subconjunto de tres circunferencias de la segunda familia de circunferencias, obtenemos las circunferencias de la primera familia.

Si \epsilon_i \ (i=1..4) son las curvaturas con signo de los C_i (los inversos de los radios, con el convenio de que es negativa cuando la circunferencia correspondiente contenga a los demás) y \eta_i las curvaturas con signo de los K_i, la fórmula anterior da \epsilon_1\epsilon_2 +\epsilon_1\epsilon_3 +\epsilon_2\epsilon_3 = \eta_4^2 , \eta_1\eta_2 +\eta_1\eta_3 +\eta_2\eta_3 = \epsilon_4^2 , y permutando índices, expresiones para los otros \epsilon_i y \eta_i.

Más relaciones entre las curvaturas

Tenemos entonces \displaystyle \left(\sum_{i=1}^4 \epsilon_i \right)^2 = \sum_{i=1}^4 \epsilon_i^2 + \sum_{i=1}^4 \eta_i^2 = \left(\sum_{i=1}^4 \eta_i \right)^2 , y por tanto \displaystyle \sum_{i=1}^4 \epsilon_i = \sum_{i=1}^4 \eta_i ,

(Puesto que \sum \epsilon_i y \sum \eta_i son positivos, porque como mucho un solo término de cada suma es negativo y ese término es el menor en valor absoluto).

También  \left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4\right)\left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4\right) =  \left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3\right)^2 - \epsilon_4^2 =  \epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2  +2\eta_4^2 - \epsilon_4^2

De las expresiones para los \epsilon_i^2 en función de los \eta_i obtenemos \epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2 - \epsilon_4^2 = 2(\eta_1\eta_4 +\eta_2\eta_4 +\eta_3\eta_4).

Entonces  \left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4\right)\left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4\right) = 2\eta_4( \eta_1 +  \eta_2 +  \eta_3 +  \eta_4) =  2\eta_4( \epsilon_1 +  \epsilon_2 +  \epsilon_3 +  \epsilon_4) .

Por tanto \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4 = 2\eta_4 , es decir 2(\eta_4 + \epsilon_4) = \sum \epsilon_i .

Y simétricamente  \epsilon_1 + \eta_1 =\epsilon_2 + \eta_2 =\epsilon_3 + \eta_3 =\epsilon_4 + \eta_4 = \sum \epsilon_i/2 = \sum \eta_i/2 .

El teorema de Descartes

Elevando al cuadrado los dos lados de las cuatro relaciones \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4 = 2\eta_4
y sumando, tenemos que \sum \epsilon_i^2 = \sum \eta_i^2 , y como \left(\sum \epsilon_i \right)^2 = \sum \epsilon_i^2 + \sum \eta_i^2 , resulta la fórmula de Descartes:

\left(\sum \epsilon_i \right)^2 = 2\sum \epsilon_i^2.

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Pequeños cambios en Gaussianos

Escribo este post simplemente para informaros de unos pequeños cambios que he introducido en Gaussianos:

  • He modificado la sección ¿Quiénes somos?. Ahora utilizo una plantilla (gracias Fran) y el contenido de la página ha variado algo.
  • He añadido una sección de contacto específica (antes la información de contacto estaba en la página ¿Quiénes somos?). Para contactar conmigo os he dejado un formulario muy sencillito.
  • He añadido un enlace a la entrada sobre Escribir fórmulas con LaTeX en WordPress, donde podéis encontrar información sobre el tema y descargar el plugin necesario.

Espero que los cambios sean de vuestro agrado. Se agradecen todo tipo de sugerencias.

Edito: Por cierto, que no lo he dicho. El nuevo formulario de contacto podéis colocarlo vosotros mediante el plugin contact coldform traducido al español por Ayuda WordPress.

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