El momento clave

Cuando comienzas de verdad a convertirte en un matemático el momento clave es cuando te das cuenta que tienes que dejar de leer libros. Tienes que crearlos. Tienes que convertirte en una autoridad por ti mismo.

Vía Microsiervos.

Yo creo que todavía no he llegado a ese punto, pero igual está más cerca de lo que yo mismo pienso. ¿Alguno de vosotros ha llegado a su momento clave? Queremos pruebas.

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Uno de Fibonacci, otro de integrales

Esta semana os dejo dos problemitas que, aunque no tienen relación, pueden ser interesantes:

  1. Demostrar que no existen triángulos cuyos lados sean números de Fibonacci distintos.
  2. Sea f:\;[0,1] \to \mathbb{R} una función continua. Calcular:

    \displaystyle{\lim_{n\to \infty} \int_0^1 \frac{n\cdot f(x)}{1+n^2\cdot x^2}dx}

A por ellos.

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Cómo resolver ecuaciones diofánticas

Este artículo ha sido promovido en Menéame. Si te ha gustado y quieres votarlo entra aquí y menéalo.

Motivación

Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?

Vamos a plantearlo:

\{trajes \; negros \}=x
\{trajes \;grises \}=12-x

\{precio \; de \; un \; traje \; gris \}=y
\{precio \; de \; un \; traje \; negro \}=y+30

La ecuación queda:

x(y+30)+(12-x)y=1200

Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:

30x+12y=1200

Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.

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¿Cómo se construyen los mapas terrestres?
Sep24

¿Cómo se construyen los mapas terrestres?

Introducción

En el artículo sobre la proyección estereográfica de hace unos días vimos una forma de proyectar una esfera menos un punto (el que llamamos polo Norte) sobre un plano. Tomando la Tierra como la esfera con esta proyección habríamos construido un mapa plano de nuestro planeta de forma bastante sencilla. Pero esta construcción plantea dos preguntas principales:

  1. ¿Es ésta la única proyección útil para la construcción de mapas?

    La respuesta es no. Hay otros muchos tipos de proyecciones que se utilizan con este fin. En este artículo veremos algunas de ellas.

  2. ¿Es ésta la proyección que se utiliza en la actualidad para la construcción de mapas?

    En este caso la respuesta también es no. Lo veremos en el transcurso del artículo.

Distintos tipos de proyecciones

Podemos decir que una proyección cartográfica (o proyección geográfica) es una forma de representar los puntos de la Tierra (superficie curva) sobre un mapa (superficie plana). Para obtener una aproximación plana perfecta de nuestro planeta dicha proyección debería cumplir dos características: conservar áreas y conservar ángulos (es decir, que las áreas y los ángulos que se dan en la realidad se mantuvieran en nuestro mapa). Por desgracia esto es imposible, no podemos encontrar una proyección que cumpla las dos características en su totalidad. Por ello, en la práctica suelen utilizarse soluciones intermedias.

Aunque tengamos este problema es interesante enumerar y analizar los distintos tipos de proyecciones que podemos construir. Una clasificación es la siguiente:

  • Proyección cilíndrica
    Proyección cilíndrica
    Esta construcción consiste en proyectar la superficie de la esfera terrestre sobre un cilindro que es tangente a ella en el ecuador. Algo así como meter la Tierra en un cilindro cuyo radio es el mismo que el de ésta e inflarla hasta que ocupe toda la superficie interior del mismo. Después se corta longitudinalmente el cilindro, obteniendo así nuestro mapa.

    Este tipo de proyección conserva los ángulos, pero no conserva las áreas. En concreto aumenta las áreas conforme nos alejamos del ecuador hacia cualquiera de los dos polos. La más conocida es la proyección de Mercator.

  • Proyección cónica
    Proyección cónica
    Esta construcción se realiza proyectando la superficie terrestre sobre uno o varios conos tangentes a la misma situando el/los vértice(s) del cono en la recta que une los dos polos de la Tierra. Como acabamos de decir en algunas de ellas se utiliza un cono y en otras se utilizan varios. Además estas proyecciones también se distinguen por utilizar uno o dos paralelos secantes (entre la esfera y el cono). No suelen conservar las áreas, aunque algunas sí conservan los ángulos.

    La más importante es la proyección cónica de Lambert.

  • Proyección azimutal o cenital
    Proyección azimutal
    Este tipo de proyecciones consisten en proyectar la superficie terrestre sobre un plano tangente a ella tomando como base un punto interior o exterior al globo terráqueo. Hay distintos tipos según se tome el punto dentro o fuera de la esfera terrestre. Por otra parte, no tenemos asegurado ni que conserve las áreas ni que mantenga los ángulos, aunque en algunas sí ocurre esto último.

    A este grupo es al que pertenece la proyección estereográfica.

  • Proyecciones modificadas

    En la práctica suelen utilizar modificaciones de algunas de las proyecciones comentadas o combinaciones de las mismas para intentar corregir en la medida de lo posible los errores introducidos por cada una de ellas. En este artículo de la Wikipedia podéis ver algunas de ellas.

Proyecciones geográficas más habituales

En esta parte del artículo vamos a comentar algunas de las proyecciones geográficas que se utilizan más comúnmente a la hora de construir mapas terrestres.

  • Proyección de Mercator
    Proyección de Mercator
    La proyección de Mercator posiblemente sea la más conocida de todas las proyecciones cartográficas. Toma su nombre de su creador, Gerardus Mercator, quien la ideó en 1569. La construcción de esta proyección supuso una auténtica revolución en el mundo de la cartografía, pasando a ser muy utilizada en la navegación marítima. De hecho en la actualidad todavía se usa dada la facilidad con la que se pueden calcular rutas marítimas con ella.

    Su principal problema es que al ser una proyección cilíndrica distorsiona mucho las áreas y las formas conforme nos acercamos a los polos (por ejemplos, Groenlandia parece tener el mismo tamaño que África, cuando en realidad ésta es 14 veces mayor que aquélla).

  • Proyección cilíndrica equidistante
    Proyección cilíndrica equidistante
    Esta proyección representa los paralelos como rectas horizontales y los meridianos como rectas verticales. Al no conservar ni las áreas ni los ángulos no suele utilizarse en cartografía, aunque es muy utilizada en aplicaciones informáticas al presentar una interesante correspondencia entre píxeles y posición geográfica.
  • Proyección estereográfica
    Proyección estereográfica
    Como hemos comentado, sobre esta proyección ya nos habló fede hace un par de días. Su principal utilidad es representar zonas polares. En ella los meridianos son líneas rectas (que salen del mismo punto, azimut) y los paralelos son arcos de círculo.

    Como nos demostró fede en el artículo citado anteriormente, esta proyección conserva los ángulos.

  • Proyección azimutal de Lambert
    Proyección azimutal de Lambert
    Debemos esta proyección cartográfica al matemático Johann Heinrich Lambert, quien la publicó en 1759, mejorando la misma en una edición posterior, concretamente en 1774.

    Esta proyección no conserva los ángulos, pero en ella las distancias si son proporcionales a las reales, por lo que se suele utilizar para realizar mapas de países, continentes…

    La distorsión es cero en el centro de la proyección y va aumentando conforme nos alejamos de éste. Los mapas creados con la proyección azimutal de Lambert carecen de perspectiva.

  • Proyección azimutal equidistante
    Proyección azimutal equidistante
    En esta proyección las distancias y las direcciones medidas desde el centro del mapa son verdaderas, pero el resto de distancias son todas erróneas. La distorsión de las áreas y las formas crece enormemente conforme nos alejamos del centro.
  • Proyección ortográfica
    Proyección ortográfica
    Esta proyección consiste en representar parte de la superficie terrestre en un plano mediante proyección ortogonal. Suele utilizarse para representar uno de los hemisferios (es lo máximo a lo que podemos aspirar) y representa la imagen de la Tierra desde un punto muy lejano. Algo así como una fotografía de nuestro planeta desde el espacio.

    Esta proyección no mantiene ni áreas ni ángulos.

Bonus

Para rematar el artículo os dejo un enlace en el que nos encontramos un applet de java con el que podemos jugar con distintas proyecciones (las comentadas en este artículos y algunas otras) y ver qué mapas terrestres se obtienen con cada una de ellas. Ahí va:


Fuentes:

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¿Sólo por la profecía?

Para la hesecución de la empresa de las Indias no me aprovechó rasón ni matemática ni mapamundos; llenamente se cumplió lo que diso Isaías.

Cristóbal Colón

INFINITUM. Citas matemáticas

Pues tampoco será eso don Cristóbal, seguro que las matemáticas y los mapas tuvieron algo que ver, aunque su descubrimiento tenga cierto tinte de casualidad. ¿Qué pensáis?

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