El más importante

La probabilidad es el concepto más importante de la ciencia moderna, especialmente porque nadie tiene la más ligera idea de su significado.

Bertrand Arthur William Russell

INFINITUM. Citas matemáticas

Pero no solamente en la época del señor Russell. Bajo mi punto de vista el desconocimiento sobre probabilidad existente es demasiado grande. ¿Qué pensáis? ¿En qué puede influirnos este hecho?

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El promedio de sus vecinos

Os dejo el problema de esta semana:

Sea \{a_{ij}\}_{i, j \in\mathbb{Z}} una familia de números reales pertenecientes a [0,1], tal que cada a_{ij} coincide con el promedio de sus cuatro vecinos, es decir,

a_{ij}=\cfrac{a_{i+1, j}+a_{i-1, j}+a_{i, j+1}+a_{i, j-1}}{4}, \quad \forall i, j \in\mathbb{Z}.

Demostrar que a_{ij}=a_{0,0}, \forall i, j\in\mathbb{Z}.

Ánimo y a por él.

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La función de Weierstrass

Este artículo es una colaboración de daniel enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Hace ya un tiempo os hablé de algunas funciones extrañas. Entre ellas estaba la función de Weierstrass, continua en todos los números reales pero no derivable en ninguno de ellos. La demostración sobre la continuidad es sencilla, pero la de la no derivabilidad no lo es tanto. Nuestro amigo Daniel se ha encargado de enviarme una basada en la original de Weierstrass y yo me voy a encargar de mostrarla.

La función de Weierstrass

Para empezar vamos a recordar la definición de la función de Weierstrass:

f: \; \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

f(x)= \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b^n cos(a^n \pi x)}, \; \forall x\in\mathbb{R} (1)

donde a,b \in \mathbb{R} con 0 < b < \textstyle{\frac{1}{10}}[/latex] y [latex]ab > 1+7 \pi.

No es difícil ver que esta función es continua en todos los números reales (lo podéis intentar como ejercicio y escribirlo en los comentarios), pero:

Teorema:

La función f definida anteriormente no es derivable en ningún punto de su dominio.

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El número más grande

Hoy os voy a proponer un juego tipo el problema de los cuatro cuatros y el problema de los tres nueves. Es decir, un juego en el que debemos realizar construcciones de números con unos símbolos y unas operaciones concretas. Pero no va a ser igual que los que acabo de citar. En ellos se pedía formar unos números concretos mediante ciertas reglas. Ahora no. Vamos a presentar las normas del juego:

El juego El número más grande consiste en lo siguiente:

Debéis formar el mayor número posible con los números 1,2,3 y 4, utilizando los paréntesis, el punto decimal (por ejemplo, .1 simbolizaría 0.1 y sería una expresión correcta) y el signo menos. La potenciación también está permitida, ya que con la forma en que se expresa no se añade ningún símbolo (por ejemplo 2^3 es una expresión correcta).

Podéis utilizar los paréntesis, el signo menos y la potenciación varias veces, pero los números deben aparecer exactamente una vez.

Espero muchas y muy variadas respuestas a cargo de la gran cantidad de mentes pensantes que visitan diariamente este blog. A por ello.

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Que quede claro de una vez

Dos rectas no pueden intersectarse, pero sí pueden intersecarse. Y una matriz nunca podrá ser inversible, pero si su determinante es distinto de cero es seguro que será invertible.

Miguel Ángel Morales Medina

Aunque no es exactamente una cita he querido dejar constancia de este hecho para intentar mejorar la manera en la que nos expresamos los matemáticos. Me he encontrado con las palabras intersectarse e inversible muchísimas veces, tanto en boca de mis profesores como en documentos y en libros, por lo que en un principio pensaba que estaba equivocado. Para confirmarlo acudí al diccionario de la RAE y comprobé que no, que estaba en lo cierto. Las palabras intersectarse e inversible sencillamente no existen. Así que ya sabéis, si sois de las que las usáis ya podéis borrarlas de vuestro vocabulario y sustituirlas por las correctas.

Porque los matemáticos también debemos expresarnos correctamente.

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