Monstruos numéricos
Ene28

Monstruos numéricos

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Introducción

La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.

Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.

Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.

Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.

Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales.

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Aleatoriedad sin azar

La generación de números aleatorios es una cuestión demasiado importante para dejarla al azar.

Donald Knuth

INFINITUM. Citas matemáticas

Curiosa frase, paradójica en cierto sentido, del protagonista de nuestro artículo de ayer.

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La notación de Knuth, o cómo escribir ciertos números sin morir en el intento

Introducción

Los seres humanos tenemos 2 ojos, 5 dedos en cada mano y cada pie y la esperanza de vida en España ronda los 80 años actualmente. Un euro tiene 100 céntimos y un mileurista cobra 1000 euros mensuales. Podemos tener un coche de 12000 euros y una vivienda que nos cueste 200000 y ha habido semanas en las que el premio para la primera categoría del Euromillón ha rondado los 70 millones de euros (70000000 €).

Todas esas cantidades pueden ser escritas utilizando la notación habitual. Pero es evidente que cuanto mayor es el número esta forma de escribirlos se hace cada vez más engorrosa. Por suerte tenemos la potencias, gran arma para simplificar la escritura de ciertos números grandes.

Por ejemplo, si quisiéramos escribir la edad de la Tierra deberíamos escribir este número:

4550000000

que es la cantidad (en años) que se estima como edad de nuestro planeta. Utilizando las potencias la forma de escribirlo es más corta:

4,55 \cdot 10^9

Para esta cantidad puede que todavía no se perciba en toda su magnitud la utilidad de las potencias para esta tarea. Probemos con otra. Para escribir el número de átomos que se estima que hay en la Tierra tendríamos que escribir un 1 seguido de 51 ceros. Es decir, un número que ya tiene una cierta magnitud y, por qué no decirlo, bastante engorroso de escribir de la manera habitual. Nuestras amigas las potencias nos ayudan a simplificar esta tarea:

10^{51}

Hemos escrito el mismo número pero, como es evidente, de una forma bastante más cómoda.

Otro ejemplo más. A estas alturas casi todo sabréis qué es un googol. Sí, exacto, un 1 seguido de cien ceros. Escribir este número con la notación habitual alcanza ya el nivel de tarea insufrible. Otra vez las potencias nos ayudan con ella:

10^{100}

Pero, ¿qué ocurre si queremos escribir el número googelplex? Este número es un 1 seguidos de un googol de ceros y tiene ya unas dimensiones inimaginables para el ser humano. Bueno, os echo una mano:

10^{10^{100}}

Para representarlo hemos necesitado no sólo una potencia, sino dos. Vamos, una torre de potencias.

Con la ayuda de estas torres de potencias podemos representar número enormes que, como dije antes, escapan a nuestra percepción. La pregunta es: ¿podemos necesitar en algún momento escribir algún número cuya representación no pueda hacerse de forma sencilla con estas notaciones? La respuesta es . Y la notación de Knuth es una de las opciones más recomendables.

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Límite nulo

Esta semana ciertas cuestiones obligan a cambiar el orden de las secciones semanales. Por ello hoy lunes os planteo el problema semanal. Ahí va:

Demostrar que si a \in \mathbb{R} es mayor que el número e, entonces:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \cfrac{m.c.m.(1,2, \ldots ,n)}{a^n}=0

Ánimo.

Nota: evidentemente, m.c.m. representa mínimo común múltiplo.

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Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras
Ene21

Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.

Introducción

Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este estilo en Gaussianos). En este artículo vamos a ver dos de ellas.

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