Numeri idonei
Feb25

Numeri idonei

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Introducción

Euler en un billete de 10 francos suizosComo ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.

Numeri idonei

En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:

Todos los números contenidos de una sola forma en x^2 + y^2 son primos o dobles de primos donde x e y son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma x^2 + ny^2 gozan de la misma propiedad dando a la letra n valores convenientes.

Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como x^2+y^2, para x e y primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.

Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo x^2+y^2, sino que existen ciertos valores de n tales que una expresión del tipo x^2+n y^2 cumple la misma propiedad. A estos valores de n es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).

Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, 2 es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:

1^2+ 2 \cdot 2^2=9

es la única representación del número 9 como x^2+2y^2. Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que 9=3^2. Por tanto deberíamos decir que n es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como x^2+n y^2 es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).

Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:

\begin{matrix} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, \\ 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, \\ 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, \\ 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, \\ 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 \end{matrix}

En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.

Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.

Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.

Mayor número primo encontrado con los números idóneos

Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue 18518809 = 197^2 + 1848 \cdot 100^2. Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación

es x=197, y=100. ¿Alguien se atreve?


Fuentes:

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Difícil de comunicar

En compañía de amigos, los escritores pueden discutir sobre sus libros, los economistas sobre el estado de la economía, los abogados sus últimos pleitos y los hombres de negocios sus últimas adquisiciones, pero los matemáticos no pueden hablar sobre sus matemáticas en absoluto. Y cuanto más profundo es su trabajo, menos comprensible es.

Alfred Adler

INFINITUM. Citas matemáticas

Estoy de acuerdo con Adler. Para un matemático es muy complicado explicarle a alguien que no esté muy metido en el asunto qué es lo que hace. Seguro que algunos de vosotros os habéis encontrado en una situación así alguna vez. Los comentarios son la mejor manera de contar vuestras experiencias.

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Curvas tangentes

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Encontrar todos los valores de \alpha \in \mathbb{R} para los cuales las curvas

y=\alpha x^2+ \alpha x+ \cfrac{1}{24}

y

x=\alpha y^2+ \alpha y+ \cfrac{1}{24}

son tangentes entre si.

A por él.

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Las propiedades de la inversión (geométrica)
Feb22

Las propiedades de la inversión (geométrica)

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

La inversión en el plano

Si tenemos una circunferencia k de radio r en un plano p, y e es la esfera que tiene a k por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de k asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección N, y viceversa.

La simetría de la esfera respecto al plano p, es decir la transformación que intercambia cada punto E de la esfera con su simétrico E^{\prime} respecto al plano p, induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano p, que intercambia el interior de la circunferencia k, excepto su centro O, con el exterior de esa circunferencia.

En la figura, \angle ONP^{\prime} subtiende en la esfera un arco SE^{\prime} = NE. y \angle ONP subtiende el arco ES. Entonces \angle ONP^{\prime} es complementario de \angle ONP y los triángulos rectángulos \triangle OP^{\prime}N y \triangle ONP son semejantes. Por tanto  \dfrac{ON}{OP^{\prime}} = \dfrac{OP}{ON}, es decir OP\cdot OP^{\prime} = r^2.

La inversión de centro O y potencia k es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto P distinto de O, el punto P^{\prime} situado en la recta OP y tal que OP \cdot OP^{\prime} = k.

Si k es negativo, O está entre P y P^{\prime}, y la transformación es equivalente a una inversión de centro O y potencia |k| seguida de un giro de 180º con centro O.

En lo que sigue asumiremos que la potencia k es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro O y radio \sqrt{k} son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro O y radio \sqrt{k}

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¿Cómo se besan las circunferencias?

Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado.
De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues tres veces son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser este uno por tres veces besado internamente.

Frederick Soddy

INFINITUM. Citas matemáticas

Este es un fragmento de un poema que el químico Frederick Soddy envió a la revista Nature en 1936 explicando cuántas circunferencias son tangentes a tres circunferencias dadas tangentes entre sí. En este enlace encontraréis información sobre este tema.

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