Nunca

Cada siglo se mofaba del precedente, acusándolo de haber generalizado demasiado rápida y demasiado ingenuamente. Descartes tenía piedad de los jónicos; a su vez Descartes nos hace sonreír; sin duda, nuestros hijos se reirán de nosotros algún día.

Jules Henri Poincaré

INFINITUM. Citas matemáticas

De usted nunca, señor Poincaré.

¿Qué pensáis sobre esta reflexión?

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Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes (II)
Abr27

Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes (II)

Introducción

Hace ya algún tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante. Tanto debió gustar ese artículo que es el más visitado de la historia del blog y uno de los más comentados.

Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonométricas en cierto ángulo de otro cuadrante. En Secundaria nos enseñan a realizar este cálculo, pero generalmente se incide más en las fórmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el cálculo geométrico. En este artículo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artículo es muy fácil) y unos cuantos detalles geométricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonométricas de diversos ángulos del resto de cuadrantes.

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Calculemos la integral

Esta semana cambiamos un poco el orden de publicación al que estamos acostumbrados. Hoy toca un sencillo ejercicio:

Calcula la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cfrac{1}{\sqrt{tg(x)}}dx}

A por él, que es fácil.

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Cómo generar conjuntos CuCu
Abr23

Cómo generar conjuntos CuCu

Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos \{ a_1, \ldots a_k \} que cumplen que:

a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto \{1, 2, \ldots , n \}, para cualquier n \in \mathbb{N}. Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para n=1:

1^3=1^2

Supongamos ahora que es cierto para n, es decir, que

(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3

y demostremos que la igualdad es cierta para n+1. Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso n (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=

Tomamos como primer término 1+2+\ldots +n y como segundo término n+1 y desarrollamos el cuadrado de la suma:

=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que 1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2} en la segunda:

=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=

Operando ahora el último sumando obtenemos n(n+1)^2 y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos (n+1)^3, llegando entonces a la igualdad buscada. \Box

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

Joseph Liouville

Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

  1. Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
  2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
  3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número 20

  1. Los divisores de 20 son 1,2,4,5,10 y 20.
  2. Ahora:
    – El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
    – El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
    – El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
    – El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
    – El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
    – El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
  3. Entonces el conjunto \{1,2,3,2,4,6 \} es un conjunto CuCu:

    1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3=(1+2+3+2+4+6)^2

    Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado 324.

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

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Marisco griego

Función gamba de Euler.

Leído por ahí.

Concretamente leído en los apuntes de una alumna mía el día en que veíamos en clase la función gamma (\Gamma) de Euler.

¿Qué otras anécdotas de este tipo tenéis vosotros?

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