La expresión matemática del deseo

Con lo único que me siento feliz es con las matemáticas. La nieve, el hielo, las cifras. Para mí, el sistema numérico es como la vida humana. Primero están los números naturales, los que son enteros y positivos. Son los números de un niño pequeño. Pero la conciencia humana se amplía y el niño descubre el deseo. ¿sabe cuál es la expresión matemática para el deseo? Los números negativos: la formalización de la sensación de que te falta algo. Entonces el niño descubre los espacios intermedios entre las piedras, entre las personas, entre los números, y aparecen las fracciones. Es como una especie de locura, porque nunca se llega al final, nunca se detienen allí. Hay números que no podemos ni empezar a comprender. las matemáticas son un paisaje inmenso y abierto. Te diriges hacia el horizonte que siempre retrocede. Como en Groenlandia. Y yo soy incapaz de vivir sin eso. Por eso no puedo estar encerrada.

Smila, Misterio en la nieve

Interesante reflexión en forma de cita perteneciente a la película Smila, misterio en la nieve que me ha enviado Ender por mail. ¿Qué os parece?

Y ya que estamos, ¿habéis visto esta película?

Sigue leyendo

Desigualdad con reales y enteros

El problema de la semana nos lo envía Abraham. A ver quien puede ayudarle:

Demuestra que para todo x \in \mathbb{R} positivo y todo natural n \ge 2 se cumple la siguiente desigualdad:

x^{2n}+\cfrac{n^2}{n-1} x^{n+2}+\cfrac{n^2}{n-1} x^{n-2}+1 > \cfrac{2(n^3-n^2-2n+1)}{(n-1)^2} x^n

A por él.

Sigue leyendo
La función Phi de Euler: otra genialidad del maestro
Jun28

La función Phi de Euler: otra genialidad del maestro

Introducción

Pierre de Fermat
Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.

La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos F_n=2^{2^n}+1, llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de F_5:

F_5=2^{2^5}+1=4294967297=641 \cdot 6700417

De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.

Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:

Si p es un número primo y a es un número natural que no es divisible por p, entonces a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función \varphi de Euler ejerce un papel de suma importancia.

Sigue leyendo

Potencia matemático-musical

Una simple curva, trazada a la manera de la curva de los precios del algodón, describe todo lo que el oído puede escuchar como resultado de las más complicadas composiciones musicales. En mi opinión, esto es una maravillosa prueba de la potencia de las matemáticas.

Lord Kelvin

Los números primos, de Enrique Gracián

Sigue leyendo

Límite homenaje a Vladimir Arnold

Esta semana J.H.S. me propone un problema que publicó en su blog El Reto hace unas fechas. La historia que nos cuenta J.H.S. en su artículo es más o menos así:

    El reto de esta ocasión pretende ser un modesto homenaje al profesor Vladimir Arnold, fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio que él solía mencionar en sus charlas a manera de expresión de respeto hacia los matemáticos de la vieja escuela.

    Específicamente, Arnold solicitaba calcular el siguiente límite:

    \lim_{x \to 0} \cfrac{sen(tg(x))-tg(sen(x))}{arcsen(arctg(x))-arctg(arcsen(x))}

    El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de un minuto a hombres como Hooke, Newton o el famoso sensei de Newton. No tanto por sólo ser ellos, sino porque, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. Cuenta la leyenda que, para ponerle sabor al asunto, Arnold ofrecía una recompensa monetaria para el individuo de la audiencia que lo resolviera primero. Se reporta además que no sería sino hasta en un seminario de Princeton (hacia fines de los 80) que Arnold conociera a alguien capaz de acabar con su propuesta en tiempo real.

    Al parecer, la leyenda anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos.

Procedamos entonces con la propuesta del momento:

Sean f y g funciones analíticas (reales) alrededor del {0}, con

f(0) = g(0) = 0 y f^\prime (0) = g^\prime (0) = 1

¿Cuánto vale el siguiente límite?

\lim_{x \to 0} \cfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1} (x)}

Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar, de un modo u otro, la memoria del Profesor Arnold.

Suerte.

Sigue leyendo