Irrational
Sep30

Irrational

Irrational

Viñeta humorística que nos ha enviado gordo (¡gracias!) desde Cheaper than Therapy.

Sigue leyendo

Algunas fracciones continuas interesantes

Hace no mucho tiempo hablábamos sobre fracciones continuas, comentando algunas de sus características y hace algo más de tiempo fede nos hablaba sobre su interpretación combinatoria.

En el primero de ellos hablamos, entre otras cosas, de cómo calcular la fracción continua de un número racional y de un número cuadrático irracional (número irracional que es solución de una ecuación de segundo grado). En este artículo vamos a ver algunas fracciones continuas interesantes de ciertos números cuadráticos irracionales y de otros números irracionales que no cumplen esa característica.

Fracción continua de \phi

El número áureo, \phi=\textstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}, es un número cuadrático irracional, ya que es un número irracional y es solución de la ecuación x^2-x-1=0. Como comentamos en el primer post enlazado antes, este tipo de números tienen una fracción continua infinita (por ser irracionales) y periódica (por ser cuadráticos). Concretamente \phi tiene la siguiente fracción continua:

\phi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}

que suele representarse, como ya dijimos en su momento, por [1; 1,1,1,1,1 \ldots] o simplemente por [1;\overline{1}] (escribimos una línea sobre la secuencia que se repite).

Fracción continua del número plateado \delta _S

El número plateado \delta _S es 1+\sqrt{2}. Su fracción continua, que ya comentamos en ese post, es la siguiente:

\delta _S=2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}}

por lo que su representación de la forma anterior es [2; \overline{2}].

Y como también dijimos en aquel artículo, tanto \phi como \delta _S son dos casos particulares de los medias metálicas entre dos números naturales, que pueden definirse como la mayor solución de la ecuación x^2-nx-1=0, y cuya fracción continua es:

n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots}}}}}

o simplemente [n;\overline{n}].

Fracción continua de e

El número e, irracional y trascendente, tiene una fracción continua sorprendentemente simple teniendo en cuenta la naturaleza de este número. Aquí la tenéis:

e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}

expresión ésta que equivale a [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1 \ldots] y que se suele escribir de forma reducida de la siguiente forma: [2;\overline{1,2k,1}], con k número natural mayor o igual que 1. Repito, al menos para mí es sorprendente que el número e tenga asociada esta fracción continua tan, digamos, simétrica. Característica que también sorprende en esta fracción continua de \sqrt{e}

\sqrt{e}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}

o sea, \sqrt{e}=[1;1,1,1,5,1,1,9,1,1 \ldots]=[1;\overline{4k-3,1,1}], para k número natural mayor o igual que 1.

Si hablamos de fracciones continuas generalizadas (las que no obligan a que los numeradores sean siempre 1), el número e puede expresarse, entre otras, de la siguiente curiosa forma:

e=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\cfrac{7}{7+\cfrac{8}{8+\cfrac{9}{9+\cfrac{10}{10+\ddots}}}}}}}}}

Fracciones continuas de \pi

Y terminamos con la joya de la corona: el número \pi. Además de la multitud de propiedades que posee y de la cantidad de curiosidades que lo rodean, es muy interesante en lo que se refiere a las fracciones continuas que están relacionadas con él.

Si hablamos de fracción continua regular (recuerdo que así es como se denomina a la que sólo acepta numeradores iguales a 1), la de \pi es:

3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}

Vamos, una fracción continua sin ninguna regularidad aparente (básicamente como el propio número \pi, irracional y trascendente al igual que e) y de la que bien poco se conoce.

Pero, como siempre, el número \pi nos tiene guardadas multitud de sorpresas. En este caso en forma de fracciones continuas sorprendentemente simétricas. Por ejemplo la siguiente:

\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\ddots}}}}}

es decir, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números impares y en los denominadores el número que aparece sumando siempre es 2.

Vamos con otra:

\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}

esto es, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números naturales y en los denominadores aparecen sumando los números impares.

Otra más:

\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}

en la que los numeradores son los cuadrados de los números impares y abajo se repite el 6 indefinidamente.

No me digáis que no es inquietante.

Extra: relación entre \phi, e y \pi mediante fracciones continuas

Y para terminar un extra extraordinariamente sorprendente. Aquí tenéis una fracción continua, debida a Ramanujan (no sé por qué pero no me extraña nada que sea de él), que relaciona a \phi, e y \pi:

(\sqrt{2+\phi}-\phi) \cdot e^{2 \pi / 5}=1+\cfrac{e^{-2 \pi}}{1+\cfrac{e^{-4 \pi}}{1+\cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\cfrac{e^{-8 \pi}}{1+\cfrac{e^{-10 \pi}}{1+\ddots}}}}}

Casi nada…

Por cierto, ¿conocéis alguna fracción continua interesante que no aparezca por aquí?


Fuentes:

Sigue leyendo

Segunda Clasificación Parcial en “Mejor Blog de Ciencia” de los Premios Bitácoras

Hoy se ha publicado en el blog de los Premios Bitácoras la Segunda Clasificación Parcial de la Categoría “Mejor Blog de Ciencia”. Gaussianos sube de la séptima posición que ocupaba en la primera clasificación a la quinta posición. Amazings sigue siendo el primer clasificado.

Si queréis votar a Gaussianos sólo tenéis que pinchar en el siguiente enlace:

Os seguiré informando.

Sigue leyendo
Entanglement, un juego de cuerdas y nudos
Sep29

Entanglement, un juego de cuerdas y nudos

Hoy un traigo un entretenido juego para que podáis pasar el rato en este día de huelga general. Su nombre es Entanglement, y el objetivo del mismo es conseguir la cuerda más larga posible.

Entanglement

Las reglas de Entanglement son muy sencilla. Tenemos un tablero como el que se muestra en la imagen y partimos de una ficha hexagonal inicial, que nos aparecerá junto a la central (la que tiene el número dentro). Como podéis ver, desde esa ficha central sale un trocito de cuerda que la conecta con la que nos dan de inicio. Si hacemos click en cualquier parte de la pantalla la ficha inicial quedará fija y el trozo de cuerda de esa ficha que conectaba con el de la central quedará marcado en amarillo, apareciendo entonces otra ficha en la casilla correspondiente al extremo de la cuerda que acabamos de formar. Como he dicho antes, el objetivo del juego es hacer la cuerda lo más larga posible antes de chocarnos contra las paredes o contra la ficha central. Tanto la ficha que nos aparece inicialmente como las que van apareciendo en el transcurso del juego pueden moverse con las teclas de dirección del teclado para colocar el trozo de cuerda que más nos convenga en cada caso.

El juego nos da un punto por cada casilla que recorra un trozo de cuerda al dejar fija una ficha. Es decir, si al hacer click (es decir, al fijar una ficha), recorremos un trozo de cuerda que sólo pasa por esa ficha el juego nos da un punto; pero si al hacer click recorremos un trozo de cuerda que conecta esa ficha con otra que ya había en el tablero, el juego nos da dos puntos. Por ello lo interesante es que cada vez que fijemos una ficha la cuerda recorra el mayor número de fichas posible, intentando chocar con las paredes o la central lo más tarde posible.

Una cuestión interesante sobre este juego es averiguar cuál es la mayor puntuación que se puede conseguir en él. Os voy a decir el resultado: 169. Ahora os toca a vosotros decirnos por qué ese número es la mayor puntuación a la que podemos llegar en este juego. Por cierto, si no nos ha engañado con algún programa de edición de imágenes, ya hay alguien que ha llegado al récord absoluto.

Por cierto, mi récord es 76. No es demasiado, pero tampoco le he dedicado mucho tiempo. A ver si alguien descubre algún tipo de táctica para poder hacer puntuaciones altas. Los comentarios son vuestros.

Y para terminar, comentaros que hay un juego de mesa que es parecido a éste llamado Tantrix. A ver si entre los lectores de Gaussianos tenemos a algún experto en este juego que nos pueda comentar cosas sobre él.

Sigue leyendo

Polinomio y sucesión

Vamos con el problema semanal. Ahí va su enunciado:

Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. A partir de él definimos la siguiente sucesión:

\begin{matrix} a_0=0 \\ a_{n+1}=p(a_n) \end{matrix}

con n \geq 0.

Demostrar que si existe m \geq 1 tal que a_m=0 entonces a_1\cdot a_2=0.

Suerte.

Sigue leyendo