Ceros de un polinomio y de sus derivadas

Hoy lunes, último día de febrero de 2011, os dejo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sea f(x) un polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos que comparte un cero (una solución) con cada una de sus derivadas no triviales (es decir, tal que f(x) y f^{k)}(x) tienen una raíz común para k=1, \ldots ,n-1). Demostrar que entonces debe ser

f(x)=a \cdot (x-b)^n

para ciertos números complejos a, b o encontrar una función distinta a la anterior un polinomio distinto al anterior que cumpla las condiciones anteriores.

Que se dé bien.

Actualización: enunciado editado para corregir un pequeño error.

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¿De quién son las series de Neumann?
Feb25

¿De quién son las series de Neumann?

Las series de Neumann son series de la forma

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} T^n}

donde T es un operador (por lo que T^n simboliza la aplicación del operador T n veces). Dada su definición, se pueden considerar una generalización de la serie geométrica.

Bien, teniendo en cuenta su nombre, ¿por quién pensaríais que se denominan así? Hagan apuestas…

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Nueva imagen del poliedro de Császár: María

Os traigo hoy una nueva actualización del set de Flickr sobre imágenes del poliedro de Császár que llevo recopilando desde hace ya un tiempo por la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. En esta ocasión es María, actualmente alumna mía, quien me la envía. Podéis ver la foto haciendo click en este enlace (por cierto, muy geek el detalle del Ironman).

Os recuerdo que sigo abierto a la recepción de fotos de vuestros poliedros de Császár, y que para construirlo solamente tenéis que tomar alguna de las plantillas que aparecen aquí o aquí y seguir las instrucciones que aparecen en cualquiera de los dos enlaces.

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La paradoja del polítopo irracional
Feb23

La paradoja del polítopo irracional

Comencemos por el principio: ¿qué es un polítopo? Bien, un polítopo es la generalización a dimensión n de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro. Esto es, por ejemplo un pentágono es un 2-polítopo y un dodecaedro es un 3-polítopo.

PentágonoTomemos un pentágono regular, polígono con 5 vértices y cinco lados iguales donde los ángulos formados por dos lados consecutivos son iguales. Dibujemos esta figura en un plano, con sus ejes de coordenadas, intentando que cada uno de los vértices de nuestro pentágono regular caiga en un punto cuyas coordenadas sean números racionales. Después de varios intentos seguro que pensáis que debe ser muy complicado…Bueno, de hecho es imposible. ¿La razón? Pues la relación del número áureo \phi (que es un número irracional) con el pentágono regular.

Imaginemos ahora que movemos un poco los vértices de nuestro pentágono regular hasta colocarlos en puntos con coordenadas racionales. Nuestro pentágono dejaría de ser un polígono regular, pero bien es cierto que seguiría siendo un pentágono que, ahora sí, tendría todos sus vértices en puntos cuyas coordenadas son números racionales.

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El perro y los soldados

Hace un par de días una amiga me hablaba sobre un problema que había visto por internet, cuyo enunciado es el siguiente:

Un grupo de 400 soldados está preparado para marchar. Están colocados formando un cuadrado de 20 metros x 20 metros, y su mascota (un perro) está colocado en el centro de la primera fila. El grupo de soldados comienza la marcha con una velocidad constante, y perro empieza al mismo tiempo su marcha siguiendo el perímetro del cuadrado formado por los soldados en el sentido de las agujas del reloj, también a una velocidad constante. El perro ha sido entrenado de tal forma que cuando el grupo avanza 20 metros, él recorre el perímetro completo del cuadrado y vuelve a su posición del centro de la primera fila.

Los soldados han avanzado 20 metros, pero ¿qué distancia ha recorrido el perro?

Por internet pueden encontrarse algunas propuestas de solución. Lo que quiero es que consigamos dar con la solución correcta y con una explicación completa y satisfactoria de la misma. Que se os dé bien.

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