Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 7

Una semana más vuelven los problemas matemáticos de la edición digital de El País. Ayer jueves apareció el séptimo de la serie de 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este séptimo problema se titula Un piano gigantesco y lo propone José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@elpais.es antes de que termine el lunes día 2 de mayo.

Respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

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Trigonometría visual…y elementos sobrantes
Abr28

Trigonometría visual…y elementos sobrantes

Hoy os traigo una imagen que se ha hecho bastante popular en internet durante estos días, junto con un comentario que quiero hacer sobre ella.

El primer sitio en el que la he visto es Coder Facts!, gracias a que nuestro lector y asiduo comentarista josejuan me la envió por mail. La imagen en cuestión es la siguiente:

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Sorpresa sumando potencias de 2
Abr27

Sorpresa sumando potencias de 2

Os voy a plantear un sencillo ejercicio: vamos a intentar expresar los números naturales como suma de potencias de 2 de exponente natural (o cero, hecho que especifico para evitar problemas, ya que parece que no nos ponemos de acuerdo sobre si es un número natural o no). Tenemos, por ejemplo, que 3=2^1+2^0=2+1, y también que 3=2^0+2^0+2^0=1+1+1. Esta segunda forma de expresar 3 como suma de potencias de 2 es algo repetitiva, ¿verdad? De hecho, si analizamos todas las formas de expresar así un número natural más grande tendremos muchas más repeticiones: sumas de varios unos, sumas de varios doses, sumas de varios cuatros… Para evitar ser tan repetitivos en este sentido solamente vamos a permitir que cada potencia de 2 aparezca dos veces como mucho. Por ello, para el 3 la segunda manera escrita antes no nos serviría.

El objetivo de este ejercicio es encontrar todas las posibles maneras de expresar cada número natural como suma de potencias de 2 con la condición de que cada potencia de 2 aparezca a lo sumo dos veces. Por ejemplo, por lo comentado antes el 3 puede expresarse como suma de potencias de 2 de una manera únicamente. Si llamamos S(n) al número de maneras de expresar n como suma de potencias de 2 con la condición anterior, tendríamos entonces que S(3)=1.

Probemos con otro, el 10 por ejemplo. Tenemos que:

10=8+2=8+1+1=4+4+2=4+4+1+1=4+2+2+1+1

por lo que S(10)=5.

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Olimpiada Matemática Española – Problema 5: Coloraciones sanfermineras

Quinta entrega de los problemas planteados en la XLVII Edición de la Olimpiada Matemática Española. En esta ocasión el problema (segundo de la segunda sesión), tuvo el siguiente enunciado, muy relacionado con Pamplona, la ciudad sede de esta edición de la OME:

Cada número racional se pinta de un color usando sólo dos colores: blanco y rojo. Se dice que una tal coloración es sanferminera cuando para cada dos números racionales x, y, con x \ne y, si se cumple una de las tres condiciones siguientes:

  1. xy=1;
  2. x+y=0;
  3. x+y=1

entonces x e y están pintados del mismo color. ¿Cuántas coloraciones sanfermineras hay?

Que se os dé bien.

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La cadena de Pappus
Abr25

La cadena de Pappus

Introducción

GeoGebra-Java no se puede ejecutar.


Pappus de Alejandría dice en el libro IV de su Colección Matemática:

En algunas obras antiguas aparece la siguiente proposición:
Dados tres semicírculos tangentes entre sí, inscribamos en el espacio comprendido entre sus arcos, que se llama arbelos, tantos círculos como se quiera tangentes entre sí y a los semicírculos, como los descritos en la figura.
Digo que la perpendicular a la base trazada desde el centro del primer círculo inscrito es igual al diámetro de ese círculo, que la trazada desde el segundo círculo es doble del diámetro del círculo, que la trazada desde el tercero es el triple, e inscribiendo así infinitos círculos, las sucesivas perpendiculares son múltiplos de los respectivos diámetros según números consecutivos…

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