Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 6: Triángulo acutángulo y circunferencias

Sexto y último problema de la Olimpiada Matemática Española 2012. Buen día éste para terminar la serie de problemas de la OME. Ahí va:

Sea ABC un triángulo acutángulo, \omega su circunferencia inscrita de centro I, \Omega su circunferencia circunscrita de centro O, y M el punto medio de la altura AH, donde H pertenece al lado BC. La circunferencia \omega es tangente a este lado BC en el punto D. La recta MD corta a \omega en un segundo punto P, y la perpendicular desde I a MD corta a BC en N. Las rectas NR y NS son tangentes a la circunferencia \Omega en R y S respectivamente. Probar que los puntos R,P,D y S están en una misma circunferencia.

A por él, que es el último.

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Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 2

Segundo desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GYG), de Gaussianos y Libros Guijarro. Al igual que el primero (planteamiento y solución) éste también va a ser sencillo. El problema se llama Las edades secretas (sí, éste ya tiene título) y el enunciado es el siguiente:

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Una primera (y humorística) lección de Econometría

La Econometría es la rama de la Economía que utiliza métodos y modelos matemáticos. Muchas son las ramas de las matemáticas que se usan en Econometría: cálculo, estadística, programación lineal… Pero por mucho que las matemáticas estén presentes en ella en muchas ocasiones parece que nos quieren ocultar los resultados, en Economía muchas veces da la sensación de que quieren dificultarnos la visión de los hechos.

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La máquina de Gelernter
Abr25

La máquina de Gelernter

A mitad del siglo XX, con la IA todavía en pañales, no fueron pocos quienes dedicaron sus esfuerzos a intentar crear máquinas inteligentes, máquinas que pudieran hacer tareas de forma parecida a como las realizamos los seres humanos. Los juegos de mesa, como las damas o el ajedrez, fueron una temática recurrente en estos intentos. Por ejemplo, Arthur Samuel inventó una máquina que jugaba razonablemente bien a las damas y que aprendía de cada partida para mejorar su juego, hasta el punto de llegar a ganar a su creador con relativa frecuencia y quedar en posiciones realmente decentes en campeonatos. Pero hoy no vamos a hablar de juegos de mesa, sino que nos vamos a parar en uno de esos intentos de creación de IA que tiene que ver con las matemáticas: la máquina de Gelernter.

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Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 5: Sucesión por recurrencia

Quinto problema, segundo del segundo día, de la Olimpiada Matemática Española 2012. El enunciado es el siguiente:

Una sucesión (a_n)_{n \ge 1} se define mediante la recurrencia

a_1=1, \quad a_2=5, \quad a_n=\cfrac{a_{n-1}^2+4}{a_{n-2}}, \mbox{ para } n \ge 3

Demostrar que todos los términos de la sucesión son números enteros y encontrar una fórmula explícita para a_n.

Que se os dé bien.

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