Integrando por partes like a boss

Este post es una colaboración enviada por Don Mostrenco. Si quieres realizar alguna sugerencia o enviar alguna colaboración puedes hacerlo a través de la sección Contacto.

La integración por partes

Nunca me gustó la fórmula de la integración por partes. Me refiero a ésta:

\displaystyle{\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du}

Escrita así, siempre me pareció asimétrica e incómoda de aplicar. El caso es que, como casi todos los métodos de resolución de integrales indefinidas, éste es una consecuencia directa de las reglas de derivación. Concretamente de la regla del producto. Veámoslo:

\cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = \cfrac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \cfrac{dv}{dx}

Si ahora reordenamos los términos:

u \cdot \cfrac{dv}{dx} = \cfrac{d}{dx} \left (u \cdot v \right ) - \cfrac{du}{dx} \cdot v

e integramos:

\displaystyle{\int \left( u \cdot \cfrac{dv}{dx} \right) \cdot dx = \int \left( \cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) \right) \cdot dx - \int \left( \cfrac{du}{dx} \cdot v \right) \cdot dx}

Voilà!, recuperamos la fórmula inicial.

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Desigualdad en un octógono

Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sean A_1, \ldots, A_8 los vértices de un octógono convexo (es decir, un octógono cuyos ángulos internos son todos menores que 180^\circ). Además, los lados del octógono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada i=1, \ldots,8 definimos el punto B_i como la intersección del segmento A_iA_{i+4} con el segmento A_{i-1}A_{i+1}, donde A_{j+8}=A_j y B_{j+8}=B_j para todo número entero j. Muestra que para algún número entero i entre los números 1, 2, 3 y 4 se cumple que:

\cfrac{|A_iA_{i+4}|}{B_iB_{i+4}} \leq \cfrac{3}{2}

Que se os dé bien.

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“La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT
Feb19

“La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT

El próximo viernes 21 de febrero el matemático peruano Harald Helfgott dará una charla sobre la conjetura débil de Goldbach en el ICMAT. El evento se encuadra dentro de la serie de coloquios que organiza el ICMAT junto con la Universidad Autónoma de Madrid.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado sobre el tema (de hecho el propio Harald Helfgott publicó en este blog un extenso post en el que explicaba las líneas generales de su demostración), creo que es interesante volver a recordar algunos de los detalles más importantes de la historia de este resultado y de otros relacionados con él. Por ello, a continuación podréis encontrar un resumen de esta historia realizado por Javier Cilleruelo (que ya ha colaborado en otras ocasiones en Gaussianos, por ejemplo con este post sobre su resolución del problema de los conjuntos generalizados de Sidon) en el que también se incluyen enlaces a los artículos de Gaussianos que han hablado sobre esta conjetura.

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Parejas de enteros especiales

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Ua pareja de enteros es especial si es de la forma (n,n-1) o de la forma (n-1,n), con n un entero positivo. Muestra que una pareja (n,m) de enteros positivos que no es especial se puede representar como la suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros n y m satisfacen la desigualdad

n+m \geq (n-m)^2

Nota: La suma de dos parejas se define como (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Que se os dé bien.

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Número 9 de la revista online de matemáticas “PIkasle”
Feb17

Número 9 de la revista online de matemáticas “PIkasle”

En estos días ha salido el nuevo número, el noveno, de PIkasle, revista online de matemáticas creada por un grupo de estudiantes de la Universidad del País Vasco.

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