2+5=7

Esta semana, por ser algo especial y por tema de tiempo tendremos un par de problemas en vez de artículo. Vamos con el primero, sencillito:

Demostrar que 2222^{5555}+5555^{2222} es múltiplo de 7.

El siguiente problema para mañana.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Bueno, parece que por fin puedo participar con algo de matemáticas discretas, jeje.

    Usando congruencias, debemos demostrar que:
    2222^{5555}+5555^{2222}=0 mod 7
    Por un lado comprobamos que 2222=3 mod 7 (basta dividir 2222/7 y quedarnos con el resto) y que 5555=4 mod 7

    Tenemos por tanto 3^{5555}+4^{2222}=0 mod 7
    Podemos comprobar además, que 3^6=1 mod 7 y que 4^3=1 mod 7 (un vistazo al teorema de Euler-Fermat: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler).

    También 5555=925*6+5 y 2222=740*3+2, por lo que:
    3^{5555}=3^{925*6}*3^{5} y 4^{740*3}*4^{2}.

    Juntándolo todo y ampliando las potencias: 3^{{6}^{925}}*3^{5}+4^{{3}^{740}}*4^{2}=0 mod 7, pero como 3^6=1 mod 7 y 4^3=1 mod 7, entonces nos queda:
    3^5+4^2=0 mod 7, es decir, 259=0 mod 7, lo cual es cierto, ya que 259=9*37.

    Un saludo!

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  2. Una manera alterna de encontrar la solucion, aunqe algunos dirian qe es mas engorrosa, seria observar el compartamiento de las potenicas de 3 y 4 en modulo 7, encontrando los ciclos de ambas potencias.

    Llegando a la conclucion que 3^5 = 5 mod 7 y qe 5555 = 5 mod 6 (usamos el 6 ya qe es el ciclo de las potencias de 3 en mod 7). Al tener esto se ve que 3^5555 = 5 mod 7.

    De la misma manera tenemos que 4^2 = 2 mod7 y qe 2222 = 2 mod3 (aqi el ciclo es de 3). Una ves con eso llegamos a la conclusion que 4^2222 = 2 mod7.

    Y con ello qeda demostrado qe si 2222^5555 = 3^5555 = 5 mod7
    y 5555^2222 = 4^2222 = 2 mod7, entonces:

    2222^5555 + 5555^2222 = 7 mod7 = 0 mod7.

    Nota: Los ciclos a los que me refiero, son los residuos con los que las potencias de 3 y 4 resultan al div entre 7.

    No se usar el Latex ;P (Si eesta mal me dicen)

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  3. Pablo,

    Al final se te fué la tecla, 259 = 7 * 37 (no 9 * 37).

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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