2+5=7

Esta semana, por ser algo especial y por tema de tiempo tendremos un par de problemas en vez de artículo. Vamos con el primero, sencillito:

Demostrar que $2222^{5555}+5555^{2222}$ es múltiplo de 7.

El siguiente problema para mañana.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de December de 2008
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Sin comentarios

lucagali | 22 de December de 2008 | 10:56

este problema me cayó a mi en la olimpiada matématica jeje
Pablo Reyes | 22 de December de 2008 | 12:33

Bueno, parece que por fin puedo participar con algo de matemáticas discretas, jeje.

Usando congruencias, debemos demostrar que:
$2222^{5555}+5555^{2222}=0 mod 7$
Por un lado comprobamos que $2222=3 mod 7$ (basta dividir 2222/7 y quedarnos con el resto) y que $5555=4 mod 7$

Tenemos por tanto $3^{5555}+4^{2222}=0 mod 7$
Podemos comprobar además, que $3^6=1 mod 7$ y que $4^3=1 mod 7$ (un vistazo al teorema de Euler-Fermat: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler).

También $5555=925*6+5$ y $2222=740*3+2$ , por lo que:
$3^{5555}=3^{925*6}*3^{5}$ y $4^{740*3}*4^{2}$ .

Juntándolo todo y ampliando las potencias: $3^{{6}^{925}}*3^{5}+4^{{3}^{740}}*4^{2}=0 mod 7$ , pero como $3^6=1 mod 7$ y $4^3=1 mod 7$ , entonces nos queda:
$3^5+4^2=0 mod 7$ , es decir, $259=0 mod 7$ , lo cual es cierto, ya que $259=9*37$ .

Un saludo!
^DiAmOnD^ | 22 de December de 2008 | 15:31

lucagali de ahí precisamente lo he sacado .

Pablo Reyes muy bien reuelto .
Kou | 23 de December de 2008 | 07:05

Una manera alterna de encontrar la solucion, aunqe algunos dirian qe es mas engorrosa, seria observar el compartamiento de las potenicas de 3 y 4 en modulo 7, encontrando los ciclos de ambas potencias.

Llegando a la conclucion que 3^5 = 5 mod 7 y qe 5555 = 5 mod 6 (usamos el 6 ya qe es el ciclo de las potencias de 3 en mod 7). Al tener esto se ve que 3^5555 = 5 mod 7.

De la misma manera tenemos que 4^2 = 2 mod7 y qe 2222 = 2 mod3 (aqi el ciclo es de 3). Una ves con eso llegamos a la conclusion que 4^2222 = 2 mod7.

Y con ello qeda demostrado qe si 2222^5555 = 3^5555 = 5 mod7
y 5555^2222 = 4^2222 = 2 mod7, entonces:

2222^5555 + 5555^2222 = 7 mod7 = 0 mod7.

Nota: Los ciclos a los que me refiero, son los residuos con los que las potencias de 3 y 4 resultan al div entre 7.

No se usar el Latex ;P (Si eesta mal me dicen)
fcasarra | 23 de December de 2008 | 09:30

Pablo,

Al final se te fué la tecla, 259 = 7 * 37 (no 9 * 37).
Trackback | 23 Dec, 2008

Bitacoras.com
Pablo Reyes | 23 de December de 2008 | 15:42

Ups! Gracias fcsarra