¡Abajo las identidades notables!

En el tiempo que llevo dando clase son muchos y diversos los errores que cometen mis alumnos en lo que se refiere a manipulación de expresiones algebraicas (como por ejemplo los que tienen que ver con el factor común). Pero posiblemente el más común (o al menos uno de los más comunes) de los que me estoy encontrando en los últimos tiempos está relacionado con las llamadas identidades notables que se enseñan en secundaria:

\begin{matrix} (x+y)^2=x^2+y^2+2xy \\ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy \\ (x+y) \cdot (x-y)=x^2-y^2 \end{matrix}


Son muchos los alumnos que se aprenden esas expresiones de memoria sin razonar de dónde vienen o por qué son esos los resultados. Esto, como he dicho antes, en muchas ocasiones les lleva al error por no recordar bien alguna de ellas y hacer “lo que te pide el cuerpo”. Por ejemplo:

(x+y)^2=x^2+y^2

Y, por otra parte, les crea grandes dificultades a la hora de calcular potencias superiores a dos de un binomio, como puede ser (x+y)^3. Si recuerdan esas identidades notables intentan buscar una expresión similar para desarrollar esa potencia, y suelen confundirse. Y no digamos ya si ni siquiera recuerdan la identidad notable “relacionada” con dicha potencia…

Por ello opino que tendríamos que hacer lo que aparece en el título de esta entrada:

¡Abajo las identidades notables!

No digo que no se enseñen, pero sí que se explique bien de dónde salen y que se induzca al alumno a realizar el producto pertinente en vez de utilizar la identidad correspondiente. Es decir, que en vez de usar la de (x+y)^2 desarrollemos la potencia de ese binomio de la forma siguiente:

(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x^2+2xy+y^2

Y lo mismo para las otras dos. Así será más sencillo conseguir que, por ejemplo, para desarrollar (x+y)^3 el alumno no intente buscar expresiones del estilo a la identidad notable del cuadrado (búsqueda que suele terminar con una expresión incorrecta) sino que realice la operación

(x+y) \cdot (x+y) \cdot (x+y)

haciendo primero el primer producto y después multiplicando el resultado obtenido por el tercer miembro.

Dado el gran nivel de conocimientos matemáticos que tenéis muchos de los lectores y comentaristas de este blog, es posible que gran parte de vosotros penséis que esto que comento es una tontería o algo sin la importancia suficiente como para destacarlo en una entrada. Que los alumnos deberían ser capaces de deducirlo sin necesidad de incidir demasiado en ello. Pero la realidad, o al menos lo que yo me encuentro muy frecuentemente, indica lo contrario. No han sido ni uno ni dos los alumnos que he tenido que han suspendido un examen (y bien suspendido está) por puntuar 0 en algún ejercicio en el que han cometido un error en alguna de estas expresiones. Cierto es que en ocasiones ese error lo han provocado las prisas o los nervios del propio examen, pero en la gran mayoría la causa ha sido no tener interiorizado el significado de los resultados de estas identidades notables.

Y, por otra parte, también es posible que muchos de los profesores que pasan por Gaussianos digan que ellos sí explican de dónde salen estos resultados e intentan que los alumnos los comprendan (esto es, que van más allá del hecho de promover la simple memorización de las correspondientes expresiones), pero también tengo comprobado (por experiencia propia y por lo que me ha comentado mucha gente, alumnos y profesores) que en la práctica son muchas las veces en las que, por decirlo de alguna forma, “vamos a lo fácil”. O sea, que cuando nos encontramos expresiones así vamos directamente a la identidad notable olvidando comentar y recordar que también podemos obtener el resultado correcto realizando el correspondiente producto de binomios.

Por todo ello me gustaría saber vuestra opinión sobre este tema, tanto en el lugar del alumno (qué experiencia habéis tenido vosotros y vuestros compañeros con esto) como en el del profesor (qué soléis hacer en vuestras clases con las identidades notables y qué suele pasar con vuestros alumnos). Seguro que habrá gente que estará de acuerdo conmigo y gente que no, pero estoy convencido de que con las opiniones de todos podemos generar un interesante debate.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

44 Comentarios

  1. En cuanto un profesor enseña el binomio de Newton ya nadie se equivoca con eso.

    Publica una respuesta
  2. No se como se enseña en España pero a mi en Argentina me lo enseñaron desarrollándolo y deduciendo el resultado. Claro que no es lo que uno suele recordar pero sí que se de donde viene la cosa.

    Publica una respuesta
  3. Aquí, en Galicia, se trabajan las identidades notables en 2º de ESO, aunque rastros visibles de comprensión aparecen levemente en 3º como muy pronto. El principal problema que encuentro es que pretendemos que entiendan estos procedimientos antes de que tengan la suficiente soltura con el Álgebra. El sonsonete tradicional de “cuadrado del 1º+doble del 1º por el 2º + cuadrado del 2º”, que desvela el hecho de que las letras o números concretos no son importantes sino su estructura, queda por encima de la capacidad de la mayoría en esas edades.
    En cuanto a cómo lo tratamos en nuestras aulas, te comento: primero escribo los cuadrados perfectos en línea, calculo las diferencias sucesivas para que se aprecien los impares en orden, dejamos en stand by ese hecho (ha habido años en los que algún alumno me preguntó la razón de este hecho cuando aún estábamos en aritmética, me vino de perlas). Después escribimos el producto de los números pequeños que se diferencian en 2 unidades, hasta el 13·15 o así. Dejamos también lo que sucede en stand by. Por último hacemos la mera comprobación algebraica de las identidades, propiedad distributiva mediante. Después de hacer ejemplos más o menos enrevesados y más o menos algebraicos/aritméticos, suelo ilustrar la 1ª de las identidades con rectángulos y áreas, y lanzo el desafío de modificar la figura para demostrar el cuadrado de la diferencia. Finalmente vemos la explicación de los dos starters de más arriba.
    Lo más curioso es que el hecho de trabajar las ideas más o menos no suele repercutir lo más mínimo en el dominio mecánico de las identidades.
    Por cierto, en el curriculum de la ESO no aparece el binomio de Newton, pues en primer lugar no aparecen los números combinatorios ni el triángulo de Pascal.

    Publica una respuesta
  4. Yo hice la ESO en Baleares, y tambien dimos las identidades notables en segundo, pero no las utilizamos para nada hasta tercero, y el profesor mencionó que eso venía del producto del binomio. En tercero las usábamos de memoria, como la equación de segundo grado, y en algun momento el profesor recordó que eso era un producto. Ya en cuarto, nos enseñaron el binomio de Newton y los números combinatorios. Yo no recuerdo haber tenido problemas con ellas, pero sí recuerdo que muchos de mis compañeros se las sabían, pero las recordaban mal, especialmente en exámenes.

    Publica una respuesta
  5. El domingo tuvimos un largo viaje en coche Pedro Ramos (más ideas, menos cuentas) y yo, y no creo que podamos más que estar de acuerdo.
    Las identidades notables solamente tienen sentido para aplicarlas de derecha a izquierda respondiendo a resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados (abajo la fórmula de la ecuación de segundo grado) o calculando propiedades de cónicas (sin fórmula, completando cuadrados).

    Un abrazo

    Publica una respuesta
  6. En efecto, coincido del todo con Joseángel: sin negar que lo que se dice en la entrada y en el resto de los comentarios sea bastante cierto, creo que hay un aspecto que también tiene su peso y que se menciona bastante menos: es difícil poner interés en algo que se practica sin verle mayor sentido, y sin aplicarlo en ningún lugar relevante (porque no, los ejercicios pensados para simplificar expresiones usando las identidades notables no califican como aplicaciones de las identidades notables). Mas aún, cuando un alumno sabe modificar una expresión para escribirla como identidad notable, con el correspondiente resto, ha asimilado a un nivel más profundo las susodichas.

    Publica una respuesta
  7. Da igual que los desarrolles o no, que los expliques con dibujos o no,,… da igual. El problema es la falta generalizada de interés por aprender. El que tiene interés aprende y las entiende, y el que no, no. En alumnos de 4º de Ciencias Sociales que en Bachiller no cogerán matemáticas, a la mayoría les importa un rábano. Más claro agua.
    El plan de estudios apesta, con cosas como que las matemáticas de 4º son las “matemáticas fáciles”, vamos, que los alumnos se creen que van a hacer cuatro chorradas y les aprobaremos por todo el morro, by the face.
    Ya ni hablar de cosas como PQPI o FP Básica, implantada en éste nuevo curso escolar como una reforma del PQPI.

    Publica una respuesta
  8. hola guassianos, lamento entrar a comentar fuera del tema pero quería pedirles su ayuda, el otro día hablaba con un amigo de como después de muchos intentos una seguidilla improbable de resultados ya no sería tan improbable. Por ejemplo la posibilidad de obtener 10 veces seguidas el 6 lanzando los dados después de, por ejemplo, 1000 lanzamientos. SIn embargo cuando intenté dar una respuesta y el procedimiento al caso planteado no fuí capaz, se lo básico de probabilidad, tome un curso del tema en la universidad; distribución binomial, poison… pero no halle como resolver el problema que ya concretado sería lo siguiente ¿cual es la probabilidad de que habiendo lanzado 1000 veces seguidas el dado en algún punto de la seguidilla se repitieran 10 veces seguidas el número 6? o incluso me vale una respuesta a la versión mas simple ¿si lanzas 10 veces seguidas una moneda que probabilidad hay de haber obtenido,al menos una vez, 3 caras seguidas en cualquier punto de la seguidilla?.

    Espero no haber sido confuso en mi explicación y de antemano gracias por su atención =)

    Publica una respuesta
  9. Ostia que arte, de las pocas cosas que me quedaron marcadas en el cerebro en el instituto. Recuerdo perfectamente que me hicieron aprendemerlas de memoria en primero de bup. Supongo que al año siguiente o al otro yo mismo o el profesor hizo el producto y me quedé impresionado por no haberme dado cuenta antes. Si se explican viendo de donde salen seguro que es mejor, y luego ya te las grabarás a fuego igualmente en la cabeza.

    Publica una respuesta
  10. Desgraciadamente, debo darte la razón. Pero creo que el problema viene a causa del desinterés de la mayoría del estudiantado, que ve matemáticas como una asignatura cargante y no como una herramienta de provecho, que es lo que realmente es. Todo esto hablando solamente de la ESO y el bachillerato. Por lo que estoy viendo este año en la universidad la cosa ya cambia un poco, no obstante, no pondría la mano en el fuego por nadie.

    Publica una respuesta
  11. Da igual como las expliques. Es duro pero cierto. Como si haces el pino explicándolas, como si haces dibujos, como si las compruebas numéricamente… como si te llevas todo un trimestre explicando lo mismo. El que atiende y muestra interés lo pilla a la primera, el que no, da igual lo que hagas o el tiempo que inviertas.

    Típica pregunta en la ESO, ¿y esto para que sirve? respondas lo que respondas a la mayoría de la clase le va a parecer basura eso que le dices(en caso que estén escuchando).

    De este tipo de alumnado algunos llegan a la Universidad dejando en mal lugar a su profesor de secundaria, el cual se ha dejado el pellejo en cada clase.

    Para Rafa: ¿Binomio de Newton? ¿En la ESO? pero si muchos en 3° y 4° no saben hacer 1+2·3, que dicen que es 9.

    Publica una respuesta
  12. Pues yo si que creo que deben enseñarse, naturalmente a continuación de los productos de polinomios. No entiendo que alguien pueda hacerlo de otra manera, no tiene sentido. Se ven multiplicando los binomios, naturalmente, se refuerzan con ejemplos numéricos del estilo de 31^2 o 19^2 y con sencillos diagamas geométricos como:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Cuadrado_suma.html
    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Suma_por_Diferencia.html
    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Suma_por_Diferencia_2.html

    Admito que para la diferencia la cosa es un poco más oscura:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Cuadrado_diferencia.html

    aunque instructiva (una primera aproximación al principio de inclusiones y exclusiones).

    No explixcarlas y utilizarlas es como pasar de la tabla de multiplicar, pues no es más que una suma repetida: ¿3*2? ¡Con lo fácil que es hacer 3 + 3! O aún mejor 2 + 2 + 2, uno si uno no … Ya, ya, ¿y si hay que multiplicar 8*7? ¡Pufff! para eso están las calculadoras … (Por cierto ¿ocho por siete ES cincuenta y ocho o SON cincuenta y ocho?)

    Yo no creo que tengan una especial dificultad, aunque sin duda es de lejos el error más frecuente que cometen los alumnos hasta 2º de pre-selectividad incluido. Pero la mayoría de las veces no es por desconocimiento, sino por despreocupación o apresuramiento.

    En cuanto al binomio de Newton, creo que actualmente en un instituto es casi ciencia-ficción, pero que mejor forma de introducirlo que viendo como es el cuadrado y el cubo de una suma? Cubo de una suma que no es pecado mencionarlo y que admite una interpretación muy, muy clara:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Cubo_suma.html

    que idealmente debe manipularse físicamente y no solo con software.

    Publica una respuesta
  13. Ignacio, el resultado de multiplicar 7 por 8 ES 56.
    Si quieres puedes decir que SON 56.

    Pero siempre 56. No 58…

    Publica una respuesta
  14. Lamentablemente, las carencias en lenguaje de muchos alumnos son lamentables.
    Muchas veces resuelven mal un problema porque no entienden el enunciado y no porque no conozcan (e incluso entiendan) la o las fórmulas a aplicar.
    No es misión del enseñante de matemáticas corregir estas carencias, pero sí en lo que se refiere al contexto de la asignatura.
    Por eso sí creo que hay que explicar desde pequeños cosas como por ejemplo lo siguiente:

    La expresión “el resultado de multiplicar 7 por 8 son 56” es incorrecta. El sujeto “resultado” debe concordar con el verbo “es” y no con “son”.
    Los NÚMEROS son singulares: el 1, el 56, …
    Las CANTIDADES (excepto 1) son plurales: son 56 manzanas, son 56 pimientos, …
    Por ello, hablando de objetos es legítimo decir 7 por 8 son 56 y hablando de números se diría 7 por 8 es 56.
    Las expresiones siguientes pueden, a veces, no ser todas correctas en algún contexto:
    ¿Cuánto es 2 más 2?, ¿cuánto son 2 más 2?, ¿cuántos son 2 más 2? , ¿cuántas son 2 más 2?. En cambio no admite ninguna variante de género o número ¿cuánto vale 2 más 2?.

    Por ello pienso que no es suficiente que, en clase hable solo el profesor, se expliquen las cosas y se propongan problemas. También es importante que los alumnos expliquen verbalmente las cosas para detectar esas carencias y tratar de corregirlas.

    Publica una respuesta
  15. Siempre lo explico con el triángulo de Tartaglia.
    Muchos alumnos de bachillerato cometen el error de olvidarse del doble del primero por el segundo y cuando le comento que se explicó en 2 o 3º de ESO comentan que hace mucho…..
    saludos
    ap2

    Publica una respuesta
  16. Simplemente hay que dar las igualdades notables (como todos los profesores saben hacer muy bien) y suspender a aquellos que no las aplican correctamente.

    Creer que podemos explicar las igualdades notables de una forma mágica y misteriosa con la que, hasta los alumnos sin interés, puedan aprenderla y no equivocarse nunca con ellas, es ingenuo.

    Publica una respuesta
  17. En mi colegio lo enseño tal cual indicas en el post, es más NO lo enseño. Les propongo primero ese tipo de operaciones con números (3+5)^2 para que de primeras vean que la intuición les equivoca, y luego ya se ponen a multiplicar los factores y obtener la fórmula. Creo que esto ayuda a que se equivoquen mucho menos, pero mi experiencia me dice que aún así se equivocan por nervios y porque cuando llegan a problemas más difíciles “están en otra guerra” y se les pasa lo de la igualdad notable.
    Les suelo decir a modo de broma-truco que la potencia y la suma no son vecinos como lo son potencia y producto o producto y suma y que por eso no funcionan las cosas normales que se les ocurren, que sí funcionan con potencia-producto o producto-suma.
    Por último añadir que este problema luego se repite cuando tenemos la raíz de una suma y la separan alegremente, por ejemplo…

    Publica una respuesta
  18. Mi experiencia personal es que existe una gran dificultad en la comprensión de muchos términos matemáticos por cuestiones léxico-semanticas. Los chavales no entienden que es una definición y que pueden demostrar cosas a las que nunca se han enfrentado simplemente usando la definición.

    Yo lo explico de la siguiente manera;

    2*3=2+2+2=3+3 para que vean cual es la definicion de multiplicación

    luego lo extiendo a potencia: 2^2=2*2 que es igual al cuadrado de lado 2.

    Luego lo extiendo algebraicamente X^2 es el cuadrado de lado x luego ( a+b)^2 es el cuadrado de lado a+b y lo grafico para que tengan una relacion grafica con el algebra.
    Es decir: dibujo el cuadrado de lado a+b y luego dentro de ese cuadrado busco con los xavales el cuadrado de lado a el cuadrado de lado b y los 2 rectangulos de lados a y b.

    Es cierto que es un fallo super generalizado. Espero que os sirva !! Buen post !

    Publica una respuesta
  19. El problema quizás comienza antes, ya que en el nivel elemental las matemáticas se suelen enseñar en forma «dogmática», lo que lleva al alumno a tratar de estudiarlas del mismo modo en el que se estudia historia: de memoria.

    He visto en los programas escolares de Suiza, por nombrar un país donde la matemática es una de esas «materias filtro» en todos los niveles, que, por ejemplo, temas como porcentajes y proporciones son enseñados como cosas diferentes (de hecho, suelen empezar con porcentajes…). He visto que martillan a los alumnos con infinitos ejercicios para calcular áreas de círculos y volúmenes de pirámides, y claro, como para decir de dónde salen las correspondientes fórmulas se necesita alguna que otra integral, pues nada, ¡magia!, es así y memoriza estas formulas que de lo contrario te vas a la clase B porque eres un inútil. Lo más hilarante que he visto son ejercicios del tipo «4 + … = 7» donde hay que adivinar el número que falta: las ecuaciones se introducen recién al año siguiente.

    Veo muy difícil que con este tipo de estructura «pedagógica» un alumno llegue alguna vez a comprender qué es una identidad notable…

    Saludos,
    Ricardo

    Publica una respuesta
  20. Es cierto lo que exponés DIAmOnD! Dichas situaciones me llevaron a escribir una serie de notas que titulé GANALE A LA MATEMÁTICA con un tono algo divertido y ameno para tratar de conseguir que nuestros chicos “se amiguen” con la matemática ¿porqué tiene que ser el terror de los estudiantes? Creo que el objetivo de recordar los resultados de estos “productos especiales” se debió a buscar agilidad en la operatoria con expresiones algebraicas, pero lo que terminamos logrando es agilidad para que se caigan al abismo más rápido… Aunque con temas algo más complejos como el estudio de funciones desde desarrollos de derivadas y análisis de sus comportamientos, a la hora de evaluar, me cuestiono si invalidar estos últimos procesos frente a un error que surge de la errónea aplicación de estas Identidades Notables… Muchas veces la cantidad de estudiantes en grande y la verdad es que necesitaríamos tener a cada uno de ellos a nuestro lado a la hora de mirar sus exámenes para erradicar cada uno de sus errores de una vez y para siempre: recuerdo a los maestros de la antigüedad y a sus discípulos, hoy impracticable… Para pensar…

    Publica una respuesta
  21. Entiendo que ^Diamond^ pretende crear polémica con el título, ya que “eliminar” algo es poco menos que imposible, no ya por costumbre social, en este caso muy arraigada, sino también por utilidad (quién lo negará) y, sobre todo, por autenticidad: son verdad, se cumplen, y que se enseñen es necesario, desde la experiencia al menos.
    Donde ya entramos en terrenos pantanosos… ¿cómo se enseñan? Estoy de acuerdo en que, en muchas ocasiones, se enseña mal y las matemáticas no son la excepción. Yo recuerdo que, cuando las vi por primera vez (allá por 3º de ESO, si no recuerdo mal, y sí, soy de la ESO) mi problema fue justo el contrario: la pregunta era precisamente poner la identidad notable. Yo desconocía la expresión, por lo que realicé el producto de binomios. No recuerdo cuál fue la puntuación obtenida en el ejercicio en cuestión.

    Publica una respuesta
  22. Yo, como Ignacio, las explico justo después del producto de polinomios, ya en 2º ESO. Y como ejercicio, después va calcular el cubo y la cuarta potencia (de dos maneras distintas, cuadrado por cuadrado y cubo por sencillo). Y, después triangulo de Tartaglia. Me niego a no hacerlo, aunque en mi instituto el resto de mis compañeros me digan “que soy un salvaje”, “que no es posible que lo entiendan sus tien-nas mentecillas”, y otras muchas gilipolleces didácticas-filosóficas. Restregando por el morro más de una vez algún libro de 1º de BUP, que parece que soy el único en España que se acuerda que el binomio de Newton se daba en 1º de BUP. En cuanto a los alumnos, el que atiende, lo entiende. La gran mayoría, silencio del Oeste, y pendientes del niñ@ de al lado que le guste…

    Publica una respuesta
  23. Yo, como Ignacio, las explico justo después del producto de polinomios, ya en 2º ESO. Y como ejercicio, después va calcular el cubo y la cuarta potencia (de dos maneras distintas, cuadrado por cuadrado y cubo por sencillo). Y, después triangulo de Tartaglia. Me niego a no hacerlo, aunque en mi instituto el resto de mis compañeros me digan “que soy un salvaje”, “que no es posible que lo entiendan sus tien-nas mentecillas”, y otras muchas gilipolleces didácticas-filosóficas. Restregando por el morro más de una vez algún libro de 1º de BUP, que parece que soy el único en España que se acuerda que el binomio de Newton se daba en 1º de BUP. En cuanto a los alumnos, el que atiende, lo entiende. La gran mayoría, silencio del Oeste, y pendientes del niñ@ de al lado que le guste…

    Publica una respuesta
  24. Estoy de acuerdo que desarrollando el producto se aprenden mejor esos productos notables; a la vez que esos productos de polinomios van creando una estructura mental que facilitará la aprehensión de otras ciencias. Eso podría servir de respuesta a aquellos que preguntan “eso para que sirve”

    Publica una respuesta
  25. Cuando era estudiante me enseñaron la fórmula  \left ( x+y \right )^{2} y aun ahora recuerdo lo que teníamos que memorizar, que es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo y bla bla bla. pienso que saber de memoria esta y otras fórmulas como ax^{2}+bx+c=0 que es, x sub uno coma sub dos es igual a, – b más menos raíz de b cuadrado menos 4 a c dividido entre 2 a o que el lado del ángulo siempre se usa en el coseno, Saber eso es cultura básica para nosotros los amantes de las matemáticas, como dice en ese libro de la Inteligencia Emocional, si no puedes decir lo que sientes con palabras no sabes lo que sientes, por ejemplo te gusta una chica porque cuando estas cerca de ella te sientes nervioso y que el estómago está lleno de mariposas y puedes escuchar los latidos de tu corazón, si no racionalizaras lo que te pasa pensarías que estar cerca de esa chica te enferma, de la misma manera si no puedes verbalizar un concepto matemático no lo entiendes

    El punto es que esa fórmula se puede generalizar y decir que es igual al cuadrado de cada elemento más el doble producto de la combinación sin repetición de dos en dos de cada elemento.

      \displaystyle  \left ( \sum_{i=1}^{n} a_{i}  \right )^{2} = \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

    Y de la misma manera se puede generalizar para exponente 3, 4, 5… las formulas son más largas pero me hacen suponer que el número de coeficientes distintos es igual al número de particiones del exponente, por ejemplo:

    2 -> 2, 1+1 -> dos coeficientes distintos (1, 2)
    3 -> 3, 2+1, 1+1+1 -> tres coeficientes distintos (1, 3 y 6)

    Además esto me lleva a pensar que si existe una fórmula para

      \displaystyle  \left ( x_{1} + x_{2}  \right )^{n} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x_{1}^{i}x_{2}^{n-i}

    También debería haber una fórmula para

      \left ( x_{1} + x_{2}  + x_{3}  \right )^{n} =?

    Con conceptos como esos es relativamente fácil deducir identidades más complejas como la Identidad de Lagrange (http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Lagrange ) o la Identidad de Gauss (http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables) solo como comentario me gusta más la notación en la que se ponen estrictamente los límites a las sumatorias http://es.wikipedia.org/wiki/Discusi%C3%B3n:Productos_notables

    Recuerdo a ese increíble docente que conocí en la universidad en Fisica III, Ivan Ruiz que nos decía, solo tienen que saber de memoria unas 10 formulas y ya, jejeje exageraba un poco pero vaya que nos inspiró porque hacía ver lo difícil como si fuera fácil.

    Publica una respuesta
  26. Yo si trabajo directamente con las identidades notables.
    Agiliza mucho el calculo. Es verdad que constituyen una regal derivada,
    pero si siempre acudimos a la regla primitiva, nunca se avanza.

    Publica una respuesta
  27. Un niño de corta edad puede resolver el cálculo de 4 x 8 sumando cuatro ochos.
    Cuando llega al bachillerato ha tenido que hacer tantas multiplicaciones que, sin proponérselo, tiene grabada la tabla de multiplicar como una respuesta automática de su cerebro. Si por cualquier razón no es así (exceso de uso de calculadoras o escasez de práctica), algo ha fallado estrepitosamente y, quizás, si recurre a sumar repetidamente, también cometa un error en la suma.
    Con las identidades notables debería ocurrir lo mismo. No propongo que se le obligue a memorizarlas sino que se le haga utilizarlas con la suficiente frecuencia para que se graben “a fuego” en sus neuronas. Si no ha ocurrido así, probablemente no dominará las reglas elementales del álgebra para deducirlas correctamente como le pasaba al anterior con las sumas repetidas.
    No nos engañemos, el avance en el aprendizaje de las matemáticas depende, en gran manera, de la memorización (automática, no forzada) de gran cantidad de fórmulas.
    Un estudiante de cálculo diferencial e integral debe haber archivado en el cerebro las expresiones de las derivadas y primitivas de las funciones sencillas o inmediatas. Si no es así, aunque esté en condiciones de deducirlas, su rendimiento bajará considerablemente ya que es más lento deducir algunas de ellas que deducir un producto de dígitos con sumas o desarrollar el cuadrado de un binomio.
    Si avanzamos en complejidad veremos que la memoria participa más de lo imaginado en la geometría o en las matemáticas superiores. En el desarrollo matemático es frecuente utilizar multitud de teoremas cuya demostración paralizaría la labor del matemático si tuviera que repetirla en cada caso. De hecho se utilizan a veces sin conocer con claridad su demostración pero recordando el enunciado.
    Mi conclusión se puede resumir en el lema de una antigua escuela por correspondencia: “AL ÉXITO POR LA PRÁCTICA”.

    Publica una respuesta
  28. Es cierto que las identidades notables causan problemas a los estudiantes de la ESO. Para explicarlas un método que funciona bien es una tabla de doble entrada, en la fila pones los elementos de un factor y en la columna los del otro, y rellenas la tabla con los productos parciales. Pero el problema en su comprensión es un poco mas largo. Por ejemplo les cuesta ver como identidad notable (3x^2+5y^4) (3x^2-5y^4). Esto es un problema de comprensión del concepto de variable, que no comprenden por, entre otras razones, asociarle casi en exclusividad a su interpretación como incógnita de una ecuación, y por tampoco tener muy claro el concepto de igualdad, cuyo símbolo interpretan como una especie de separador entre una operación y un resultado, sin comprender lo que realmente están expresando cuando lo utilizan. Todo esto es así, por fallos de didáctica en el proceso de transición de la aritmética elemental al álgebra del mismo tipo.

    Publica una respuesta
  29. Yo las enseño relacionando la expresión (a+b)^2 con el área de un cuadrado de lados a + b. Si os fijais, podeis observar que dentro del cuadrado se forman dos cuadrados de áreas a^2 y b^2 y dos rectangulos de area ab. Por tanto es facil observar por los alumnos ( de 3 Eso) que el área del cuadrado inicial, es decir (a+b)^2 , es igual a la suma de las areas de los dos cuadrados pequeños, a^2 y b^2 mas el area de los dos rectangulos, 2ab.
    La experiencia me dice que entonces no se equivocan y siempre piensan que resolver (a+b)^2 hay tres terminos y no dos.
    Luego lo acompaño con la explicacion algebrica e inmediatamente con numerosos ejemplos… En poco tiempo lo tienen asimilado y no lo olvidan nunca.
    Lo que entienden por si mismo, se aprende rapido y no se olvida nunca.
    Las otras dos expresiones tienen una demostracion geometrica similar pero mas complicada de entender. Como dice el maestro Claudi Alsina, si una demostracion no ayuda a entender algo, no hay que hacerla, sobretodo en secundaria.
    Saludos..
    Santi.

    Publica una respuesta
  30. Un detalle para confirmar lo dicho dos comentarios arriba. A chavales de 3º ESO plantearles como calcular el producto 8×12 haciendo uso de las identidades notables.

    Publica una respuesta
  31. Prefiero que sean deducidas y la verdad no veo problema en el uso de calculadores ni de computadoras para la realización de los cálculos en un nivel secundario. Si esos alumnos/as quisieran luego seguir una carrera que tenga relación con las matemáticas entonces tendrán las herramientas que da la Universidad para estos casos.

    Publica una respuesta
  32. Me gustaría hacer una analogía de este tema con algo “mucho más básico”: Las tablas de multiplicaciones. Hace un tiempo por acá en Chile escuchaba a algunos profesores que no querían que sus alumnos de enseñanza básica se aprendieran las tablas de multiplicar de memoria ya que lo mejor era que debían entenderlas. Estoy de acuerdo con esta idea pero hasta cierto límite… Creo que el alumno, obviamente, pasa por una primera etapa donde necesita comprender el concepto (y aquí es donde los profesores buscamos todas las estrategias posibles para hacerlo) pero llega un minuto donde “la memoria” toma un rol fundamental.
    Recibí en enseñanza media varias generaciones de alumnos que literalmente no se sabían las tablas de memoria y usaban distintas maneras de calcularlas (como por ejemplo hacer sumas sucesivas) lo que retrasaba mi trabajo y los contenidos establecidos para el nivel. Creo que con las identidades notables (productos notables acá) pasa lo mismo. Tenemos que explicar como funcionan (desarmar la máquina les digo a mis alumnos) ya sea con geometría (área de rectángulos), objetos didácticos o las simples multiplicaciones entre los binomios y en una primera etapa ejercitar usando estos recursos, pero luego tenemos que dar paso a la memorización. Tengo casos de alumnos que por más que explicara con peras y manzanas no lograban (y les juro que hasta nariz de payaso me puse) entender los productos notables y los obligué a memorizarlos (les hice construir fichas y se las preguntaba casi a diario) y llegando al final de la etapa escolar la mayoría de esos alumnos habían captado ya la esencia de las famosas multiplicaciones. Lo hicieron al revés pero el resultado es el mismo… conmutatividad.
    En pocas palabras, creo que no existe una receta ideal para aprender un concepto, cada alumno tiene sus limitaciones y virtudes, y nosotros como profesores, debemos intentar mostrar todos los caminos posibles. Saludos.
    http://www.zaidmaths.com

    Publica una respuesta
  33. Acabo de acordarme que hace unos años encontré un libro que enseñaba como multiplicar mentalmente dos números de dos cifras, entre 10-19 y era algo así:

    Por ejemplo queremos multiplicar 15 \cdot 17, seria igual a 100 mas la suma de las unidades por 10, osea (5+7)10 mas el producto de las unidades 5 \cdot 7 luego el resultado es  = 100 + 120 + 35 = 255.

    Luego de analizar un poco uno se da cuenta de donde sale esa técnica, que básicamente usar algo como:

      (10+a)(10+b) = 100 + (a + b)10 + a \cdot b

      (10+5)(10+7) = 100 + (5 + 7)10 + 5 \cdot 7 = 255

    Publica una respuesta
  34. A las cinco y media he llegado por casualidad a esta web y me lo estoy pasando como un enano (son casi las siete y cuarto). Hace varios años que me jubilé y una parte de mi vida profesional fue de profesor asociado (LRU), ya que trabajaba en una empresa y en la Escuela impartía una asignatura relacionada con mi trabajo, asignatura que se daba en los dos últimos cursos (5º y 6º) de la carrera.
    Me sorprendió el bajo nivel matemático de los alumnos en general, con caso extremos que me llevaban a preguntarme como se hacía el control de los conocimientos.
    Os narro un caso extremo.
    En un examen final, y como ya sabía de qué iba la fiesta, como les había puesto un problema de fiabilidad en la pizarra escribí la fórmula del número combinatorio. Cuál sería mi sorpresa cuando un alumno se levanta y me hace la siguiente pregunta:
    ¿Qué significa ese signo de admiración?
    Yo me quedé de piedra y le pregunté, ¿de verdad que no lo sabes?
    Él me contestó que no lo sabía. Le dije que lamentándolo mucho, le tenía que suspender ya que no podía consentir que saliese de la Escuela sin saber eso (era último año de carrera), pero que le felicitaba por que había logrado casi acabar la carrera, habiendo acabado previamente el bachillerato, burlando a un montón de profesores, profesores no solo de Matemáticas, sino de otras muchas asignaturas en las que los factoriales son fundamentales. Le pregunté si había aprobado cierta asignatura de cuarto curso, asignatura que aunque con un nombre muy curioso es en realidad una Teoría de Colas, es decir, factoriales a mogollón. Me contestó que sí. Le dije que se iba a pasar un verano aprendiendo factoriales y alguna cosilla más, ya que mi sistema era detectar las carencias de los alumnos y proponerles unos trabajos a entregar antes del examen. Unos días después, tuvimos una reunión del Departamento y comenté el caso. Gran indignación por parte de mis compañeros y la voz común: ¡¡¡Le habrás suspendido!!!. Lo que dije a continuación ya no les hizo tanta gracia, porque empecé a señalar a cada uno donde el alumno les había toreado, cortado orejas y rabo y, encima, había dado la vuelta al ruedo.
    Una contestación muy típica de los alumnos era ¡eso es de primero! Ósea, que no sabían para que les enseñaban y que lo normal es olvidar lo aprendido en los cursos inferiores.
    En mis diferentes trabajos me he encontrado con que la gente no utiliza las matemáticas que “aprendió (¿)”, tanto en Bachillerato como en la carrera. Eso me dio una cierta mala fama, ya que suele cabrear mucho que haya alguno que los conocimientos aprendidos los utilice para algo.
    Por cierto JJGJJG, el lema “Al éxito por la práctica” era de la Academia “Radio Maymó”, que en Madrid estaba en la Puerta del Sol, en la esquina con Espoz y Mina. La aparición de los circuitos integrados acabó con ella, aunque creo que un hijo sigue en Barcelona.

    Publica una respuesta
  35. Abundando en la problemática comentada por Jaito

    Problema de examen:

    Calcular el resultado de la suma entre once y siete.

    Respuesta del alumno:

    11 + 7 = 13

    La calificación obtenida por el alumno fue 9,5 puntos sobre 10 ya que la respuesta consta de 5 partes fundamentales: colocación del primer sumando, seguidamente colocación del signo +, anotación del segundo sumando, escritura del signo de igualdad y anotación del resultado a continuación. El alumno comete tan solo un fallo en el último de las partes y por eso ya se ha ganado un 8, no obstante debemos observar que el resultado correcto de la operación es 18 y por tanto el alumno ha acertado la cifra de las centenas y ha dado con la mitad de la cifra de las unidades (el 3 junto con su imagen especular nos permite formar la cifra 8). Tenemos pues que de los 5 elementos en los que se divide la respuesta el alumno ha cubierto correctamente 4,75 lo que nos arroja una nota de 9,5 puntos sobre 10.

    Éste tipo de correcciones hace tiempo que se ha institucionalizado en secundaria. Los alumnos ante ésta situación hacen lo que se podría esperar de ellos: se niegan a aprender nada. De aquellos polvos…

    Aclarar cómo hemos llegado a ésta situación sería el primer paso para poder desmontar toda ésta farsa en la que nos hemos instalado.

    Publica una respuesta
  36. Gracias, ya conocia esa formula solo que no me gusta mucho porque no tiene los limites claros en la sumatoria por lo que para desarrollarla tienes que pensar un poco intuitivamente en cambio para desarrollar el binomio de Newton el trabajo es mas mecánico.

    Por ejemplo en el Binomio de Newton esta claro el número de elementos

      (x_{1} + x_{2} )^{n} = \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x_{1}^{i}x_{2}^{n-i} } = \text{ ‘n+1' elementos}

    Pero en esa generalización no podría decir cuantos elementos tiene el resultado

      (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{m} )^{n} = \displaystyle{ \sum \binom{n}{i,j,…,k} x_{1}^{i}x_{2}^{j} … x_{m}^{k} } = \text{ ‘?' elementos}

    donde: i+j+ \cdots +k = n

    Y entonces pasar el binomio de Newton a un programa de computadora es re-facil un ciclo ‘for’ y listo, en cambio la versión general se me hace un tanto mas complicada aunque es re-util cuando se quieren hallar coeficientes para exponentes dados

    Publica una respuesta
  37. Creo, Cristhian Camacho, que para programar el caso generalizado basta generar un grupo de FOR anidados en cuyo contenido central la primera instrucción sea comprobar la suma i+j+…+k y obrar en consecuencia.

    Publica una respuesta
  38. Gracias JJGJJG, aparentemente va por algo como usar el Binomio de Newton sucesivas veces

      \begin{cases}  (x + y + z)^{n}  & = \displaystyle{\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} (y+z)^{i} } \\                   & = \displaystyle{\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i}                                     \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} y^{j} z^{i-j} } \\                   & = \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i}                                      \binom{n}{i} \binom{i}{j} x^{n-i} y^{j} z^{i-j} }  \end{cases}

    De todas formas no me queda claro cuantos elementos hay y en mi humilde opinión (carente de muchos conceptos por eso es humilde y aun así la doy jejeje) esa parte aunque simple y básica de las matemáticas, aun no ha sido completamente explorada

    Publica una respuesta
  39. Aparentemente este sería el número de elementos

      (x + y + z)^{n} = \cfrac{(n+1)(n+2)}{2} \text{ elementos} = \displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \frac{(n+1)(n+2)}{2} -1 } } ? = \displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \frac{n(n+3)}{2} } } ?

    Ahora el reto sería hallar el valor de ? que nos permitiria plantear la igualdad con una sola sumatoria, talvez no sea posible, pero como dicen por ahi soñar no cuesta nada

    Publica una respuesta
  40. Ahora el número de elementos para 4 variables:

      \begin{cases}  (a+b+c+d)^{n} = & \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i} \sum_{k=0}^{j} } \binom{n}{i} \binom{i}{j} \binom{j}{k} a^{n-i} b^{k} c^{j-k} d^{i-j}\\  \\  (a+b+c+d)^{n} = & \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i} \sum_{k=0}^{j} } \frac{n!}{(n-i)!(i-j)!(j-k)!k!} a^{n-i} b^{k} c^{j-k} d^{i-j}\\  \\  (a+b+c+d)^{n} = & \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i} \sum_{k=0}^{j} } \binom{n}{n-i, i-j, j-k, k} a^{n-i} b^{k} c^{j-k} d^{i-j}\\  \end{cases}

    es (me parece)

      \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3!} = \binom{n+3}{3}

    En este punto quiero hacer notar una cosa, que este número de elementos representa los que tienen potencias distintas

    Por ejemplo:

    1)
      (a+b+c+d)^{3} =  a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} + 3( a^{2}b + a^{2}c + a^{2}d + b^{2}c + b^{2}d + c^{2}d ) + 3( ab^{2} + ac^{2} + ad^{2} + bc^{2} + bd^{2} + cd^{2} ) + 6 (abc + abd + acd + bcd )

    20 elementos, distinto de el numero de coeficentes distintos 3 (1, 3, 6), que aparentemente es igual al numero de particiones de 3

    NOTA: la fórmula general de 1) es

      \left ( \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} } x_{i} \right )^{3} = \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} } x_{i}^{3} + 3 \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} } \left ( x_{i}^{2} x_{j} + x_{i} x_{j}^{2} \right ) + 6  \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^{n} } x_{i}x_{j}x_{k}

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com Valora en Bitacoras.com: En el tiempo que llevo dando clase son muchos y diversos los errores que…
  2. ¡Abajo las identidades notables! - Gaussi... - […]   […]
  3. ¡Abajo las identidades notables! - […] ¡Abajo las identidades notables! […]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *