Al menos tres

Hoy, primer martes de agosto lunes de septiembre de 2011, os dejo un problema sencillo, que estamos en pleno verano:

Números primos hay infinitos, eso ya lo sabemos (y además lo hemos demostrado de varias formas). Tomemos uno cualquiera de ellos, p, pero que no sea el 2, es decir, un número primo impar cualquiera. Tomemos ahora un número natural cualquiera, n, pero asegurándonos de que p^n tenga exactamente 20 cifras (en base 10, para los puristas).

Teniendo en cuenta que tenemos 10 dígitos distintos para elegir, \{ 0, 1, \ldots , 9 \}, podría ocurrir, maravillosa casualidad, que cada uno de estos dígitos apareciera en este número p^n exactamente dos veces. Bien, pues la pregunta va sobre esto. Es ésta:

Demostrar que al menos uno de los dígitos \{0,1, \ldots , 9 \} aparece como mínimo tres veces.

Es decir, demostrar que esa maravillosa casualidad en realidad no se puede producir.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Si aparecieran todos exactamente dos veces sería múltiplo de 9 (suman 90). Si p es primo tiene que ser el 3, y solo sus potencias 40 y 41 tienen 20 dígitos. Ninguna de ellas se escribe con los 10 dígitos diferentes repetidos.

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  2. No sé si será tan fácil, pero si cada una de las cifras aparece dos veces, si las sumamos todas:
    2*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=90 que es divisible por 3, por tanto p^n es divisible por 3. Como p es primo, p^n solo es divisible por potencias de p desde 1=p^0 hasta p^n. Así que p debe ser 3.

    Tomamos las potencias de 3 con 20 cifras y me salen solo dos, a saber:
    3^40=12.157.665.459.056.928.801
    3^41=36.472.996.377.170.786.403

    Y como vemos, en ambos casos alguna cifra se repite más de dos veces.
    En el primer caso, por detallar más, el 1 sale 3 veces y en el segundo caso el 7 sale 5 veces.

    ¿Es así? Es que me ha parecido demasiado fácil para lo que acostumbro a leer por aquí, que no suelo pillar ni moscas jeje.

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  3. NO me parece que se haya demostrado a sastifacción aquí. Imaginemos que un dígito no aparece ni una vez y otro dígito aparezca cuatro veces.

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  4. Respondiendo a Jonas Castillo Toloza:

    Entonces, si está repetido 4 veces, también está repetido 3 veces 😉
    Un saludo.

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