Al menos tres

Hoy, primer ~~martes de agosto~~ lunes de septiembre de 2011, os dejo un problema sencillo, ~~que estamos en pleno verano~~:

Números primos hay infinitos, eso ya lo sabemos (y además lo hemos demostrado de varias formas). Tomemos uno cualquiera de ellos, $p$ , pero que no sea el 2, es decir, un número primo impar cualquiera. Tomemos ahora un número natural cualquiera, $n$ , pero asegurándonos de que $p^n$ tenga exactamente 20 cifras (en base 10, para los puristas).

Teniendo en cuenta que tenemos 10 dígitos distintos para elegir, $\{ 0, 1, \ldots , 9 \}$ , podría ocurrir, maravillosa casualidad, que cada uno de estos dígitos apareciera en este número $p^n$ exactamente dos veces. Bien, pues la pregunta va sobre esto. Es ésta:

Demostrar que al menos uno de los dígitos $\{0,1, \ldots , 9 \}$ aparece como mínimo tres veces.

Es decir, demostrar que esa maravillosa casualidad en realidad no se puede producir.

A por él.

7 comentarios

JJGJJG | 5 de September de 2011 | 11:16

Si aparecieran todos exactamente dos veces sería múltiplo de 9 (suman 90). Si p es primo tiene que ser el 3, y solo sus potencias 40 y 41 tienen 20 dígitos. Ninguna de ellas se escribe con los 10 dígitos diferentes repetidos.
161803398874 | 5 de September de 2011 | 12:25

No sé si será tan fácil, pero si cada una de las cifras aparece dos veces, si las sumamos todas:
2*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=90 que es divisible por 3, por tanto p^n es divisible por 3. Como p es primo, p^n solo es divisible por potencias de p desde 1=p^0 hasta p^n. Así que p debe ser 3.

Tomamos las potencias de 3 con 20 cifras y me salen solo dos, a saber:
3^40=12.157.665.459.056.928.801
3^41=36.472.996.377.170.786.403

Y como vemos, en ambos casos alguna cifra se repite más de dos veces.
En el primer caso, por detallar más, el 1 sale 3 veces y en el segundo caso el 7 sale 5 veces.

¿Es así? Es que me ha parecido demasiado fácil para lo que acostumbro a leer por aquí, que no suelo pillar ni moscas jeje.
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Bitacoras.com
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Al menos tres
Jonas Castillo Toloza | 6 de September de 2011 | 00:28

NO me parece que se haya demostrado a sastifacción aquí. Imaginemos que un dígito no aparece ni una vez y otro dígito aparezca cuatro veces.
Iker | 6 de September de 2011 | 10:27

Respondiendo a Jonas Castillo Toloza:

Entonces, si está repetido 4 veces, también está repetido 3 veces
Un saludo.
Ignacio Larrosa Cañestro | 6 de September de 2011 | 13:24

Jonas, aparte de lo que dice Iker, ya el propio enuciado responde a la cuestión:

” … aparece como _mínimo_ tres veces.”