Al menos uno no negativo

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Dados ocho números reales cualesquiera a,b,c,d,e,f,g,h, probar que al menos uno de los números

ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh

es no negativo.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Si consideramos los cuatro vectores (a,b), (c,d), (e,f) y (g,h), esos números son todos los productos escalares de estos vectores. Ahora está claro que dados cuatro vectores en el plano hay dos que forman un ángulo menor o igual que \frac{\pi}{2}. El número correspondiente a estos dos vectores es el buscado.

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  2. sea a,b,c,d,e,f,g,h numeros reales, si todos son reales positivos queda demostrado, supongamos que no todos son reales positivos y digamos que el orden entre ellos es: a<=b<=c…… si solo un numero fuese negativo entonces algunas de estas expresiones es positiva ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh , por que cada numero aparece unicamente en 3 expresiones.
    si todos son negativos observemos que todas las expresiones son positivas y creo que listo, los demas casos son triviales.

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  3. Hola a todos:

    Pues ya. Por fuerza bruta:

    Reordenamos y renombramos de tal modo que a<b<c<d<e<f<g<f<0 será positivo si a>0 o f<0 (todos positivos o todos negativos)

    Si a< ó f>0:
    cg+dh>0

    Si b<f>0:
    cg+dh>0

    Si c<f>0:
    eg+fh>0

    Si d<f>0:
    eg+fh>0

    Si e<0:
    ac+bd>0

    Si f<f>0, igual que si g<f>0:
    ac+bd>0

    Un saludo

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  4. No me deja editarlo…

    Pues ya. Por fuerza bruta:

    Reordenamos y renombramos de tal modo que a<b<c<d<e<f<g<h0 será positivo si a>0 o f menor que 0 (todos positivos o todos negativos)

    Si a menor que 0 y b>0:
    cg+dh>0

    Si b menor que 0 y c>0:
    cg+dh>0

    Si c menor que 0 y d>0:
    eg+fh>0

    Si d menor que 0 y e>0:
    eg+fh>0

    Si e menor que 0 y f>0:
    ac+bd>0

    Si f menor que 0 y g>0, igual que si g menor que 0 y h>0:
    ac+bd>0

    Parece que no recoge bien el símbolo de menor que… por eso en la reordenación sale un cero junto a la hache
    Un saludo

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  5. Un comentario para Antonio A. y Klaus: No se puede suponer que los números están en el orden que queramos, puesto que las seis expresiones del enunciado no son simétricas respecto de a,b,c,d,e,f,g,h. En otras palabras, si reordenamos estas ocho variables, las seis expresiones del enunciado cambian.

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  6. La demostración de Manzano (¡chapó!) permite ampliar el problema:

    En ad+be+cf, ag+bh+ci, aj+bk+cl, am+bn+cñ, dg+eh+fi, dj+ek+fl, dm+en+fñ, gj+hk+il, gm+hn+iñ y jm+kn+lñ con todos los números reales siempre habrá algún término no negativo.

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  7. Manzano…¿no podías haber encontrado una solución más sencilla? jaja
    Eso es una mente abierta! Transformar 8 variables de la recta real a un juego de niños en 2D.

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  8. MM…respecto al argumento que di anteriormente , creo que no se necesita mencionar el orden de los numeros : y aquí una posible corrección.

    sea a,b,c,d,e,f,g,h números reales, si todos son reales positivos queda demostrado, supongamos que no todos son reales positivos ,ahora si solo un numero fuese negativo entonces algunas de estas expresiones es positiva ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh , por que cada numero aparece únicamente en 3 expresiones, del mismo modo si solo se tiene que uno es positivo,alguna de las expresiones en que no aparezca el numero es positiva y finalmente si todos son negativos observemos que todas las expresiones son positivas y creo que listo.

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