Alexander y su particular esfera: una cuestión de “cuernos”

El teorema de la curvan de Jordan es un maravilloso resultado relacionado con curvas en el plano que une enunciado sencillo y tremendamente intuitivo con demostración más que complicada. Dicho resultado nos asegura que toda curva C cerrada y simple (es decir, que no tiene autointersecciones, que no se corta a sí misma) divide al plano en dos partes, cuya frontera común es C, tales que una de ellas está acotada (interior de C) y la otra no está acotada (exterior de C).

Pero aún hay más. La región interior es esencialmente igual para toda curva cerrada y simple que tomemos: en todos los casos es un disco deformado (sin romperlo). Y exterior es también esencialmente igual en todos los casos: es como el exterior de un disco, pero también deformado (y también sin romperlo). Este hecho fue demostrado por Arthur Schönflies.

Vamos, que toda curva cerrada y simple divide al plano en dos regiones que en todos los casos son esencialmente iguales. Este esencialmente significa topológicamente, por lo que estamos diciendo es que el interior de una curva cerrada y simple en el plano tiene siempre las mismas propiedades topológicas (topológicamente es un disco), y lo mismo para el exterior (que topológicamente es como el exterior de un disco).

Demos un paso adelante: ¿qué ocurre en la situación análoga en tres dimensiones? Es decir, si tomamos una superficie S equivalente a una esfera en tres dimensiones, ¿ocurrirá algo parecido que en el caso de dimensión 2?

Pues la cuestión es que esta superficie S también divide al espacio en dos regiones, una de ellas acotada (interior) y otra no acotada (exterior) cuya frontera común es la propia S (hecho que demostró por Luitzen E. J. Brouwer). Por ahora todo igual.

Vale la pena pararse un segundo a comentar qué es una superficie equivalente a una esfera en tres dimensiones. Para que quede claro, lo mejor es imaginarse una pelota hueca cuya superficie esté hecha de plastilina, o de cualquier otro material que podamos deformar. Una superficie equivalente a esa esfera será cualquier cosa que obtengamos al deformar dicha esfera de plastilina siempre que no la rompamos, que no le hagamos agujeros y que no peguemos trozos de ella entre sí (para no formar asas).

Nos quedaría responder a la siguiente pregunta: ¿será el interior esencialmente igual para todas las superficies (lo mismo para el exterior)? Es decir, igual que las regiones en las que una esfera dividiría al espacio tridimensional.

Pues la respuesta es que no. Se pueden construir superficies que dividan al espacio en tres dimensiones en dos regiones que no son topológicamente iguales a las que determina una esfera tridimensional. Y el ejemplo más conocido es la esfera cornuda de Alexander:

Seguro que más de uno dijo, cuando la vio por primera vez, algo parecido a esto:

Pero esa superficie tiene asas, no es equivalente a una esfera.

Pues no, no tiene asas. Eso que parecen asas son una especie de cuernos que le sacamos a la esfera inicial y que no llegan a juntarse, por lo que estamos realizando deformaciones válidas y no formamos asas. Raro, ¿verdad? Y también algo complicado de imaginar. Pero seguro que este vídeo nos aclara muchas cosas:

Ya se entiende mejor cómo construir una esfera cornuda de Alexander, ¿a que sí? Bien, ahora la cuestión es confirmar que esa superficie nos proporciona dos regiones, interior y exterior, que no son equivalente a las dos que proporciona una esfera tradicional.

Para ello vamos a utilizar una característica que pueden tener o no tener las superficies, que es ser simplemente conexas. Una superficie es simplemente conexa si para todo lazo contenido en ella podemos tirar de la cuerda con la que hemos formado dicho lazo y reducirlo a un único punto.

Vamos a estudiar esta característica en el exterior de la esfera tradicional y en el exterior de la esfera cornuda de Alexander, ya que si los dos exteriores fueran topológicamente iguales entonces serían los dos simplemente conexos o no lo sería ninguno. Comenzamos con el exterior de la esfera. Es claro que todo lazo contenido en el exterior de una esfera tradicional puede retraerse a un punto sin más que tirar de la hipotética cuerda con la que hemos formado dicho lazo.

Probemos ahora con el exterior de la esfera cornuda de Alexander. Tomamos un lazo como aparece en la siguiente figura:

Si intentamos “sacar” ese lazo no podremos, ya que tendremos que “esquivar” los infinitos cuernos que se irá encontrando dicho lazo, cosa que evidentemente es imposible. La consecuencia de esto es que el exterior de una esfera tradicional no es topológicamente igual al exterior de la esfera de Alexander, por lo que aquí tenemos un ejemplo de una superficie obtenida por deformación de una esfera para la cual el equivalente en tres dimensiones del teorema de la curva de Jordan no sería cierto.

Con todo ello vemos que existen deformaciones de una esfera en tres dimensiones que nos dan regiones interior y exterior topológicamente distintas a las que nos da dicha esfera, por lo que el teorema de la curva de Jordan no se puede generalizar a dimensión tres.

Para finalizar, comentar que la esfera cornuda de Alexander no es el único ejemplo que se conoce. Yo he encontrado uno más, que se denomina esfera cornuda de Antoine. Éste es un objeto bastante raro que proviene de lo que se conoce como collar de Antoine (Antoine’s necklace). Este collar de Antoine se construye de la siguiente forma:

Partimos de un toro (una rosquilla) hueco. Ahora lo rellenamos con una especie de collar formado por pequeños toros anillados entre sí y borramos el toro inicial. Nos queda entonces una especie de collar. Ahora hacemos lo mismo en cada uno de los pequeños todos que tenemos, y así sucesivamente. El collar de Antoine es la figura correspondiente a la realización de este proceso infinitas veces.

En la segunda iteración (la segunda vez que sustituimos toros por collar) quedaría así:

Y aquí lo tenéis en movimiento:

Sin duda se tratan de figuras bastantes peculiares y, como hemos visto, con propiedades realmente curiosas. De hecho son las únicas que conozco que cumplan esto. Sería magnífico que si alguien conoce alguna más nos la presentara en un comentario. Muchas gracias.


Fuentes, enlaces relacionados y otros sitios donde se habló de la esfera cornuda de Alexander:


Tercera aportación a la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que organizan en pimedios.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Hay un punto que no entiendo de la explicación de porqué no se puede sacar el lazo de la esfera cornuda de Alexander:
    ¿porqué se pueden “sacar” infinitos cuernos de las ramas y no se pueden luego recorrer con el lazo?.

    Es decir, veo un proceso constructivo infinito que dices posible.
    Y un proceso de recorrido infinito… y dices que no es posible.

    Gabriel
    P.D. disculpad mi ignorancia si lo que pregunto es una obviedad

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  2. Otra duda, no sé nada de topología, pero ¿podemos decir que las esferas cornudas son equivalentes a la esfera si su dimensión fractal aparentemente no es la misma que la de la esfera?

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  3. Albert, gracias por el enlace,
    no deja de ser paradójico que los cuernos no se toquen pero el comportamiento sea como el de un asa cerrada,

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  4. Te he dejado mi voto en el carnaval, me ha encantado tu entrada, y más que otras entradas porque conocía bien el tema. Por cierto, me ha sorprendido un montón el collar de Antoine, el video es espectacular…

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  5. Muchísimas gracias MAgo Moebius :).

    A mí también me sorprendió mucho este vídeo. Y también lo “sencilla” que es esa construcción, bajo mi punto de vista mucho más simple que la propia esfera cornuda de Alexander :).

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  6. Hola! No soy una experta en topologia, pero siempre he tenido una duda que nunca he sabido responder. Cual es el grupo fundamental la esfera cornuda de Alexandre? es Z como el del toro o los caminos alrededor de diferentes “cuernecitos” no son homeomorfos entre si?

    Un saludo!

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  7. ¡Increíble! Cada cosa que uno aprende día a día. Definitivamente me alegro mucho de estudiar matemáticas.

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    • yo también me alegro si te sirve para algo constuctivo!

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