Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci

Si te parece interesante este artículo puedes votarlo en Menéame:

Curiosidades sobre los números de Fibonacci en Menéame

Números de FibonacciTanto la sucesión de Fibonacci F_n como el número de oro o número aúreo \phi poseen multitud de propiedades y relaciones. Algunas son relativamente evidentes y otras son bastante curiosas. Os voy a comentar en este artículo algunas con las que me he topado en los últimos días que me parecen interesantes y (en algún caso diría que) sorprendentes.

  • Fórmula de Binet

    La siguiente fórmula, atribuida a Binet aunque parece que De Moivre ya la conocía 100 años antes (ya sabemos que en matemáticas no siempre podemos fiarnos de los nombres) nos dice cómo calcular el n-ésimo número de Fibonacci. Nos la podemos encontrar de varias formas:

    F_n=\cfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}} F_n =\cfrac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5} F_n=\cfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}}{\sqrt 5}

    Es sencillo comprobar este hecho por inducción. En este enlace podéis ver una prueba de ello.

    Dado que (1-\phi)^n tiende a {0} cuando n \rightarrow \infty podemos aproximar el número de Fibonacci F_n a través de \textstyle{\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}. Añadiendo un sumando podemos dar una fórmula exacta más reducida que las anteriores:

    F_n=\bigg \lfloor \cfrac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \cfrac{1}{2} \bigg \rfloor

  • Serie de potencias

    Si tomamos la sucesión de Fibonacci de la siguiente forma:

    F_n= \begin{cases} 0, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}

    los números de Fibonacci son 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots. Tomemos la función f(x) definida como la serie de potencias centrada en {0} cuyos coeficientes son los números de Fibonacci, es decir:

    f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty F_n \, x^n}=0 \, x^0+1 \, x^1+1 \, x^2+2 \, x^3+ \ldots

    Entonces podemos demostrar que la f(x) tiene una expresión bastante sencilla:

    f(x)=\cfrac{x}{1-x-x^2}

  • Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci

    Esta es la propiedad que más me sorprendió al verla de las que voy a comentar en esta entrada. Dice lo siguiente:

    Si N es un número entero positivo, N es un número de Fibonacci si y sólo si 5 \cdot N^2+4 ó 5 \cdot N^2-4 es un cuadrado perfecto.

    Como podéis ver la regla es bien sencilla. Veamos algunos ejemplos:

    F_0=0 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 0^2+4=4=2^2
    F_1=1 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 1^2-4=1=1^2
    F_2=1 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 1^2+4=9=3^2
    F_3=2 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 2^2-4=16=4^2
    F_4=3 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 3^2+4=49=7^2
    4 no es un número de Fibonacci porque ni 5 \cdot 4^2-4=76 ni 5 \cdot 4^2+4=84 son cuadrados perfectos.
    F_5=5 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 5^2-4=121=11^2
    6 no es un número de Fibonacci porque ni 5 \cdot 6^2-4=176 ni 5 \cdot 6^2+4=184 son cuadrados perfectos.

    Este dato lo he sacado de esta página, donde además comentan que este hecho fue demostrado por un tal Ira Gessel. He intentado buscar una demostración por internet pero no he encontrado nada concluyente. Partiendo de la fórmula de Binet yo he conseguido (a falta de ordenar mi razonamiento y algún pequeño detalle) demostrar la implicación hacia la derecha, es decir, Si N es un número de Fibonacci entonces 5 \cdot N^2+4 ó 5 \cdot N^2-4 son cuadrados perfectos. La otra no he tenido tiempo de intentarla. A ver si alguien se anima con ello (con las dos implicaciones; si no sale nada ordeno mi demostración y la publico).

  • Relación con los números de Lucas

    La sucesión de Lucas es una sucesión del mismo tipo que la sucesión de Fibonacci, es decir, se define igual, pero cuyos primeros términos son 2 y 1, esto es:

    L_n=\begin{cases} 2, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ L_{n-1}+L_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}

    Su nombre viene de Édouard Lucas, matemático francés que estudió este tipo de sucesiones. Los números de Lucas son los términos de dicha sucesión. Los primeros son:

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322, \ldots

    Existe una relación muy estrecha entre la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas. De hecho internet está lleno de información sobre el tema. La curiosidad que quiero comentar me ha surgido escribiendo este artículo y no recuerdo haberla visto en ninguna página (si la encontráis por ahí escribid un comentario).

    La cuestión está relacionada con la propiedad anterior. Hemos dicho que N es un número de Fibonacci si 5 \cdot N^2+4 ó 5 \cdot N^2-4 son cuadrados perfectos. Según parece en cada caso uno y sólo uno de esos dos números es un cuadrado perfecto (con excepción de F_1=F_2=1, para los cuales tanto uno como otro cumplen esa propiedad). No tengo demostración de ello pero así lo creo. Pero hay más: cuando n es par el cuadrado perfecto es el que lleva el +4 y cuando n es impar es el que tiene el -4 el que cumple que es un cuadrado perfecto. Lo he comprobado con más números pero no me he podido parar a intentar demostrarlo.

    Y no acaba la cosa aquí. Conforme escribía los ejemplos me he fijado en los cuadrados perfectos que iban apareciendo: 2^2,1^2,3^2,4^2,7^2,11^2,18^2,29^2, \ldots ¿Os suenan? Pues sí, son los cuadrados de los números de Lucas. Al menos eso es lo que parece conforme avanzamos en el cálculo. Si esta propiedad fuera cierta, teniendo en cuenta la relación +4 si n es par y -4 si n es impar, tendríamos que la siguiente igualdad es cierta:

    (L_n)^2=5 \cdot (F_n)^2+4 \cdot (-1)^n

    No creo que haya descubierto nada nuevo, pero no recuerdo haberla visto en ninguna de las fuentes que he consultado. Si alguien tiene información sobre la veracidad o falsedad de la misma que nos lo comunique a través de un comentario.

Como he dicho antes hay otras muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci (y de su relación con los números de Lucas) que serían dignas de mención. De hecho algunas de ellas ya han sido comentadas en Gaussianos. Otras todavía no. Os invito a que participéis en los comentarios con opiniones sobre las tres propiedades que os he presentado (demostrar los detalles que faltan sería interesante) así como con aportes en forma de otras propiedades interesantes sobre estos números.

Share

22 comentarios

  1. Trackback | 2 mar, 2009

    Bitacoras.com

  2. Jechira | 2 de marzo de 2009 | 12:33

    Vótalo Thumb up 0

    Creo que en la relacione entre los números de Fibonacci y Lucas falta multiplicar por 5 (Fn)^2 para que la formula sea correcta.

  3. Jechira | 2 de marzo de 2009 | 12:52

    Vótalo Thumb up 0

    Ademas como aproximación valida para n suficientemente grande el termino +-4 no influye frente a los cuadrados. Por lo que Ln^2=5Fn^2 como aproximación.

  4. fede | 2 de marzo de 2009 | 13:10

    Vótalo Thumb up 0

    Del resultado de 1972 de Ira Gessel tenemos una demostración que no usa la fórmula de Binet en
    http://users.rowan.edu/~simons/ijmestimposters.pdf

    La última identidad (con el 5 que falta antes de F_n^2 ) es una de las que aparecen en
    http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormulae.html#order2fibluc
    y, según el Koshy, fué descubierta por P.Schub en 1950.

  5. Trackback | 2 mar, 2009

    Curiosidades sobre los números de Fibonacci

  6. ^DiAmOnD^ | 2 de marzo de 2009 | 13:30

    Vótalo Thumb up 0

    Cierto, faltaba el 5. Ya está puesto.

    Vaya, gracias fede. No sabes las vueltas que di buscando la demostración de Gessel. Le echaré un ojo.

  7. javi | 2 de marzo de 2009 | 16:22

    Vótalo Thumb up 0

    Hola, leyendo tu post me ha surgido una duda:
    Cuando dices que se puede demostrar facilmente que la función a la que converge la serie de potencias con coeficientes los números de Fibonacci es esa, ¿Has partido de la función y has encontrado su desarrollo de Taylor centrado en 0? ¿Te has basado en desarrollos conocidos (serie geométrica)? Llevo un rato dándole vueltas y no consigo demostrarlo.
    Gracias

  8. Sive | 2 de marzo de 2009 | 16:46

    Vótalo Thumb up 0

    Es obvio que sólo uno de los números 5·N^2+4 o 5·N^2-4 puede ser un cuadrado perfecto. Los cuadrados se van separando cada vez más, y muy pronto la distancia entre dos consecutivos es mayor que 8. Solo hay que considerar el caso particular de unos pocos cuadrados pequeños, para encontrar la única excepción en N=1.

  9. einstein | 2 de marzo de 2009 | 17:10

    Vótalo Thumb up 0

    Què bobos…..todo està incorrecto, si M>-9 es = N>+8, por què no da 123(x)+1G ?

  10. Toro Sentado | 2 de marzo de 2009 | 18:50

    Vótalo Thumb up 0

    Yo me se una propiedad muy sencillita que creo que sale en el didáctico libro “El diablo de los números”

    \lim_{n \to  \infty}\frac {F_n}{F_{n-1}}= \varphi

    Saludos a todos

  11. M | 2 de marzo de 2009 | 19:03

    Vótalo Thumb up 0

    Otra curiosidad: dado cualquier natural N existen infinitos números de Fibonacci que son múltiplos de N. ¿Alguien tiene ganas y/o tiempo de demostrarlo?

  12. J. H. S. | 2 de marzo de 2009 | 22:29

    Vótalo Thumb up 0

    Algunas curiosidades más… Espero que alguien se anime a postear las pruebas correspondientes:

    1. No hay números perfectos en la sucesión de Fibonacci.

    2. Las únicas potencias perfectas en la sucesión de Fibonacci son 1, 8 y 144.

    3. La identidad de Cassini es un ingrediente importante de una demostración breve de la afirmación hecha por Toro Sentado.

    4. La sucesión de Fibonacci es completa. Esto, es, todo número se puede expresar como la suma de elementos de la sucesión de Fibonacci.

    5. La sucesión de Fibonacci se puede encontrar en el triángulo de Pascal.

    Saludos. :)

    P.D. La respuesta al reto de M se puede encontrar por aquí:

    http://gaussianos.com/factores-de-los-numeros-de-fibonacci/

  13. ^DiAmOnD^ | 3 de marzo de 2009 | 03:15

    Vótalo Thumb up 0

    J.H.S., sobre la relación entre el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci ya publiqué algo hace tiempo:

    El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

  14. J. H. S. | 3 de marzo de 2009 | 08:19

    Vótalo Thumb up 0

    Gracias por la liga, estimado Diamond. ¿Qué te han parecido las otras propiedades? :)

  15. ^DiAmOnD^ | 3 de marzo de 2009 | 15:25

    Vótalo Thumb up 0

    De nada J.H.S.. Las conocía, aunque no he buscado información sobre ellas. Las había visto de pasada buscando cosas sobre las otras propiedades. De todas formas también son interesantes.

    Gracias :)

  16. Trackback | 4 mar, 2009

    Poema de oro | Gaussianos

  17. Trackback | 10 mar, 2009

    previously on 1,1,2,3,5,8,13… « colacados

  18. Jonas Castillo Toloza | 24 de marzo de 2009 | 00:00

    Vótalo Thumb up 0

    Utilizando las fòrmulas

    Fn = (phi^n – (-1/phi)^n)/raiz 5

    Ln = phi^n + (-1/phi)^n

    Encuentro que los primeros tèrminos de Fn son 1, 1, 2; y
    los primeros tèrminos de Ln son 1, 3, 4; nunca 0, 2 respectivamente; aunque esto me parece trivial para demostrae “La Ultima Propiedad de ^DiAmOnD^”

    (Ln)^2 = 5.(Fn)^2 + 4.(-1)^n

    Por las fòrmulas antes enunciadas de Ln y Fn tenemos que

    1. (Ln)^2 = (phi^n + (-1/phi)^n)^2
    2. 5.(Fn)^2 + 4.(-1)^n = (phi^n – (-1/phi)^n)^2 + 4.(-1)^n

    igualando 1 y 2 tenemos

    (phi^n + (-1/phi)^n)^2 = (phi^n – (-1/phi)^n)^2 + 4.(-1)^n

    phi^2n + 2.(-1) + (-1/phi)^2n =
    phi^2n – 2.(-1) + (-1/phi)^2n + 4(-1)^n

    (eliminando phi^2n y (-1/Phi)^2n a amnbos lados nos queda)

    2.(-1) = -2.(-1) + 4.(-1)^n
    -2 = 2 + 4.(-1)^n
    -4 = 4(-1)^n

    Lo cual es cierto sôlo si n es impar

    Demostremos que “La Ultima Propiedad de ^DiAmOnD^” tambièn es cierta cuando n es par

    Si n = 2K, entonces

    Ln = phi^2k + (1/phi)^2k

    Fn = (phi^2k -(1/phi)^2k)/raîz5

    1. (Ln)^2 = phi^4k + 2.(1) + (1/phi)^4k
    2. 5(Fn)^2 + 4.(-1)^2k = phi^4k – 2.(1) + (1/phi)^4k + 4

    Igualando 1 y 2 tenemos

    phi^4k +2.(-1) + (1/phi)^4k = phi^4k – 2.(1) + (1/phi)^4k+4
    2(-1) = -2(1) + 4
    -2 = -2

    Demostrado ^DiAmOnD^

  19. Trackback | 6 may, 2009

    ¿He sido yo? | Gaussianos

  20. mps | 7 de abril de 2013 | 04:43

    Vótalo Thumb up 0

    Creo q llego bastante tarde pero buscando n la red informacion he dado con este post y la verdad es q me ha resultado interesante asi q lo he leido… Y solo quería decir q la segunda demostración de Jonas Castillo cuando n es par, es erronea pues 2(-1) = -2(1) +4 no es -2=-2 sino -2=2. Por lo que emtonces no se cumpliria para n par…
    Si me equivoco decidmelo… Gracias

  21. JJGJJG | 7 de abril de 2013 | 12:40

    Vótalo Thumb up 0

    La propiedad, para cualquier n, par o impar se deduce fácilmente de las fórmulas generadoras del siguiente modo:

    Ln= phi^n + (1-phi)^n
    Fn = (phi^n – (1-phi)^n)/raíz(5)

    Elevamos ambas al cuadrado:
    (Ln)^2 = phi^(2n) + (1-phi)^(2n) + 2*phi^n*(1-phi)^n
    5*(Fn)^2 = phi^2n + (1-phi)^(2n) – 2*phi^n*(1-phi)^n

    Y restando:
    (Ln)^2 -5*(fn)^2 = 4*phi^n*(1-phi)^n

    Pero phi*(1-phi) = -1

    Luego 5*(Fn)^2 – (Ln)^2 = 4*(-1)^n, c.q.d

  22. JJGJJG | 19 de abril de 2013 | 21:53

    Vótalo Thumb up 0

    Conjetura curiosa sobre la sucesión de Fibonacci: el límite de la suma desde i=1 hasta n-1 de arcoseno((raíz(5)/2)*f(i)/f(n)) es igual al número pi. ¿Alguien le hinca el diente?
    Equivale a decir que si inscribimos en una circunferencia un polígono cuyos lados son (en cualquier orden) los n-1 primeros términos de la sucesión, el radio de la circunferencia es f(n)/raíz(5).

Escribe un comentario

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia. Utiliza la Vista Previa antes de publicar tu comentario para asegurarte de que las fórmulas están correctamente escritas.