Comments on: Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: ¿He sido yo? | Gaussianos http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10223 ¿He sido yo? | Gaussianos Wed, 06 May 2009 07:00:55 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10223 [...] las fracciones? ¿Y el número , que en tantos sitios aparece? ¡Y nuestra divina proporción, el número (phi)! ¿Todo eso hemos creado? Bajo mi punto de vista Kronecker nos ve demasiado poderosos e [...] [...] las fracciones? ¿Y el número , que en tantos sitios aparece? ¡Y nuestra divina proporción, el número (phi)! ¿Todo eso hemos creado? Bajo mi punto de vista Kronecker nos ve demasiado poderosos e [...]

]]> By: Jonas Castillo Toloza http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10222 Jonas Castillo Toloza Mon, 23 Mar 2009 22:00:13 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10222 Utilizando las fòrmulas Fn = (phi^n - (-1/phi)^n)/raiz 5 Ln = phi^n + (-1/phi)^n Encuentro que los primeros tèrminos de Fn son 1, 1, 2; y los primeros tèrminos de Ln son 1, 3, 4; nunca 0, 2 respectivamente; aunque esto me parece trivial para demostrae "La Ultima Propiedad de ^DiAmOnD^" (Ln)^2 = 5.(Fn)^2 + 4.(-1)^n Por las fòrmulas antes enunciadas de Ln y Fn tenemos que 1. (Ln)^2 = (phi^n + (-1/phi)^n)^2 2. 5.(Fn)^2 + 4.(-1)^n = (phi^n - (-1/phi)^n)^2 + 4.(-1)^n igualando 1 y 2 tenemos (phi^n + (-1/phi)^n)^2 = (phi^n - (-1/phi)^n)^2 + 4.(-1)^n phi^2n + 2.(-1) + (-1/phi)^2n = phi^2n - 2.(-1) + (-1/phi)^2n + 4(-1)^n (eliminando phi^2n y (-1/Phi)^2n a amnbos lados nos queda) 2.(-1) = -2.(-1) + 4.(-1)^n -2 = 2 + 4.(-1)^n -4 = 4(-1)^n Lo cual es cierto sôlo si n es impar Demostremos que "La Ultima Propiedad de ^DiAmOnD^" tambièn es cierta cuando n es par Si n = 2K, entonces Ln = phi^2k + (1/phi)^2k Fn = (phi^2k -(1/phi)^2k)/raîz5 1. (Ln)^2 = phi^4k + 2.(1) + (1/phi)^4k 2. 5(Fn)^2 + 4.(-1)^2k = phi^4k - 2.(1) + (1/phi)^4k + 4 Igualando 1 y 2 tenemos phi^4k +2.(-1) + (1/phi)^4k = phi^4k - 2.(1) + (1/phi)^4k+4 2(-1) = -2(1) + 4 -2 = -2 Demostrado ^DiAmOnD^ Utilizando las fòrmulas

Fn = (phi^n – (-1/phi)^n)/raiz 5

Ln = phi^n + (-1/phi)^n

Encuentro que los primeros tèrminos de Fn son 1, 1, 2; y
los primeros tèrminos de Ln son 1, 3, 4; nunca 0, 2 respectivamente; aunque esto me parece trivial para demostrae “La Ultima Propiedad de ^DiAmOnD^”

(Ln)^2 = 5.(Fn)^2 + 4.(-1)^n

Por las fòrmulas antes enunciadas de Ln y Fn tenemos que

1. (Ln)^2 = (phi^n + (-1/phi)^n)^2
2. 5.(Fn)^2 + 4.(-1)^n = (phi^n – (-1/phi)^n)^2 + 4.(-1)^n

igualando 1 y 2 tenemos

(phi^n + (-1/phi)^n)^2 = (phi^n – (-1/phi)^n)^2 + 4.(-1)^n

phi^2n + 2.(-1) + (-1/phi)^2n =
phi^2n – 2.(-1) + (-1/phi)^2n + 4(-1)^n

(eliminando phi^2n y (-1/Phi)^2n a amnbos lados nos queda)

2.(-1) = -2.(-1) + 4.(-1)^n
-2 = 2 + 4.(-1)^n
-4 = 4(-1)^n

Lo cual es cierto sôlo si n es impar

Demostremos que “La Ultima Propiedad de ^DiAmOnD^” tambièn es cierta cuando n es par

Si n = 2K, entonces

Ln = phi^2k + (1/phi)^2k

Fn = (phi^2k -(1/phi)^2k)/raîz5

1. (Ln)^2 = phi^4k + 2.(1) + (1/phi)^4k
2. 5(Fn)^2 + 4.(-1)^2k = phi^4k – 2.(1) + (1/phi)^4k + 4

Igualando 1 y 2 tenemos

phi^4k +2.(-1) + (1/phi)^4k = phi^4k – 2.(1) + (1/phi)^4k+4
2(-1) = -2(1) + 4
-2 = -2

Demostrado ^DiAmOnD^

]]> By: previously on 1,1,2,3,5,8,13… « colacados http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10221 previously on 1,1,2,3,5,8,13… « colacados Tue, 10 Mar 2009 08:44:31 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10221 [...] todo esto, sólo quería enseñarle este interesante enlace sobre los números de Fibonacci, pero antes se tuvieron que manifestar mis más básicos instintos [...] [...] todo esto, sólo quería enseñarle este interesante enlace sobre los números de Fibonacci, pero antes se tuvieron que manifestar mis más básicos instintos [...]

]]> By: Poema de oro | Gaussianos http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10220 Poema de oro | Gaussianos Wed, 04 Mar 2009 07:01:23 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10220 [...] 7 en Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci [...] [...] 7 en Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci [...]

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10219 ^DiAmOnD^ Tue, 03 Mar 2009 13:25:36 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10219 De nada <strong>J.H.S.</strong>. Las conocía, aunque no he buscado información sobre ellas. Las había visto de pasada buscando cosas sobre las otras propiedades. De todas formas también son interesantes. Gracias :) De nada J.H.S.. Las conocía, aunque no he buscado información sobre ellas. Las había visto de pasada buscando cosas sobre las otras propiedades. De todas formas también son interesantes.

Gracias :)

]]> By: J. H. S. http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10218 J. H. S. Tue, 03 Mar 2009 06:19:56 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10218 Gracias por la liga, estimado <b>Diamond</b>. ¿Qué te han parecido las otras propiedades? :) Gracias por la liga, estimado Diamond. ¿Qué te han parecido las otras propiedades? :)

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10217 ^DiAmOnD^ Tue, 03 Mar 2009 01:15:59 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10217 <strong>J.H.S.</strong>, sobre la relación entre el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci ya publiqué algo hace tiempo: <a href="http://gaussianos.com/el-triangulo-de-pascal-y-la-sucesion-de-fibonacci/" rel="nofollow">El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci</a> J.H.S., sobre la relación entre el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci ya publiqué algo hace tiempo:

El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

]]> By: J. H. S. http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10216 J. H. S. Mon, 02 Mar 2009 20:29:42 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10216 Algunas curiosidades más... Espero que alguien se anime a <i>postear</i> las pruebas correspondientes: $latex 1.$ No hay números perfectos en la sucesión de Fibonacci. $latex 2.$ Las únicas potencias perfectas en la sucesión de Fibonacci son $latex 1, 8$ y $latex 144$. $latex 3.$ La identidad de Cassini es un ingrediente importante de una demostración <b>breve</b> de la afirmación hecha por <b>Toro Sentado</b>. $latex 4.$ La sucesión de Fibonacci es <b>completa</b>. Esto, es, todo número se puede expresar como la suma de elementos de la sucesión de Fibonacci. $latex 5.$ La sucesión de Fibonacci se puede encontrar en el triángulo de Pascal. Saludos. :) P.D. La respuesta al reto de M se puede encontrar por aquí: http://gaussianos.com/factores-de-los-numeros-de-fibonacci/ Algunas curiosidades más… Espero que alguien se anime a postear las pruebas correspondientes:

1. No hay números perfectos en la sucesión de Fibonacci.

2. Las únicas potencias perfectas en la sucesión de Fibonacci son 1, 8 y 144.

3. La identidad de Cassini es un ingrediente importante de una demostración breve de la afirmación hecha por Toro Sentado.

4. La sucesión de Fibonacci es completa. Esto, es, todo número se puede expresar como la suma de elementos de la sucesión de Fibonacci.

5. La sucesión de Fibonacci se puede encontrar en el triángulo de Pascal.

Saludos. :)

P.D. La respuesta al reto de M se puede encontrar por aquí:

http://gaussianos.com/factores-de-los-numeros-de-fibonacci/

]]> By: M http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10215 M Mon, 02 Mar 2009 17:03:43 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10215 Otra curiosidad: dado cualquier natural $latex N$ existen infinitos números de Fibonacci que son múltiplos de $latex N$. ¿Alguien tiene ganas y/o tiempo de demostrarlo? Otra curiosidad: dado cualquier natural N existen infinitos números de Fibonacci que son múltiplos de N. ¿Alguien tiene ganas y/o tiempo de demostrarlo?

]]> By: Toro Sentado http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/#comment-10214 Toro Sentado Mon, 02 Mar 2009 16:50:24 +0000 http://gaussianos.com/?p=1021#comment-10214 Yo me se una propiedad muy sencillita que creo que sale en el didáctico libro "El diablo de los números" $latex \lim_{n \to \infty}\frac {F_n}{F_{n-1}}= \varphi $ Saludos a todos Yo me se una propiedad muy sencillita que creo que sale en el didáctico libro “El diablo de los números”

\lim_{n \to \infty}\frac {F_n}{F_{n-1}}= \varphi

Saludos a todos

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