Algunas fracciones continuas interesantes

Hace no mucho tiempo hablábamos sobre fracciones continuas, comentando algunas de sus características y hace algo más de tiempo fede nos hablaba sobre su interpretación combinatoria.

En el primero de ellos hablamos, entre otras cosas, de cómo calcular la fracción continua de un número racional y de un número cuadrático irracional (número irracional que es solución de una ecuación de segundo grado). En este artículo vamos a ver algunas fracciones continuas interesantes de ciertos números cuadráticos irracionales y de otros números irracionales que no cumplen esa característica.

Fracción continua de \phi

El número áureo, \phi=\textstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}, es un número cuadrático irracional, ya que es un número irracional y es solución de la ecuación x^2-x-1=0. Como comentamos en el primer post enlazado antes, este tipo de números tienen una fracción continua infinita (por ser irracionales) y periódica (por ser cuadráticos). Concretamente \phi tiene la siguiente fracción continua:

\phi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}

que suele representarse, como ya dijimos en su momento, por [1; 1,1,1,1,1 \ldots] o simplemente por [1;\overline{1}] (escribimos una línea sobre la secuencia que se repite).

Fracción continua del número plateado \delta _S

El número plateado \delta _S es 1+\sqrt{2}. Su fracción continua, que ya comentamos en ese post, es la siguiente:

\delta _S=2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}}

por lo que su representación de la forma anterior es [2; \overline{2}].

Y como también dijimos en aquel artículo, tanto \phi como \delta _S son dos casos particulares de los medias metálicas entre dos números naturales, que pueden definirse como la mayor solución de la ecuación x^2-nx-1=0, y cuya fracción continua es:

n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots}}}}}

o simplemente [n;\overline{n}].

Fracción continua de e

El número e, irracional y trascendente, tiene una fracción continua sorprendentemente simple teniendo en cuenta la naturaleza de este número. Aquí la tenéis:

e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}

expresión ésta que equivale a [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1 \ldots] y que se suele escribir de forma reducida de la siguiente forma: [2;\overline{1,2k,1}], con k número natural mayor o igual que 1. Repito, al menos para mí es sorprendente que el número e tenga asociada esta fracción continua tan, digamos, simétrica. Característica que también sorprende en esta fracción continua de \sqrt{e}

\sqrt{e}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}

o sea, \sqrt{e}=[1;1,1,1,5,1,1,9,1,1 \ldots]=[1;\overline{4k-3,1,1}], para k número natural mayor o igual que 1.

Si hablamos de fracciones continuas generalizadas (las que no obligan a que los numeradores sean siempre 1), el número e puede expresarse, entre otras, de la siguiente curiosa forma:

e=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\cfrac{7}{7+\cfrac{8}{8+\cfrac{9}{9+\cfrac{10}{10+\ddots}}}}}}}}}

Fracciones continuas de \pi

Y terminamos con la joya de la corona: el número \pi. Además de la multitud de propiedades que posee y de la cantidad de curiosidades que lo rodean, es muy interesante en lo que se refiere a las fracciones continuas que están relacionadas con él.

Si hablamos de fracción continua regular (recuerdo que así es como se denomina a la que sólo acepta numeradores iguales a 1), la de \pi es:

3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}

Vamos, una fracción continua sin ninguna regularidad aparente (básicamente como el propio número \pi, irracional y trascendente al igual que e) y de la que bien poco se conoce.

Pero, como siempre, el número \pi nos tiene guardadas multitud de sorpresas. En este caso en forma de fracciones continuas sorprendentemente simétricas. Por ejemplo la siguiente:

\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\ddots}}}}}

es decir, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números impares y en los denominadores el número que aparece sumando siempre es 2.

Vamos con otra:

\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}

esto es, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números naturales y en los denominadores aparecen sumando los números impares.

Otra más:

\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}

en la que los numeradores son los cuadrados de los números impares y abajo se repite el 6 indefinidamente.

No me digáis que no es inquietante.

Extra: relación entre \phi, e y \pi mediante fracciones continuas

Y para terminar un extra extraordinariamente sorprendente. Aquí tenéis una fracción continua, debida a Ramanujan (no sé por qué pero no me extraña nada que sea de él), que relaciona a \phi, e y \pi:

(\sqrt{2+\phi}-\phi) \cdot e^{2 \pi / 5}=1+\cfrac{e^{-2 \pi}}{1+\cfrac{e^{-4 \pi}}{1+\cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\cfrac{e^{-8 \pi}}{1+\cfrac{e^{-10 \pi}}{1+\ddots}}}}}

Casi nada…

Por cierto, ¿conocéis alguna fracción continua interesante que no aparezca por aquí?


Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. “Aquí tenéis una fracción continua, debida a Ramanujan (no sé por qué pero no me extraña nada que sea de él)”

    Jajaja, es verdad, es una fórmula totalmente Ramanujanesca.

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  2. Buenísimo el post.
    De la Web de Wolfram he sacado esta:

    1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\cdots}}}}}=\cfrac{1}{\sqrt{e}-1}

    También demostrada por Euler en 1775. Este es el enlace por si alguien quiere echarle un ojo al artículo: http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html.

    Por cierto que la fórmula esta de Ramanujan me recuerda a la del post “casi entero”. Quizá saliera en la misma investigación.

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  3. La primera fòrmula de e la he trasformado asì:
    1/1
    e =2 + ———————————————————————————————
    ½
    1 + —————————————————————————————–
    1/3
    1 + ———————————————————————————
    ¼
    1 + —————————————————————————
    1/5
    1 + ———————————————————————
    1/n
    1 + ….

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  4. No se escribir latex , es asì

    [2; 1/1, 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1,… 1/n, 1, … ]

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  5. Perdòn no se ve bien, es asì:

    [2; 1/1, 1, ½, 1, 1/3, 1, ¼, 1, 1/5,… 1/n, 1, … ]

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  6. Gaussito, esa etiqueta se utiliza en foros. Aquí hay que usar html :).

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  7. Humm, creo que el valor algebraico de la fracción de Ramanujan que sale en el extra, no se corresponde con dicha fracción, sino con el de su inversa.

    Si consultamos, por ejemplo, en mathworld.com, vemos que la fracción de Rogers-Ramanujan se define de la siguiente manera:

    R(q):=\cfrac{q^{1/5}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}

    También se dice que R(e^{-\pi\sqrt{n}}) es un número algebraico para cualquier valor racional positivo de n. Pues bien, en la ecuación (13)

    R(e^{-2\pi})=\cfrac{e^{-2\pi/5}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}=\left ({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}} \right )=(\sqrt{2+\phi}-\phi)

    Multiplicando ambos miembros por e^{2\pi/5} obtienes eso, la inversa de la fracción que está en la entrada.

    También se puede consultar con más profundidad aquí.

    Gracias por la aclaraciones sobre el url ^DiAmOnD^ 😉

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  8. Las fracciones continuas para e y  \sqrt{e}, pueden generalizarse para cualquier raíz de e:

    \sqrt[n]{ e^{1/n}  } = [1, n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, 1, 1, 9n-1, 1, 1, 11n-1, 1, 1, 13n-1, …]

    (Válido también para n = 1)

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