Ángulos trisecables…pero no construibles

Un ángulo se llama construible si puede construirse con regla y compás siguiendo las normas clásicas, y se llama trisecable si puede dividirse en tres partes iguales siguiendo esas mismas normas. ¿Podremos encontrar algún ángulos trisecable pero no construible?

Un momento, un momento. ¿La trisección del ángulo no era una construcción imposible con regla y compás? Al menos eso es lo que se decía en este post, ¿no? Bueno, no exactamente. Es una construcción imposible en general, es decir, no se puede trisecar un ángulo cualquiera, hay ángulos que son trisecables y ángulos que no.

Lo que suena raro es que un ángulo sea trisecable pero no sea construible. ¿Cómo lo voy a poder trisecar si no lo puedo construir? Bueno, sí lo podemos construir, saltándonos las reglas de las construcciones con regla y compás. Pero de todas formas sigue sonando extraño que “algo que no puede construirse” con regla y compás “sí pueda trisecarse” con regla y compás, ¿verdad? Vamos a ver un ejemplo.

En este artículo dimos una construcción aproximada del heptágono regular, polígono regular de siete lados que no es construible con regla y compás (ya que 7 no es un primo de Fermat):

Si lo fuera, entonces el ángulo

\cfrac{2 \pi}{7}

sería construible con regla y compás, pero no lo es. Partamos pues de este ángulo. Si 2 \pi /7 fuera construible, entonces también lo sería el ángulo 4 \pi / 7 (la suma de ángulos construibles es construible). Y como el ángulo \pi es construible (cuidado, el ángulo, no el número \pi), entonces también lo sería la resta de ellos, esto es:

\pi-\cfrac{4 \pi}{7}=\cfrac{3 \pi}{7}

Por tanto, el ángulo 3 \pi /7 no es construible con regla y compás.

Ahora, si nos dieran este ángulo construido con otras técnicas que no sigan las normas clásicas, podríamos construir a partir de él el ángulo 4 \pi / 7. Restando estos dos obtendríamos el ángulo \pi / 7, que es precisamente un tercio del ángulo inicial. Vamos, que aunque el ángulo 3 \pi / 7 no sea construible podemos trisecarlo si nos lo dan inicialmente. Hecho cuanto menos curioso, ¿verdad?

¿Qué ocurre con las otras opciones? ¿Hay ángulos de pertenezcan a todas ellas? Veamos:

  • Hay ángulos construibles y trisecables, como \pi / 2.
  • Hay ángulos construibles pero no trisecables, como \pi / 3.
  • Sobre si hay ángulos que no sean ni construibles ni trisecables, en el enlace que aparece al final del artículo comentan que parece que \pi / 21 no cumple ninguna de esas dos propiedades. Vale la pena que le echéis un vistazo a la demostración de este hecho y que la comentemos por aquí. Y también al comentario contrario a la misma que aparece también en ese enlace.

Y para terminar una pregunta: ¿conocéis más ángulos con las características de este 3 \pi / 7 (trisecable pero no construible)?


Fuente:


Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Me acaba de surgir una duda sobre la trisección de un ángulo, y no puedo comentar el post original porque está cerrado.

    ¿y si…? Teniendo un ángulo cualquiera definido por los puntos p0, p1 y p2, unidos mediante las rectas p0p1 y p0p2:

    1- Trazamos la bisectriz del angulo definido por las rectas p0p1 y p0p2
    2- Trazamos la perpendicular a la bisectriz por cualquier punto interior al ángulo
    3- La perpendicular a la bisectriz cortará a la recta p0p1 en el punto p3 y a la recta p0p2 en el punto p6
    4- Dividimos (mediante el teorema de Tales) el segmento p3p6 en tres partes iguales, obteniendo los puntos p4 y p5 en el segmento p3p6. Así, tenemos la sucesión de puntos p3, p4, p5, p6 alineados, de forma que p3p4=p4p5=p5p6, porque hemos dividido p3p6 en 3 partes iguales.
    5 La trisectriz del ángulo definido por p0p1 y p0p2 es el el resultado de unir p0 con p4 y p0 con p5

    Creo que todos estos pasos se pueden realizar con regla y compás, y creo que el hecho de que p3p4=p4p5=p5p6 hace que el ángulo quede dividido en tres ángulos iguales. ¿Por qué no se puede? ¿Qué falla en mi razonamiento?

    Un saludo a todos 🙂

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  2. Los ángulos así formados no serían en general iguales. Piensa en el ángulo de 180º. La perpendicular a la bisectriz de ese ángulo es paralela a las rectas que lo definen, luego no hay segmento alguno que dividir en tres partes.

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  3. ^DiAmOnD^, entiendo la motivación del post pero creo que falta un detalle, pues la trisección del ángulo 3\pi/7 está condicionada a la existencia de un método de construcción del mismo. Aunque es de suponer que sí, ¿Se conoce algún método explícito para construirlo?

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  4. Es verdad, OnyxlonVortex. El método no funciona para ningún ángulo mayor que pi, por tanto no se puede decir que sea un método general, pero no veo por qué no puede hallarse así la trisectriz de pi/3, por ejemplo, que se supone que no es trisectable.

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  5. Arael: según el método que propones, si el ángulo a dividir es “x” la parte central es 2arctag(1/3*tag(x/2)), que es superior a x/3. Trigonometricamente se ve que no es posible tu sistema y geometricamente salta a la vista

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  6. Pues tienes razón, no lo había analizado trogonométricamente. Si mi razonamiento estuviese bien, debería cumplirse 3X-2*ATAN(1/3*TAN(X/2))=0 y sin embargo, no lo es en general, sólo se cumple puntualmente para algunos valores.

    Sin embargo, he visto que para un ángulo X = 20º, la solución de la trisectriz serían tres ángulos de 6,66666666…º, y mi método da un ángulo central de 6,7274548…º, que supone una diferencia de menos de 0,06078…º, que es menos del 1% del valor real, por lo que creo que puede valer para determinadas cosas aproximadas.

    De hecho sería interesante saber el error que cometemos al dibujar 🙂 puede que sea mayor que ese 1%.

    No se porqué dices que geométricamente salta a la vista, la verdad que yo no lo había pillado de primeras -_- me estoy oxidando?

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  7. ¿conocéis más ángulos con las características de este (trisecable pero no construible)?

    El mismo razonamiento implica que \dfrac{3\pi}{p}, si p es un primo pero no de Fermat, es trisecable y no construible.

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  8. Arael: Si prolongas el segmento que une P3 con P6, el cual has dividido en 3 partes iguales y vas colocando sucesivos puntos a distancias iguales ,P7, P8, P9…. podrias hacerlo hasta el infinito; al unir estos puntos con el centro del arco los ángulos asi obtenidos evidentemente no son iguales

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  9. Si construimos un triángulo de ángulos 3/7 pi, 3/14 pi y 5/14 pi, la altura del ángulo 3/7 pi divide al ángulo en 1/3 y 2/3, igualmente la del ángulo 3/14 pi, mientras la del ángulo 5/1 pi lo divide en 1/5 y 4/5

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  10. Yo obtuve un metodo mediante el cual se podían trisecar ángulos con un margen de error permitido. Si tienes el ángulo y su radio, tienes q convertirlo en su correspondiente segmento (si sabeis dibujo técnico no tendréis problema), hacer la triseccion del segmento resultante, luego hacer el proceso inverso, y tendremos nuestro ángulo dividido en 3 partes iguales.

    Un parcial saludo

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