Anillo pero no cuerpo

En el momento en el que este post aparezca publicado yo estaré en Guadalajara en el segundo examen de mi oposición: el examen oral. Voy con pocas esperanzas ya que este año apenas he podido estudiar (de hecho es muy probable que simplemente haga acto de presencia), pero estoy obligado a ir. Por todo esto os dejo un problema de oposición. Concretamente fue uno de los problemas del examen de oposición de Andalucía de 2004, la primera oposición a la que me presenté. A ver qué os parece:

El conjunto \left \lbrace a+b \cdot 4 | a,b \in \mathbb{Q} \right \rbrace tiene estructura de anillo con la suma y el producto de números reales.

Probar que no tiene estructura de cuerpo y encontrar un elemento que no tenga inverso para el producto.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

29 Comentarios

  1. ¿Está bien el enunciado? Porque a mí me da la impresión de que a+b*4 donde a y b son racionales es exactamente igual a Q (basta con tomar b=0 y a cualquiera), con lo que evidentemente es un cuerpo.

    Publica una respuesta
  2. En el comentario primero sólo se demuestra que el subconjunto de elementos b=0 y a cualquiera sí tiene estructura de grupo.

    Pero para demostrar que el conjunto total no tiene estructura de grupo respecto al producto se tiene que buscar un elemento distinto de 0 que no tenga inverso, el inverso de cualquier elemento del grupo es 1/(a+4b), basta con
    tomar a = -4b, asi por ejemplo se tiene que el elemento (1, -4) distinto de 0 no tiene inverso.

    Publica una respuesta
  3. Como dice Odo, ese conjunto es idéntico a los racionales, se vé inmediatamente por doble inclusión (poniendo b=0 obtenemos cualquier racional, y si a y b son racionales entonces a+4b también lo es). ¿Seguro que en lugar del 4 ese no aparece algo como una raíz cuadrada de algo?

    Publica una respuesta
  4. Con lo que dice Odo se ve que ese conjunto incluye Q … todo elemento de Q está en ese conjunto. Ahora hay que ver que no hay más elementos en ese conjunto que no estén en Q. Si el número que multiplica a b es 4… evidentemente b*4 pertenece a Q, ya que 4 pertenece a Q y b pertenece a Q.
    Y como a pertenece a Q, la suma también pertenece a Q… así que no hay otros elementos que no sean de Q.

    Por tanto el conjunto, tal como está enunciado es Q.

    Para que no fuese un cuerpo, el enunciado debe cambiar… ¿que tal si en lugar de 4 era PI?… (que se puede parecer un poco)

    Publica una respuesta
  5. ¿Qué tienen que ver los números reales con todo esto? Esa parte del enunciado me despista.

    Publica una respuesta
  6. Creo que casi todos os centrais sólo en el conjunto en sí.
    ¿Y no será que directamente existen elementos distintos del neutro para la suma, (0,0), que no tienen inverso multiplicativo?

    Creo que udayajivi tiene razón. Cualquier elemento del conjunto { (b,-4b) ,, b es racional } no tiene inverso multiplicativo, y dicho conjunto tiene más elementos que el (0,0).

    Publica una respuesta
  7. udayajivi,
    El conjunto no está descrito como vectores o pares de números… sino como números. Por tanto, para b = 1, a=-4 el número de ese conjunto es cero… y no sirve como contrajemplo, ya que el cero (elemento neutro de la suma) es normal que no tenga inverso respecto al producto. Para que no fuera cuerpo, debe encontrarse un elemento DISTINTO DE CERO que no tenga inverso.

    Supongamos que es a+b*PI :

    Sea a = 0, b=1 … el número es PI, su inverso respecto al producto de reales, sería 1/PI y ese número es imposible obtenerlo como a+b*PI
    así que no pertenece al conjunto.

    Publica una respuesta
  8. Perdon, cierto Acid, no son pares de números.

    Entonces tiene que tener alguna errata, sí.

    Publica una respuesta
  9. Acid, efectivamente \{a+b\cdot \pi/\;a,b\in\mathbb{Q}\} no es cuerpo ya que \pi es trascendente (ni siquiera es cerrado para el producto).

    En fin, dado lo confuso de la situación, y motivado por un comentario previo sobre raíces cuadradas de algo, les propongo esta cuestión: hallar todas las soluciones de la ecuación 2^x-5=11^y,\;\;x,y\in \mathbb{N}

    Publica una respuesta
  10. Domingo,
    Creo que la única solución es x=4, y=1
    (Sólo 11+5 (=16) es potencia de 2…)
    pero ahora tengo que demostrarlo.

    Tengo que demostrar que cualquier otra potencia de 11 (y mayor que 1) al sumar 5 nunca es potencia de 2.

    Publica una respuesta
  11. Por mi experiencia en oposiciones tengo mi opinión: el enunciado era así de absurdo.
    Recuerdo un ejercicio de oposición en el que, después de un complicado planteamiento con bolas rojas y negras, preguntaron por la probabilidad de obtener una bola azul (que no existía).

    Publica una respuesta
  12. jajaja,
    bluff, lo que preguntaban era el porcentaje de bolas rojas multiplicado por la probabilidad de que fuera Daltónico jajaja
    (debe ser que son retorcidos… o quizá simplemente inútiles… seguro que si alguien les preguntaba si habría error le dirían que no)

    Publica una respuesta
  13. Se me resiste lo de las potencias de 11 y de 2.

    A lo más que he llegado es que:

    La última cifra de las potencias de 2 siguen la secuencia 2,4,8,6 …

    Y que siempre 11^y + 5 acaba en 6

    Así que basta con comprobar que 11^y + 5 no es 2^(4*z) = 16^z

    Por otro lado, he desarrollado 16^z como binomio de Newton, de la forma (11+5)^z …
    llego a : 11^z + z*11^(z-1)*5 + … z*11*5^(z-1)+ 5^z

    pero no se si sirve de algo

    Publica una respuesta
  14. Bueno, después de unas cuantas opiniones doy la mía: ese conjunto es exactamente \mathbb{Q}, como dijo Odo en el primer comentario, por lo que sí es un cuerpo y el enunciado es erróneo. Lo demuestro como comentó vengoroso en el cuarto comentario, por doble inclusión:

    Sea S=\left \lbrace a+b \cdot 4 | a,b\in\mathbb{Q} \right \rbrace.
    S \subseteq \mathbb{Q}: Sea s=a+b \cdot 4 \in S. Como a,b\in\mathbb{Q} y tanto la suma como el producto de números racionales son operaciones cerradas en \mathbb{Q} se tiene que s\in\mathbb{Q}. Por tanto S \subseteq \mathbb{Q}.

    \mathbb{Q} \subseteq S: Sea q\in\mathbb{Q}. Al ser racional se tiene que \textstyle{\frac{q}{4}} también lo es. Evidentemente {0}\in\mathbb{Q}. Por tanto podemos expresar q de la siguiente forma: q=0+ \textstyle{\frac{q}{4}} \cdot 4. Es decir, q puede ponerse de la forma a+b \cdot 4, con a,b \in \mathbb{Q}. Por tanto q\in\mathbb{S}. Obtenemos entonces que \mathbb{Q} \subseteq S.

    En consecuencia: S=\mathbb{Q}.

    Sobre el hecho de poner ese problema en un examen de oposición tengo dos opiniones: o pusieron un enunciado mal a mala leche o no se dieron cuenta y luego lo corrigieron como les dio la gana. Para mí fue mi primera oposición y con los nervios no sabía si demostrar que el enunciado era falso o buscarme la vida para encontrar un elemento distinto de cero que no tuviera inverso para el producto. Al final me decidí por la segunda opción y salió mal. Por cierto, por si alguien lo pregunta ni me acuerdo de lo que acabé escribiendo como solución del ejercicio.

    Publica una respuesta
  15. ^DiAmOnD^ ,
    creo que te traicionaron los nervios… yo al leer el enunciado también pensé en buscar rápidamente el contraejemplo… ya que con eso estaba resuelta la última pregunta y luego la primera (al existir contrajemplo, implica que no es cuerpo). Pero una vez que me di cuenta de que era Q, buscar contraejemplo ya no tenía sentido, porque no lo hay… entonces yo habría tirado por demostrar que es Q, que el enunciado estaba mal y hacer un enunciado bueno (como cambiar el 4 por PI). Aunque el enunciado esté mal, desde luego lo que nunca van a hacer es darte la respuesta por buena sin poner nada o por poner una simpleza… Entonces, si no te sobra el tiempo en el examen yo iría a por otra pregunta (que en caso de que anulasen esa te sería más provechoso) y ya con todo lo demás completo, yo daría la respuesta más completa posible (con demostraciones y demás, para que se vea que dominas los conocimientos… hasta el punto de “corregir” tú mismo el enunciado, buscando el punto más probable donde está la errata)

    Publica una respuesta
  16. Y a próposito de todo esto: ¿qué es exactamente un examen de oposición? ¿Podría alguien explicarme?

    ¡Salu2 a To2!

    Publica una respuesta
  17. Es un examen para acceder a un puesto oficial del estado, para ser funcionario.

    S2

    Publica una respuesta
  18. Acid pues tienes razón, si me hubiese ocurrido ahora tengo bastante claro qué haría, pero los nervios me jugaron una mala pasada. Qué le vamos a hacer.

    Publica una respuesta
  19. Diamond, tu demostración me chirría un poco.
    Me explico: si q = 0, perfecto. Pero si q no es 0, entonces de q = 0 + q/4 se desprende que 4q = q (0 es el neutro de la suma, supongo, y el inverso de 1/4 es 4), por lo que ¡4 = 1! (q no es 0).
    ¿Será que hay que dos “cus” y la demostración ha de ser un pelín más rigurosa? ¿O será que estoy equivocado? Sinceramente no lo sé.
    Saludos.

    Publica una respuesta
  20. Retiro el comentario anterior, Diamond.
    No aprecié el último 4: q = 0 + (q/4)*4!
    Pido disculpas.:)

    Publica una respuesta
  21. hola a todos;
    con respecto a si estaba bien escrita, algo asi ni siquiera debe ser corregido bueno o malo, si no mas bien debe ser omitido, ya que un instrumento de medicion escrito(examen,prueba, oposicion) debe cumplir con los pilares de validez, confianza, objetividad y practicabilidad(falla en la confeccion) .

    ahora, pregunto si ese conjunto tendrá factorizacion unica.

    Publica una respuesta
  22. Qué el problema no está bien enunciado es tan obvio que no me voy a detener a dar ninguna explicación, más aún habiéndola escrito otras personas anteriormente. Por otra parte, el problema tiene sentido si en vez del 4 del enunciado se utiliza la raíz cuadrada de algún primo p (un número trascendente no sirve, ya que su cuadrado sigue siendo trascendente). En el caso que expongo, no tendrían inverso los elementos tales que a^2-p\cdot b^2=0.

    Publica una respuesta
  23. Cé, yo sí creo que serviría un número transcendente… y tampoco entiendo tu última frase.

    Publica una respuesta
  24. Qué gran verdad… Casarse no es sinónimo de tener más sexo (o lo que es lo mismo, anillo no implica cuerpo). No… a veces no se encuentra el inverso, ese que es justo lo que te falta para que al juntarse multiplicando se sea uno sólo. Se me va la pinza…

    Qué tal las opos? Se sabe algo?

    Publica una respuesta
  25. jajaja, muy bueno Lola, mancantao.
    ¿podría ser yo tu inverso? (que no invertido)
    Yo creo que ninguno de los dos somos nulos, así que quien sabe… 😉

    Publica una respuesta
  26. Lola sublime :D.

    Pues no, todavía no hay notas porque todavía se están haciendo las exposiciones. Pero de todas formas nada, no hice la exposición porque no pude preparar nada. Esperemos que para las próximas la cosa sea mejor.

    Publica una respuesta
  27. Pero hombre debias haberte presentado, mira yo, que soy licenciado en ciencias ambientales, y las he preparado en tres meses, he aprobado, claro que mi nota no es para tirar cohetes, un 6.22.Me lanze a las opos porque en ese momento me estaba leyendo un libro que me cautivo, el universo de las matematicas, de w. Dunham La programacion en dos semanas la elabore me la aprandi de memoria y la solte en el segundo examen, el tercero fatal, porque no hice ninguna unidad didactica, pero me tire 25 minutos soltando rollo, total que al final he aprobado. Recuerdo cuando me puse con el tema uno y no entendia el principio de induccion, al final era porque no conocia el lenguaje matematico y por eso me pase al tema 11 (fue el que me toco) que fue el primero que me estudie, despues ya volvi al 1. gracias a este blog quizas me matricule por la uned el año que viene. De todas formas esto de las opos meparece un verdadero timo.

    Publica una respuesta
  28. Acid, quién sabe… 😛

    Diamond, bueno, esto es envidia para animarte a sacártelas la próxima vez: se vive de lujo y es un trabajo muy satisfactorio (cuando no tienes un petardillo diciéndote que pasa de abrir el libro). Yo de vez en cuando les suelto a los de 2º de eso en una esquina de la pizarra la suma de los inversos de los cuadrados y cosas así y quiero pensar que a alguno le sorprenderá y le servirá para abrir su cabeza más allá de multiplicar polinomios 🙂

    Porfirio, supongo que es como todo, la suerte claro que influye… yo estuve 9 meses preparándolas ‘full time’ e hice la carrera de matemáticas. Me preparé 70 temas de 71 (hace dos años eran dos bolas y elegías una), con lo que algo de espacio se le puede quitar a la suerte. Pero sí creo que para asegurarlas mínimamente hay que dedicarles bastante tiempo.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. meneame.net - Anillo pero no cuerpo... [c&p] os dejo un problema de oposición. Concretamente fue uno de los problemas del examen…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *