Aprendiendo lo que es una derivada y una integral definida (y muchas otras cosas) con PhET

The Physics Education Technology Project es un proyecto de la Universidad de Colorado consistente en simulaciones relacionadas con la Física, la Biología, la Química, las Ciencias de la Tierra o las Matemáticas cuyo objetivo es facilitar la comprensión de ciertos fenómenos relacionados con la Ciencia.

Hay unas cuantas simulaciones dignas de mención, pero en este post os voy a comentar una relacionada con las derivadas y las integrales definidas que se llama Graficador de Cálculo. En ella podemos ver cómo varían tanto la derivada como la integral definida conforme vamos modificando una cierta función. Vamos a echar un vistazo en unas imágenes a lo que nos ofrece.

En la pantalla inicial aparecen la gráfica de la función idénticamente cero y su derivada (la misma función, evidentemente). Para que aparezca la integral definida debemos marcarlo en la barra lateral de la derecha. Para que comience a mostrarnos cosas debemos hacer algo con la función. En la siguiente imagen podéis ver un ejemplo en el que he estirado la función hacia arriba, formando una especie de montaña:

La línea vertical azul que veis a la derecha es el “Cursor” (tenéis que activarlo también abajo a la derecha). Con él podéis ver qué relación mantiene la función con su derivada y su integral definida hasta cierto punto.

Partiendo de la premisa de que la función es derivable el número de veces que sea necesario, ¿qué le ocurre a la derivada cuando la función es creciente? Pues que es positiva. Por tanto, en los intervalos en los que la función es creciente se ve cómo la derivada está por encima del eje X, y viceversa (cuando la función es decreciente, la derivada es negativa, y por tanto su gráfica está situada por debajo del eje X). ¿Qué ocurre con la integral definida? Pues que mientras que la función se mantenga por encima del eje X, la integral definida es positiva (por ser el área limitada por la función y el eje X):

Recordemos que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, y que cuando una función es creciente la pendiente de dicha tangente es positiva (al contrario si es decreciente).

También podemos ver en el intervalo de cero hasta el “cursor” que la gráfica de la derivada sube y llegado a un punto baja. ¿Por qué ocurre esto? Pues porque la función tiene un punto de inflexión en el que pasa de tener derivada segunda positiva (lo que yo llamaría convexa) a tener derivada segunda negativa <(lo que yo llamaría cóncava), y en esos puntos de inflexión lo que ocurre es que la pendiente de la tangente va subiendo conforme la función crece de forma convexa y desde el punto de inflexión va bajando conforme la función crece de forma cóncava hasta llegar a ser cero en el punto máximo.

En la siguiente imagen se puede ver todo lo comentado antes. Además, le he hecho unos cuantos cambios a la función para poder ver todas estas relaciones en más intervalos. Por ejemplo, se puede ver que el valor de la integral definida va variando conforme la función cambia, siendo negativa en algunos casos (en los puntos en los que el área que hay por debajo del eje X es mayor que el área que hay por encima):

Y a partir de aquí os dejo trastear a vosotros con el resto de opciones. Os recomiendo que le dediquéis un rato, y también que después le echéis un vistazo a este vídeo-tutorial del programa que colgó hace un par de días Ricardo Martínez en nuestra comunidad de Matemáticas de Google+:

Creo que es una simulación muy interesante y que puede ser muy didáctica para relacionar estos conceptos, teniendo en cuenta todas las posibilidades que nos da. Espero que os haya gustado y que os resulte útil.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

1 comentario

  1. Me recuerda cuando aprendía las derivadas.
    Yo siempre fui poco dado a aprender las cosas de memoria y de vez en cuando me asaltaban dudas como la siguiente:

    ¿es la derivada del seno el coseno o era el -coseno?

    Basándome en mi memoria no estaba seguro si era una cosa o la otra. Pero no había problema, porque pintaba el seno y lo derivaba mentalmente… Por ejemplo, cuando el ángulo es 0º el seno es cero y crece al crecer el ángulo, luego hay una pendiente positiva en ese punto, lo cual sólo es posible si su derivada es el coseno. De esa forma me bastaba con ideas generales. Creo que otros estudiantes seguían el método contrario, tratando de memorizar todas las fórmulas de forma exacta y si sus memorias les fallaban cometían errores que para ellos no eran detectables.

    Otro truco muy sencillo que funcionaba para verificar que no me había equivocado.
    Supongamos una función cualquiera para la que me pedían calcular la derivada en un punto x=x0. Ej: Derivada de f(x) = sin(x) / x en x=10 …
    Lo normal es calcular la derivada y evaluar en x=10 …
    Pero yo verificaba que no me había equivocado haciendo con la calculadora esto:
    [ sin(10.000001)/10.000001 – sin(10)/10 ] / 0.000001

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