Astroide, cardioide y demás -oides

La Geometría Plana es un mundo muy estudiado, pero no por ello deja de ser interesante. Sabemos una barbaridad de cosas sobre él, pero el hecho de que la cantidad de figuras que nos podemos encontrar al adentrarnos en este terreno sea tan grande y tan diversa hace que nunca pierda su interés.

Concretamente todo lo relacionado con las curvas planas no deja de darme sorpresas, de descubrirme pequeñas maravillas, de dejarme en ocasiones con la boca abierta admirando ciertos ejemplos concretos. Espero que durante esta entrada algunos de vosotros sintáis esta misma emoción, aunque sea mínimamente.

¿Recordáis la cicloide? Sí, la curva que da el camino más rápido de la que también hable el otro día en el post sobre Imaginary en el RAC. Es quizás el ejemplo más conocido y más característico de lo que podríamos llamar curvas generadas por movimiento. En concreto, la cicloide la genera un punto fijo de una circunferencia que rueda sin deslizamiento a lo largo de una recta. En este applet de GeoGebra podéis verlo. Moviendo el deslizador t se genera la cicloide, y moviendo el deslizador r podéis dibujar cicloides de distintos tamaños:

Basándose en este tipo de construcciones, tenemos dos grandes grupos de curvas: las hipocicloides y las epicicloides. Vamos a ver cómo se definen cada una de ellas y algunos ejemplos.

Hipocicloides

Las hipocicloides son curvas generadas por un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizar por la parte interna de otra circunferencia fija, de radio mayor que la primera. Se puede definir de forma paramétrica así:

\begin{matrix} x(t)=(R-r) \cos{(t)}+r \cos{\left (\frac{R-r}{r} \cdot t \right )} \\  y(t)=(R-r) \sin{(t)}-r \sin{\left (\frac{R-r}{r} \cdot t \right )} \end{matrix}

siendo R el radio de la circunferencia fija y r el de la circunferencia que gira.

Es interesante tener en cuenta la relación entre los radios de las dos circunferencias. Si tomamos k=R/r, las ecuaciones quedarían así:

\begin{matrix} x(t)=r(k-1) \cos{(t)}+r \cos{((k-1) t )} \\  y(t)=r(k-1) \sin{(t)}-r \sin{((k-1)t)} \end{matrix}

El valor de este k hace variar la hipocicloide que nos aparece. Si k es un número racional cuya fracción irreducible es p/q, la hipocicloide es una curva cerrada con p puntos singulares (donde no se puede definir una tangente), y si k es irracional, entonces la hipocicloide es una curva no cerrada que ocupa todo el espacio entre las circunferencias cuyos radios son R y R-2r. Aquí tenéis varios ejemplos, entre los que aparece el astroide (para k=4), figura que generó una pequeña polémica en los comentarios del problema de la semana pasada:

En este applet de GeoGebra podéis cambiar ese valor y ver cómo se generan varias hipocicloides con k natural (el ratio que aparece en el applet es 1/k):

En particular, un astroide se genera así:

Y aquí os dejo un applet donde vemos algunas hipocicloides para algunos valores racionales de k, que vosotros mismos podéis modificar:

Epicicloides

Las epicicloides son curvas generadas por un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizar por la parte externa de otra circunferencia, de radio mayor que la primera. Se puede definir de forma paramétrica así:

\begin{matrix} x(t)=(R+r) \cos{(t)}-r \cos{\left (\frac{R+r}{r} \cdot t \right )} \\  y(t)=(R+r) \sin{(t)}-r \sin{\left (\frac{R+r}{r} \cdot t \right )} \end{matrix}

siendo R el radio de la circunferencia fija y r el de la circunferencia que gira.

Igual que en el caso anterior, interesa tener en cuenta la relación entre los radios de las dos circunferencias. Si tomamos k=R/r, las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

\begin{matrix} x(t)=r(k+1) \cos{(t)}-r \cos{((k+1) t )} \\  y(t)=r(k+1) \sin{(t)}-r \sin{((k+1)t)} \end{matrix}

De forma análoga a lo que ocurre con la hipocicloide, el valor de k hace variar la epicicloide generada. Aquí tenéis algunos ejemplos, entre los que aparece el cardioide (para k=1):

En este applet de GeoGebra podéis cambiar ese valor y ver cómo se generan varias epicicloides:

En concreto, un cardioide se genera de la siguiente forma:

Y aquí os dejo un applet donde vemos algunas epicicloides para algunos valores racionales de k, que vosotros mismos podéis cambiar:


Llamativo esto de jugar con las hipocicloides y las epicicloides en los applets, ¿verdad? Pues quedan muchas cosas por explorar, tanto en lo que se refiere a las propiedades de estas figuras como en lo que tiene que ver con figuras nuevas, parecidas a éstas. En próximos posts veremos más cosas relacionadas con ellas.


Fuentes:

  • Curvas peligrosas (Elipses, parábolas y otras maravillas geométricas), de Josep Sales y Francesc Banyuls.
  • Hipocicloide en la Wikipedia en español.
  • Epicicloide en la Wikipedia en español.
  • El applet de GeoGebra de la cicloide lo he hecho yo. El resto los he tomado de esta web, , donde Manuel Sada tiene una grandísima cantidad de applets de GeoGebra de temáticas muy variadas. Muy recomendable.

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11 comentarios

  1. A.M. | 7 de noviembre de 2011 | 08:51

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    Como curiosidad, las epicicloides (con m=1) son el cuerpo principal de la figura de Mandelbrot (k=2), y su generalización z_{n+1}=z_n^k +c

  2. Trackback | 7 nov, 2011

    Bitacoras.com

  3. Cristhian Camacho | 7 de noviembre de 2011 | 18:57

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    Otro detalle curioso de este tipo de figuras son sus Evolutas (Evoluta: el lugar geométrico de los centros de curvatura),por ejemplo la Evoluta de una cicloide es otra cicloide trasladada, de un astroide es otro astroide solo que rotado y escalado lo propio para las Hipocicloides y para la Epicicloides, eso no pasa con otras figuras por ejemplo la evoluta de una parábola no es otra parábola, supongo que eso está relacionado con el hecho de que son figuras generadas por circunferencias que ruedan sin deslizamiento.

  4. Rafael Miranda Molina | 7 de noviembre de 2011 | 20:34

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    Estas curvas son muy interesantes, especialmente cuando la relación entre los radios no es racional. En tal caso, esta curva tiene una extensión infinita, porque el punto que describe el lugar geométrico, nunca volverá a pasar por el mismo punto de donde partió, y luego, la curva nunca se cierra. Es interesante preguntarse, por ejemplo: si la circunferencia menor tiene radio 3 y la mayor tiene radio 8,34; ¿Después de cuántas vueltas se cierra la curva?.

    Hace unos meses estuve viendo cómo ilustrar la complejidad que pueden llegar a tener estas curvas, para lo cual la herramienta de Lugar Geométrico y las trazas (o rastros) no son suficientes; y encontré que la mejor forma de graficarlas era utilizando estas ecuaciones paramétricas que mencionas. Recomiendo ese post en la siguiente dirección: http://www.geometriadinamica.cl/2010/08/cicloides-y-trocoides/

    Algo similar ocurre con la rosa polar (sobre la cual escribí otro post, que se vincula del anterior).

    Saludos desde Chile
    Rafael

  5. Pedro T. | 7 de noviembre de 2011 | 20:59

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    Definitivamente son muy interesantes estas curvas. ¡Me acuerdo de la nefroide cada vez que aparece dentro de mi taza de cafe!

    Les dejo un link con GeoGebra, interactivo, y muy bueno! http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/tr12nefroide.html

  6. sive | 7 de noviembre de 2011 | 23:42

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    Si el punto fijo de la circunferencia movil, no está (en general) sobre ella, sino interior o exterior, se obtienen hipotrocoides o epitrocoides, de las cuales son casos particulares las hipocicloides y epicicloides respectivamente.

    Cuando era un crío no era difícil encontrar espirógrafos de juguete, con los que me lo pasaba en grande dibujando hipotrocoides Más o menos como éste:

    Bicheando por la red me he encontrado algunos más complicados, con el punto fijo exterior a la circunferencia movil, por ejemplo.

  7. josé manuel | 8 de noviembre de 2011 | 00:58

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    una propiedad de las hipocicloides a tres cúspides es que las tangentes en los puntos donde una tangente vuelve a encontrar a la curva son perpendiculares y el punto de encuentro describe un circulo y recíprocamente. Si tres tangentes pasan por un mismo punto, las tangentes perpendiculares a estas formaran un triangulo con sus alturas las tres tangentes anteriores. También pasan por los puntos circulares al infinito. Muchas de las propiedades de este caso particular fueron descubiertas por Luigi Cremona, Jacok Steiner, Lemaire, entre otros.

  8. Trackback | 8 nov, 2011

    Astroide, cardioide y demás -oides

  9. tonibueno | 8 de noviembre de 2011 | 14:40

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    Aquí dejo un enlace al blog de Geometría de curvas y superficies de mi profesor en la UGR Joaquín Pérez donde las últimas entradas tienen que ver con esto y en los cuales he comentado.

    http://geometriaytopologia.blogspot.com/

  10. gaussianos | 8 de noviembre de 2011 | 20:26

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    Vaya, al final Joaquín se animó a lo del blog. Me alegro mucho :). Voy a echarle un vistazo.

    Por cierto, también fue profesor mío, en 1º de carrera :).

  11. Trackback | 17 nov, 2011

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