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Beal y la conjetura de los 100000 dólares

El último teorema de Fermat (UTF) dice lo siguiente:

Para n un número entero mayor que 2, no existen números enteros positivos x,y,z,n, con x,y,z sin factores comunes que sean solución de la ecuación

x^n+y^n=z^n

Es bien conocido el resultado, la frase del “margen demasiado estrecho” que Fermat dejó escrita en el Arithmetica de Diofanto y la historia de los intentos de resolución, hasta que en 1995 Andrew Wiles (con la ayuda de Richard Taylor) consiguió tan ansiada demostración.

Lo que quizás no es tan conocida es la historia de algunas conjeturas relacionadas con el UTF. Hoy vamos a hablar de una de ellas, denominada conjetura de Beal.

Imaginemos que en la expresión del UTF eliminamos la restricción de la igualdad del exponente en los tres términos. Es decir, dejamos libertad para los exponentes, pudiendo ser iguales o distintos, y en principio mayores que 1. Tendríamos una expresión así:

x^a+y^b=z^c, con a,b,c > 1

¿Habría soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno, esas eran esperables. ¿Hay más? Pues sí, por ejemplo

2^3+2^3=2^4 y 3^6+18^3=9^4

o

2^5+7^2=3^4 y 43^8 + 96222^3 = 30042907^2

Las dos primeras tienen la característica de que las bases de las tres potencias tienen algún factor común, mientras que las otras dos no cumplen esa propiedad. Eliminemos las que tienen bases con factor común y quedémonos con las demás. Aparte de las dos que aparecen aquí, ¿hay alguna más? Pues sí, se conocen algunas más, pero parece que no muchas.

Todas estas soluciones del segundo tipo que se conocen tienen una característica común: alguno de los exponentes es 2. No se conocen soluciones en las que todos los exponentes sean enteros mayores que 2. Y de aquí sale la conjetura, de la creencia de que no hay soluciones sin ningún 2 en algún exponente. Más concretamente, éste es el enunciado de la misma:

Conjetura de Beal

Dados x,y,z,a,b,c enteros positivos con a,b,c > 2, si la expresión

x^a+y^b=z^c

es cierta, entonces x,y,z tienen algún factor primo común.

Esto es, la ecuación anterior no tiene soluciones enteras si las bases no tienen factores comunes y los exponentes son todos mayores que 2.

Este enunciado recibe el nombre de conjetura de Beal porque fue Andrew Beal quien la formuló en 1997. Andrew Beal es un banquero de Dallas de unos 60 años al que le gustaban las matemáticas, y que era un apasionado del trabajo de Fermat, en particular del UTF. El caso es que parece ser que el bueno de Andrew se entretenía pensando en este problema (de hecho cree que Fermat tenía esa solución maravillosa, además de un método de resolución de la ecuación de Pell que sigue siendo desconocido en la actualidad), y en generalizaciones del mismo, hecho que hizo que esta conjetura apareciera por su cabeza.

El primer lugar donde esta conjetura apareció publicada fue en Notices of the American Mathematical Society en diciembre de 1997. Tan interesado estaba el señor Beal por saber si esta conjetura era cierta o falsa que ofreció una recompensa económica a quien pudiera demostrar este enunciado o a quien encontrara un contraejemplo del mismo. Dicha recompensa es actualmente de 100000$, y todavía está esperando a alguien merecedor de la misma. Para cobrar el premio, se debe enviar la posible demostración o el supuesto contraejemplo al comité de la conjetura, formado por Charles Fefferman, Ron Graham y R. Daniel Mauldin. Además, la posible demostración debe haber aparecido en alguna publicación matemática de prestigio y debe ser aceptada por la comunidad matemática, y el posible contraejemplo debe hacer sido verificado.

Así que ya sabéis, si os queréis sacar un sobresueldo bastante interesante no tenéis más que demostrar esta conjetura de Beal o encontrar un contraejemplo de la misma, pedir una revisión de vuestro trabajo y conseguir que aparezca en alguna publicación de prestigio. Con todo ello es posible que consiguierais el reconocimiento de la comunidad matemática y, como consecuencia, el suculento premio en metálico. Pero intentad que vuestro intento de demostración o propuesta de contraejemplo sea algo serio, no como algunas de las “demostraciones” que pueden verse en ciertos sitios de internet…

Fuentes y enlaces relacionados:

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Autor: ^DiAmOnD^  |  Publicado el 3 de mayo de 2012
Categorías: Números enteros, Números primos  |  Imprime este post Imprime este post

15 comentarios

  1. Trackback | 3 may, 2012

    Bitacoras.com

  2. Javier37 | 3 de mayo de 2012 | 14:11

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    Vaya que interesante!

  3. juantv | 3 de mayo de 2012 | 15:40

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    Error de tipeo en el UTF

  4. AsVHEn | 3 de mayo de 2012 | 15:53

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    Andrew Bell también es famoso (yo lo conocí por eso) por haber jugado contra los mejores jugadores de poker del mundo durante años. La historia dió como para un libro:
    http://en.wikipedia.org/wiki/The_Professor,_the_Banker,_and_the_Suicide_King

  5. César. | 3 de mayo de 2012 | 16:00

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    Disculpen las molestias, adoro este foro, pero desde mi humilde punto de vista, creo que hay un sigo de suma que debe ser sustituido por un sigono de igualdad en la primera expresión matemática del post, antes de la z. Muchas gracias.

  6. Gustavo | 3 de mayo de 2012 | 17:15

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    Tengo una solución maravillosa para la conjetura de Beal pero el espacio que hay en este formulario no alcanza para escribirla.

  7. limonminerva | 3 de mayo de 2012 | 19:37

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    jajaja q grande gustavo!!

  8. Cristian | 3 de mayo de 2012 | 23:43

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    Disculpen, también creo que hay un error tipográfico después de la segunda expresión, donde dice que n>1 creo que debería decir con a,b,c>1.

    Está muy interesante la conjetura, no la conocía. No parece que sea fácil encontrar un contraejemplo por lo mismo que mencionan en el texto (Sobre la dificultad de encontrar ternas que satisfagan la ecuación y que no sean éstas pitagóricas.). Muchas gracias, y un saludo! :)

  9. gaussianos | 4 de mayo de 2012 | 03:06

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    Ya están arregladas las erratas. Es lo que tiene escribir de madrugada, a veces se te pasa alguna cosa. Muchas gracias por avisar :) .

  10. Walton | 4 de mayo de 2012 | 09:48

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    Al menos podemos usar el teorema de fermat para resolver el problema, pero por medio del absurdo, formar igualdades y llegar a alguna contradicción.

  11. gaussianos | 5 de mayo de 2012 | 03:16

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    Adrian, tampoco lo pretendo, pero no estaría mal :D

  12. sive | 6 de mayo de 2012 | 16:48

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    Misterio misterioso, Diamond, aunque yo me he reído, lo confieso :P

    A lo mejor, cuando tenga más tiempo, intento encontrar un contraejemplo para la conjetura de Beal. No creo que una demostración positiva esté a mi alcance.

  13. gaussianos | 6 de mayo de 2012 | 17:22

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    Al principio también me resultó gracioso, pero todo tiene un límite.

    Suerte con esa búsqueda. Si encuentras algo no dudes en comunicárnoslo :) .

  14. gaussianos | 13 de mayo de 2012 | 14:58

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    Se terminó el asunto. He decidido borrar todos los comentarios relativos al asunto de nuesto querido troll, creo que ya ha sido suficiente.

  15. Den | 26 de mayo de 2012 | 21:59

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    Que opinan de esta “propiedad” =)
    2*5-3=7 2*5+3=13
    2*5*7-3=67 2*5*7+3=73
    2*3*7-5=37 2*3*7+5= 47
    7*5-2*3=29 7*5+2*3=41
    2*3*5-7=23 2*3*5+7=37
    7*3- 5*2=11 7*3 + 5*2 = 31
    7*3*5-2=103 7*3*5+2=107
    5*11-7*3*2=13 5*11+7*3*2=97
    5*11*7-3*2=379 5*11*7+3*2=391 (Que es compuesto) (es necesario aumentar nuestra factorial prima) para seguir obteniendo primos.
    Ahora generaré números primos más grandes.
    2*3*5*7*13*17-11= 46399 por el contrario 2*3*5*7*13*17+11= 46421, es compuesto /61,761
    2*3*5*7*13*17*19-11= 881779 (Es primo, no podemos hacerlo indefinidamente, llegaremos, a un número compuesto, sin embargo, sólo tenemos que cambiar el factor que resta hasta encontrar el siguiente primo)
    2*3*5*7*13*17*19*23-11= 20281159 es primo
    2*3*5*7*11*13*17*19*23*31-29=6915878941 es primo
    2*3*5*7*11*13*17*19*23*31+29=6915878999 es pseudoprimo /53,130488283
    Este es el número primo más grande que encontré siguiendo el procedimiento aquí descrito:

    1051263176683549799
    ¿Será primo el número? N=1*2*3*5*7…97 – 83
    ¿Cuántos dígitos tendría? Cerca de 50 dígitos aproximadamente.

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