Beal y la conjetura de los 100000 dólares (Actualizado el 7-6-2013)

Actualización (7-6-2013): El premio que se ofrece por dar respuesta a la conjetura de Beal ha aumentado a un millón de dólares. Más información al final de esta entrada.


El último teorema de Fermat (UTF) dice lo siguiente:

Para n un número entero mayor que 2, no existen números enteros positivos x,y,z,n, con x,y,z sin factores comunes que sean solución de la ecuación

x^n+y^n=z^n

Es bien conocido el resultado, la frase del “margen demasiado estrecho” que Fermat dejó escrita en el Arithmetica de Diofanto y la historia de los intentos de resolución, hasta que en 1995 Andrew Wiles (con la ayuda de Richard Taylor) consiguió tan ansiada demostración.

Lo que quizás no es tan conocida es la historia de algunas conjeturas relacionadas con el UTF. Hoy vamos a hablar de una de ellas, denominada conjetura de Beal.

Imaginemos que en la expresión del UTF eliminamos la restricción de la igualdad del exponente en los tres términos. Es decir, dejamos libertad para los exponentes, pudiendo ser iguales o distintos, y en principio mayores que 1. Tendríamos una expresión así:

x^a+y^b=z^c, con a,b,c > 1

¿Habría soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno, esas eran esperables. ¿Hay más? Pues sí, por ejemplo

2^3+2^3=2^4 y 3^6+18^3=9^4

o

2^5+7^2=3^4 y 43^8 + 96222^3 = 30042907^2

Las dos primeras tienen la característica de que las bases de las tres potencias tienen algún factor común, mientras que las otras dos no cumplen esa propiedad. Eliminemos las que tienen bases con factor común y quedémonos con las demás. Aparte de las dos que aparecen aquí, ¿hay alguna más? Pues sí, se conocen algunas más, pero parece que no muchas.

Todas estas soluciones del segundo tipo que se conocen tienen una característica común: alguno de los exponentes es 2. No se conocen soluciones en las que todos los exponentes sean enteros mayores que 2. Y de aquí sale la conjetura, de la creencia de que no hay soluciones sin ningún 2 en algún exponente. Más concretamente, éste es el enunciado de la misma:

Conjetura de Beal

Dados x,y,z,a,b,c enteros positivos con a,b,c > 2, si la expresión

x^a+y^b=z^c

es cierta, entonces x,y,z tienen algún factor primo común.

Esto es, la ecuación anterior no tiene soluciones enteras si las bases no tienen factores comunes y los exponentes son todos mayores que 2.

Este enunciado recibe el nombre de conjetura de Beal porque fue Andrew Beal quien la formuló en 1997. Andrew Beal es un banquero de Dallas de unos 60 años al que le gustaban las matemáticas, y que era un apasionado del trabajo de Fermat, en particular del UTF. El caso es que parece ser que el bueno de Andrew se entretenía pensando en este problema (de hecho cree que Fermat tenía esa solución maravillosa, además de un método de resolución de la ecuación de Pell que sigue siendo desconocido en la actualidad), y en generalizaciones del mismo, hecho que hizo que esta conjetura apareciera por su cabeza.

El primer lugar donde esta conjetura apareció publicada fue en Notices of the American Mathematical Society en diciembre de 1997. Tan interesado estaba el señor Beal por saber si esta conjetura era cierta o falsa que ofreció una recompensa económica a quien pudiera demostrar este enunciado o a quien encontrara un contraejemplo del mismo. Dicha recompensa es actualmente de 100000$, y todavía está esperando a alguien merecedor de la misma. Para cobrar el premio, se debe enviar la posible demostración o el supuesto contraejemplo al comité de la conjetura, formado por Charles Fefferman, Ron Graham y R. Daniel Mauldin. Además, la posible demostración debe haber aparecido en alguna publicación matemática de prestigio y debe ser aceptada por la comunidad matemática, y el posible contraejemplo debe hacer sido verificado.

Así que ya sabéis, si os queréis sacar un sobresueldo bastante interesante no tenéis más que demostrar esta conjetura de Beal o encontrar un contraejemplo de la misma, pedir una revisión de vuestro trabajo y conseguir que aparezca en alguna publicación de prestigio. Con todo ello es posible que consiguierais el reconocimiento de la comunidad matemática y, como consecuencia, el suculento premio en metálico. Pero intentad que vuestro intento de demostración o propuesta de contraejemplo sea algo serio, no como algunas de las “demostraciones” que pueden verse en ciertos sitios de internet…


Fuentes y enlaces relacionados:


Actualización (7-6-2013): Aumenta el premio que ofrece Andrew Beal por resolver la conjetura que lleva su nombre: de los 100000$ que se ofrecían hasta ahora se pasa a 1000000$, una subida más que considerable que coloca a la conjetura de Beal a la altura de los problemas del milenio en lo que a premio se refiere. Tenéis toda la información sobre este premio en Beal Prize en la web de la American Mathematical Society (AMS) y de la subida del premio en esta nota de prensa en la misma web de la AMS.

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56 comentarios

  1. Trackback | 3 may, 2012

    Bitacoras.com

  2. Javier37 | 3 de mayo de 2012 | 14:11

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    Vaya que interesante!

  3. juantv | 3 de mayo de 2012 | 15:40

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    Error de tipeo en el UTF

  4. AsVHEn | 3 de mayo de 2012 | 15:53

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    Andrew Bell también es famoso (yo lo conocí por eso) por haber jugado contra los mejores jugadores de poker del mundo durante años. La historia dió como para un libro:
    http://en.wikipedia.org/wiki/The_Professor,_the_Banker,_and_the_Suicide_King

  5. César. | 3 de mayo de 2012 | 16:00

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    Disculpen las molestias, adoro este foro, pero desde mi humilde punto de vista, creo que hay un sigo de suma que debe ser sustituido por un sigono de igualdad en la primera expresión matemática del post, antes de la z. Muchas gracias.

  6. Gustavo | 3 de mayo de 2012 | 17:15

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    Tengo una solución maravillosa para la conjetura de Beal pero el espacio que hay en este formulario no alcanza para escribirla.

  7. limonminerva | 3 de mayo de 2012 | 19:37

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    jajaja q grande gustavo!!

  8. Cristian | 3 de mayo de 2012 | 23:43

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    Disculpen, también creo que hay un error tipográfico después de la segunda expresión, donde dice que n>1 creo que debería decir con a,b,c>1.

    Está muy interesante la conjetura, no la conocía. No parece que sea fácil encontrar un contraejemplo por lo mismo que mencionan en el texto (Sobre la dificultad de encontrar ternas que satisfagan la ecuación y que no sean éstas pitagóricas.). Muchas gracias, y un saludo! :)

  9. gaussianos | 4 de mayo de 2012 | 03:06

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    Ya están arregladas las erratas. Es lo que tiene escribir de madrugada, a veces se te pasa alguna cosa. Muchas gracias por avisar :).

  10. Walton | 4 de mayo de 2012 | 09:48

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    Al menos podemos usar el teorema de fermat para resolver el problema, pero por medio del absurdo, formar igualdades y llegar a alguna contradicción.

  11. gaussianos | 5 de mayo de 2012 | 03:16

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    Adrian, tampoco lo pretendo, pero no estaría mal :D

  12. sive | 6 de mayo de 2012 | 16:48

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    Misterio misterioso, Diamond, aunque yo me he reído, lo confieso :P

    A lo mejor, cuando tenga más tiempo, intento encontrar un contraejemplo para la conjetura de Beal. No creo que una demostración positiva esté a mi alcance.

  13. gaussianos | 6 de mayo de 2012 | 17:22

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    Al principio también me resultó gracioso, pero todo tiene un límite.

    Suerte con esa búsqueda. Si encuentras algo no dudes en comunicárnoslo :).

  14. gaussianos | 13 de mayo de 2012 | 14:58

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    Se terminó el asunto. He decidido borrar todos los comentarios relativos al asunto de nuesto querido troll, creo que ya ha sido suficiente.

  15. Den | 26 de mayo de 2012 | 21:59

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    Que opinan de esta “propiedad” =)
    2*5-3=7 2*5+3=13
    2*5*7-3=67 2*5*7+3=73
    2*3*7-5=37 2*3*7+5= 47
    7*5-2*3=29 7*5+2*3=41
    2*3*5-7=23 2*3*5+7=37
    7*3- 5*2=11 7*3 + 5*2 = 31
    7*3*5-2=103 7*3*5+2=107
    5*11-7*3*2=13 5*11+7*3*2=97
    5*11*7-3*2=379 5*11*7+3*2=391 (Que es compuesto) (es necesario aumentar nuestra factorial prima) para seguir obteniendo primos.
    Ahora generaré números primos más grandes.
    2*3*5*7*13*17-11= 46399 por el contrario 2*3*5*7*13*17+11= 46421, es compuesto /61,761
    2*3*5*7*13*17*19-11= 881779 (Es primo, no podemos hacerlo indefinidamente, llegaremos, a un número compuesto, sin embargo, sólo tenemos que cambiar el factor que resta hasta encontrar el siguiente primo)
    2*3*5*7*13*17*19*23-11= 20281159 es primo
    2*3*5*7*11*13*17*19*23*31-29=6915878941 es primo
    2*3*5*7*11*13*17*19*23*31+29=6915878999 es pseudoprimo /53,130488283
    Este es el número primo más grande que encontré siguiendo el procedimiento aquí descrito:

    1051263176683549799
    ¿Será primo el número? N=1*2*3*5*7…97 – 83
    ¿Cuántos dígitos tendría? Cerca de 50 dígitos aproximadamente.

  16. JJGJJG | 7 de junio de 2013 | 23:38

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    Den, el número 1*2*3*5*7…97-83 es igual a 27777927276452029213892796955804207 y solo tiene 35 dígitos. Lamentablemente es compuesto pues es igual a 36787 x 755101728231495615676537824661

  17. fantasy tantan,tantan,tantan | 8 de junio de 2013 | 19:15

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    esto de resolverlo para el premio es dificil yo ya lo resolvi pero como lo voy a enviar

  18. alejandro tovar | 10 de junio de 2013 | 22:17

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    yo digo que es asi

    2 potenciado al 4 + 3 potenciado al 2 = 5 potenciado al 2

    16 + 9 = 25
    quien sabe

  19. gaussianos | 11 de junio de 2013 | 03:06

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    alejandro tovar, los exponentes deben ser todos mayores que 2, y en tu ejemplo hay dos que son exactamente 2.

  20. Santiago | 20 de junio de 2013 | 04:14

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    Consulta:

    1- ¿Todos los números deben ser enteros positivos mayores a 2? ¿Tanto bases como exponentes? ¿o solo los exponentes?

    2- ¿los 6 números que componen la ecuación deben ser obligatoriamente diferentes entre si? ¿o pueden repetirse?

    Gracias, un saludo.

  21. gaussianos | 22 de junio de 2013 | 17:21

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    Santiago, si te fijas en el enunciado de la conjetura solamente es obligatorio que sean mayores que dos los exponentes (las bases deben ser enteros positivos), y no pone nada de que todos deben ser distintos entre sí.

  22. Santiago | 22 de junio de 2013 | 23:50

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    Hola, gracias por la pronta respuesta. Es verdad, no pone nada, pero al ver que todas las letras son distintas, hace pensar eso. Saludos

  23. Santiago | 23 de junio de 2013 | 00:46

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    Buenas, aca de nuevo, ya encontré una demostración, no puede ser tan sencillo, hace años que nadie encuentra respuesta, y uno en un ratito sin saber mucho de matemáticas puede resolverlo… no me cierra. En la demostración que conseguí hay bases repetidas y exponentes repetidos, vuelvo a preguntar: ¿es posible resolverlo repitiendo números?

    Todos los exponentes son mayores a 2 y las bases son enteros positivos, eso sí está respetado en la demostración que encontré. Gracias, saludos.

  24. gaussianos | 23 de junio de 2013 | 18:55

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    ¿Y las bases no tienen factores comunes? Porque si es así has encontrado un contraejemplo. Aunque me parece poco probable, la verdad.

  25. Santiago | 23 de junio de 2013 | 19:26

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    Hola, las bases si tienen factor común, pero al parecer con un ejemplo de este tipo no se demuestra nada, una “demostración” de las tantas que encontré, dice así: 3 a la 3 + 6 a la 3 = 3 a la 5 que sería 27 + 216 = 243. La igualdad es correcta, y se respeta todo el enunciado, pero como dije eso no demuestra nada. Según leí en otros lados, se debe llegar a una respuesta de Verdadero o Falso. Para llegar a Falso hay que encontrar un contra ejemplo (que no tengan factor común), y para demostrar que es Verdadero no sé cómo sería ¿alguien puede decir cómo se hace para demostrar que una conjetura es Verdadera? Gracias, saludos.

  26. gaussianos | 23 de junio de 2013 | 19:59

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    Santiago, exacto, con esos valores no demuestras nada.

    Para demostrar que la conjetura es cierta debes desarrollar un argumento matemático con el que se concluya que toda solución debe cumplir que las bases tienen un factor común.

  27. Santiago | 23 de junio de 2013 | 20:04

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    Ok, puedes darme algún ejemplo de argumento de otra conjetura resuelta, para ver en sí cómo se desarrolla? algún link o algo similar? Gracias, saludos.

  28. gaussianos | 23 de junio de 2013 | 20:07

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    Lo que me pides es muy complicado. Hay que estar familiarizado con los métodos de demostración matemática, además de tener conocimientos muy avanzados en muchas ramas, teoría de números principalmente. Si no tienes todos esos conceptos me da que te será imposible.

  29. Santiago | 23 de junio de 2013 | 20:26

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    Ok, comprendo, me dejé llevar por la inocencia :) Gracias de todos modos, un abrazo.

  30. victor | 26 de junio de 2013 | 16:46

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    yo tengo la solución… quiero mi millón, como se los hago llegar?

  31. gaussianos | 27 de junio de 2013 | 18:01

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    victor, aunque dudo que tengas la solución, en el post hay enlaces donde explica cómo hay que hacer llegar el tema a los responsables para que valoren si todo está correcto.

  32. Santiago | 28 de junio de 2013 | 00:55

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    La conjetura es Verdadera, aunque todavía no pueda explicarlo con exactitud, encontré un patrón que está encaminado a hacerlo. Beal realizó esta conjetura luego de trabajar en un programa informático, el cual obviamente está desarrollado en lenguaje binario. Esto es una gran pista desde mi parecer. Si alguien puede ayudarme estaría encantado en mostrarle un patrón simple que al parecer nadie ve. Un abrazo.

  33. gaussianos | 28 de junio de 2013 | 04:24

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    Santiago, puedes utilizar los comentarios de esta entrada para mostrar ese patrón.

  34. Santiago | 28 de junio de 2013 | 05:04

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    Si existe la posibilidad de ayuda, me gustaría trabajar conjuntamente en privado, esto es posible? No soy matemático, tengo los conocimientos básicos de primaria y secundaria, sólo utilizo intuición, visión, lógica y sentido común.

  35. gaussianos | 28 de junio de 2013 | 15:01

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    Santiago, puedes enviarme tus ideas a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

  36. Santiago | 28 de junio de 2013 | 16:53

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    Dale genial, por la tarde envío un breve desarrollo, gracias, un abrazo.

  37. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 29 de agosto de 2013 | 04:46

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    he demostrado la conjetura de Beal ayer 27-08-2013, es cierta, soy de Lima-Perú.

  38. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 6 de septiembre de 2013 | 00:14

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    He hecho un estudio de la conjetura y cumple para ciertos casos y para otros no, digamos que no es 100% cierta.

  39. gaussianos | 6 de septiembre de 2013 | 00:54

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    Nilton, da un caso concreto en el que no se cumpla la conjetura.

  40. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 6 de septiembre de 2013 | 02:39

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    Prefiero el dicho: calla y trabaja.

    Saludos

  41. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 7 de septiembre de 2013 | 17:01

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    ¿Si la conjetura no se cumple para todos los casos seria falsa? es posible hallar contraejemplos pero el problema sería que los números serían grandes.

  42. gaussianos | 8 de septiembre de 2013 | 19:46

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    Sí, si la conjetura no se cumple para todos los casos entonces sería falsa.

    Que los números fueran grandes no sería ningún problema. La clave de esta cuestión es si alguien es capaz de dar un contraejemplo explícito (o probar que existe alguno) o de demostrar que no existe tal contraejemplo. Eso sería resolver la conjetura.

  43. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 9 de septiembre de 2013 | 00:14

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    les doy una ayudadita, el factor común no siempre es primo.

  44. gaussianos | 9 de septiembre de 2013 | 04:17

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    Vamos, que no tienes ese contraejemplo…

  45. JJGJJG | 9 de septiembre de 2013 | 10:47

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    Si tienen en común un factor compuesto es que tienen en común un factor primo. De hecho tienen más de uno. Y para que la conjetura sea falsa no deben tener NINGUNO.

  46. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 9 de septiembre de 2013 | 17:22

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    No tengo un contraejemplo y claro el factor común si es compuesto viene de la multiplicación de numeros primos.

  47. gaussianos | 9 de septiembre de 2013 | 17:35

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    Nilton, en comentarios anteriores has dicho que “has demostrado la conjetura”, después que “se cumple para unos casos y para otro no” y luego que “es posible hallar contraejemplos”, y ahora dices que no tienes ese contraejemplo. Viendo que no tienes nada te podías haber ahorrado los comentarios anteriores.

  48. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 9 de septiembre de 2013 | 23:42

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    Solo quiero decir que la conjetura cumple para ciertos casos, halle esos casos, pero no cumple para todos los casos posibles, espero pronto dar a conocer mis estudios, esa es mi conclusión.

  49. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 9 de septiembre de 2013 | 23:44

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    lo podrán ver en: http://www.arxiv.org prontamente.

  50. Nilton Raúl Olivares Ramírez | 10 de septiembre de 2013 | 00:48

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    les avisaré el nombre para que lo busquen en arxiv.

  51. gaussianos | 10 de septiembre de 2013 | 02:50

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    Nilton, estoy deseando ver ese trabajo tuyo en arXiv…

  52. NICE1978 | 11 de septiembre de 2013 | 02:18

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    entonces no has demostrado nada , la conjetura cumple , no existe contraejemplo alguno ,

  53. NICE1978 | 11 de septiembre de 2013 | 05:26

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    no quiere decir que los exponentes queden libres de ser iguales o diferentes , la expresion es unica e indica que los exponentes son distintos entre si y las bases tambien , no deben confundir el enunciado, ademas los exponentes deben ser mayores o iguales que 3 ……..

  54. NICE1978 | 11 de septiembre de 2013 | 05:27

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    y que las bases deben tener un factor comun primo entre si para que la igualdad se cumpla o exista…

  55. NICE1978 | 15 de septiembre de 2013 | 01:33

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    es imposible hallar un contraejemplo , de hecho no existe contraejemplo cuyas bases no tengan factor comun primo y que los exponentes sean mayores que 2 , lo que se da es que los numeros pueden ser compuestos y primos, y deben tener algo en comun ,un Factor Pirmo………
    lo que determinado es que si tenemos una igualdad con sus respectivos exponentes , habran caso en que las bases no tienen ninguna relacion de fatores primos , pero siempre habra el factor cuadratico; y estoy trabajando en eso.

  56. aldo daniel gallardo muñoz | 10 de mayo de 2014 | 20:28

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    la conjetura de bela o problema de mac ganagan es mas dificil de lo que postean por aqui, llevo ya casi 8 meses trabajando en el, y es realmente muy dificil, existe un grado muy alto de complejidad, de hecho no creo que con las matematicas actuales se pueda resolver, se deben desarrollar nuevas herramientas o conocimientos matematicos para resolver esta conjetura

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