Benoit Mandelbrot, el matemático que amplió el concepto de geometría

Benoit Mandelbrot, matemático polaco, falleció, como comentábamos el otro día, el pasado 14 de octubre, aunque hasta el día 16 no nos enteramos de esta triste noticia. Mandelbrot es, como a mí me gusta decir, el último grande, una de las pocas personas que ha sido capaces de crear una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal, con gran interés tanto por la teoría como por las aplicaciones de los resultados obtenidos.

Benoti Mandelbrot

Notas biográficas

Benoit Mandelbrot nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 dentro de una familia con cierta tradición académica (aunque su padre se ganaba la vida con la compra-venta de ropa). Fueron dos tíos suyos quienes se encargaron de introducir a Mandelbrot en el mundo de las matemáticas. Uno de ellos, Szolem Mandelbrojt, se encargó de su educación cuando la familia Mandelbrot emigró a Francia en 1936.

El hecho de que Mandelbrot estudiara en la época de la Primera Guerra Mundial, entre otras cosas, provocó que su educación no fuera convencional. El propio Mandelbrot atribuye gran parte de su éxito matemático a esta educación poco convencional, ya que ello le permitió pensar de forma distinta a la que se le suele inculcar a quien sigue la educación habitual. Su gran visión e intuición geométrica también contribuyeron a ello.

Después de estudiar en Lyon y permanecer un día en la École Normale de París, Mandelbrot comenzó sus estudios en la École Polytechnique en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy, quien también ejerció gran influencia en él. Más adelante se doctoró en la Universidad de París y viajó a Estados Unidos, donde, entre otras cosas, fue el último estudiante de postdoctorado de John Von Neumann. Echando un ojo a los mentores de Mandelbrot podemos ver que la lista no tiene desperdicio, si uno era bueno el siguiente era mejor.

A lo largo de su vida fue profesor en la Universidad de Harvard y en la Universidad de Yale (donde terminó su carrera), entre otras instituciones. Pero posiblemente fue su trabajo en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de Nueva York lo que más le ayudó en sus estudios, ya que allí le brindaron libertad total en sus investigaciones.

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

Benoit Mandelbrot es el padre de la denominada Geometría Fractal, una nueva rama de la geometría que podemos decir que estudia los objetos tal como son. Mandelbrot pensó que las cosas en la realidad no son tan perfectas como las muestra la geometría euclídea: las esferas no son realmente esferas, las líneas no son perfectamente rectas, las superficies no son uniformes… Ello le llevó a estudiar estas imperfecciones, derivando estos estudios en la creación de esta nueva rama de la geometría.

Las primeras ideas sobre fractales de Mandelbrot fueron publicadas en la revista Science en 1967 a través de su artículo ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? En él da ciertas evidencias empíricas de que la longitud de una línea geográfica (como por ejemplo, la costa de Gran Bretaña) depende de la regla con la que la midamos. En líneas generales, la costa tendrá mayor longitud cuanto menor sea la unidad de medida utilizada, esto es, cuanto más cerca estemos mirando a la costa mayor longitud tendrá.

También habla de ciertas curvas autosemejantes, es decir, curvas que son semejantes a una parte de ellas mismas. Por ejemplo, las propias costas son un ejemplo de ello (no un ejemplo exacto, pero sí lo suficientemente aproximado como para comprender de qué estamos hablando), ya que la estructura quebradiza de las mismas hace que si vemos una porción de costa y después hacemos zoom en esa zona, lo que vemos en ese momento tiene una forma semejante a la primera porción que observamos.

El caso es que este tipo de objetos se salían de la concepción euclídea de la geometría. Es posible que por ello Mandelbrot buscara un nuevo término para designarlo: fractal (del latín fractus: quebrado, fracturado), que acuñó en 1975. Aunque ha habido diversos debates sobre cómo definirlo de forma clara y concisa, podemos decir que un fractal es precisamente eso, un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Y tanto se salen estos objetos autosemejantes de la geometría euclídea que generalmente tienen dimensiones no enteras. Por poner un ejemplo, una línea recta tiene dimensión 1 y un plano tiene dimensión 2, pero la costa occidental de Gran Bretaña tiene, aproximadamente, dimensión 1,25.

Mandelbrot publicó más tarde The Fractal Geometry of Nature, donde amplió y actualizó sus ideas sobre los fractales. La manera apasionada de escritura y el gran énfasis en la intuición visual y geométrica que impregnaba a esta publicación hizo que terminara por popularizarse tanto entre los estudiosos del tema como entre el público en general. El hecho de que Mandelbrot apoyara sus ideas con gráficos e ilustraciones también contribuyó a ello.

El conjunto de Mandelbrot

Es interesante comentar que fue su tío Szolem quien, posiblemente sin querer, le indujo a introducirse en el mundo fractal mostrándole unos estudios de Gaston Julia sobre 1945. En su momento a Mandelbrot ni siquiera le gustaron, pero más adelante se volvió a encontrar con ellos y comenzó sus estudios sobre el conocido como conjunto de Julia, y también del actualmente denominado conjunto de Mandelbrot.

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Mandelbrot


Este conjunto es, en líneas generales, el conjunto de puntos para los cuales cierta operación matemática da siempre resultados menores que un cierto valor. Más concretamente:

Un número complejo z_0 (un punto del plano, vamos) está en el conjunto de Mandelbrot si la sucesión de puntos siguiente

\begin{matrix} z_0 \\ z_1=z_0^2+z_0 \\ z_2=z_1^2+z_0 \\ \ldots \\ z_{n+1}=z_n^2+z_0 \end{matrix}

está acotada, es decir, si esta sucesión no tiende a infinito (esto es, el valor de sus términos tiene un “tope” que ninguno de ellos sobrepasa).

Si esta sucesión de puntos no está acotada, o lo que es lo mismo, sus valores crecen y crecen indefinidamente, el punto no está en el conjunto.

Los puntos del conjunto de Mandelbrot son los que aparecen en negro en la imagen anterior. Los que no pertenecen al conjunto no tienen por qué representarse, aunque lo que le da ese tremendo juego a este conjunto es representar con colores la velocidad con la que la sucesión anterior se acerca a infinito, como aparece también en la imagen. Los puntos para los que su sucesión crece muy rápido están representados en color rojo intenso. El rojo va tornándose más suave conforme la velocidad de crecimiento es menor. Los puntos muy cercanos al conjunto (en blanco) son puntos para los que ha hecho falta calcular muchísimos valores de la sucesión asociada para ver que no está acotada. Este juego de colores provoca que al hacer zoom en el conjunto, las imágenes que se crean sean de una belleza inusitada (¿fórmulas matemáticas creando obras de arte? Que raro…¿o no?). Además, este zoom hace que nos demos cuenta de esa autosemejanza de la que hablábamos hace un rato, ya que al acercarnos vemos que el propio conjunto contiene copias exactas de si mismo.

Para comprobar estos dos apuntes os recomiendo ver este vídeo. Es algo largo (10 minutos), pero os aseguro que merece mucho la pena. Mucho cuidado con él, no os vayáis a marear:

Y para terminar, os quiero enseñar un par de imágenes que ilustran a la perfección el amor que mucha gente le tiene a esta disciplina (la geometría fractal) y en particular a este interesantísimo conjunto:

El conjunto de Mandelbrot en…un campo

Conjunto de Mandelbrot en un campo

El conjunto de Mandelbrot en…una espalda

Conjunto de Mandelbrot en una espalda

Fuentes:


Este post sirve también como aportación personal a la VII Edición del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión organiza El Máquina de Turing.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Como siempre un excelente post. Información muy interesante de un grande de las matemáticas. Solo una pequeña corrección en el segundo párrafo de las notas biográficas, dice, Primera Guerra Mundial pero debería ser Segunda Guerra Mundial.

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  2. @Imanol Pérez:
    Si te fijas, si fuera según dices, siempre divergería la sucesión, excepto para el origen de coordenadas. Es necesario elevar al cuadrado para restar algo (el cuadrado de la parte imaginaria) que nos “devuelva” adentro.

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  3. “fractal (del latín fractus: quebrado, fracturado)”
    Tengo entendido que la palabra “fractal” fue introducida, no tanto por esa asociación (las formas ‘fracturadas’) sino porque los objetos en cuestión resultan tener (muchas veces) una “dimensión fraccionaria” (no entera, en rigor).

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  4. Me gustan este tipo de post, a modo de tributo. Es bonito pensar que muchas personas valoramos, admiramos, envidiamos y agradecemos el trabajo de estas personas (aunque no sean Bisbal…).

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  5. Es realmente impresionante.

    Me encanta porque es una de las pocas maravillas matemáticas “estéticamente” bellas. Quiero decir, el binomio de Newton es sorprendente desde la lógica, pero no es, digamos, un deleite para los ojos. Esto sí lo es.

    Va una pregunta: el perímetro formado por el Conjunto de Mandelbrot es infinito, ¿no?
    Y ya que estamos: ¿podría calcularse la “superficie”?

    Saludos.

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  6. Xavier, cierto, lo cambio ahora mismo.

    hernan, hay fractales con dimensión entera, por lo que no tengo muy claro que sea por eso. Aunque bueno, también podría ser, me valen las dos opciones :).

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  7. @Lautaro, tu pregunta es ambigüa, por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot está acotado (wikipedia), por tanto su superfície está acotada (por tanto finita), sin embargo, contiene infinitos puntos.

    Igual te refieres a la longitud de su perímetro. El conjunto de Mandelbrot es compacto, conexo y su complementario conexo también, así, parece que la longitud del perímetro debería estar acotada, pero visualmente parece que no lo está, ¿alquien sabe de alguna prueba?.

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  8. Pues vaya, casi daba por hecho que el conjunto no era medible (que esté acotado no implica esto último), pero según MathWorld hay una fórmula cerrada para el área en términos de una serie (que converge tan extremadamente lento que se necesitan 10^{118} término para obtener dos cifras significativas!).

    http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html

    El perímetro parece ser infinito, pero habrá que buscar referencias.

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  9. Y 10^{1181} para llegar a la tercera cifra significativa…casi nada :O

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  10. El que una superfície esté acotada implica que su área es finita, que es a lo que yo me refería en respuesta a Lautaro.

    Otra cosa es que, sabiendo que es finita, podamos obtener su valor exacto, y no siempre se va a poder calcular (que es a lo que “creo” se refiere M).

    Para ser más específicos habría que indicar a qué medida nos referimos (porque con unas u otras podremos medir unas cosas u otras), aunque parece claro que M se refiere a la de Lebesgue (la “típica”) y en tal caso hay conjuntos no medibles (tienen tamaño finito pero no se puede establecer cual es).

    Sorprendentemente, sí puede determinarse (con total exactitud) la superfície del fractal Mandelbrot (con la fórmula que indica M).

    M sugiere que el perímetro es infinito. Supongo que por algo parecido al fractal de Koch, en éste, se ve fácilmente que el perímetro es infinito (y no sólo todo el perímetro, sino que cualquier abierto que se tome del perímetro, tiene también longitud infinita). Aunque yo en el de Mandelbrot no soy capaz de imaginarlo (no “veo” el perímetro).

    Un ejemplo de conjunto no medible (y acotado) la tienes aquí.

    A mí también me sorprendió la primera vez que los ví, curiosamente en cálculo de probabilidades (que está fuertemente relacionada con la teoría de la medida) y la integral de lebesgue.

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  11. josejuan, lo que quise decir es que hay conjuntos acotados a los que no se le puede asignar medida (de Lebesgue), precisamente por el ejemplo en \mathbb{R} que pones en el pdf. Es decir, que por la misma razón se podrán construir conjuntos (en \mathbb{R}^2) acotados que no tienen área. No es que se distinga entre finita e infinita, sino que el área, como función de conjuntos, no está definida en ellos.

    Por cierto, que en el pdf se hace uso del axioma de elección justo después del sexto punto y no se menciona. El axioma de elección es clave para la construcción de tales conjuntos.

    Con respecto a lo del perímetro infinito del conjunto de Mandelbrot, lo comentaba porque lo había visto por ahí en google, pero sin una fuente 100% fiable, y por eso decía que habría que buscar referencias.

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  12. “…No es que se distinga entre finita e infinita, sino que el área, como función de conjuntos, no está definida en ellos…”

    Si nos ceñimos a “función de conjuntos” creo entenderlo, por lo ya dicho, que la medida de Lebesgue no es suficientemente “fina” como para poder tomar la medida (y por tanto no está definida, bla, bla), pero en el sentido “físico” de superfície (si se me permite la imprecisión) no logro ver cómo si sabemos que:

    1. toda la superfície está conectada (el conjunto es conexo).
    2. la superfície está acotada (por un subconjunto mayor con superfície finita).
    3. el “concepto” de superfície (perdón) cumple la propiedad triangular.
    4. el conjunto en cuestión tiene “algo” de superfície (tómese un disco en que todos los puntos pertenezcan al conjunto).

    no vamos a poder afirmar (informalmente, claro, no hay ninguna prueba formal) que la superfície del fractal (que desde luego la tiene) es y es finita (aun cuando el sentido concreto de área del fractal de Mandelbrot no estviera definido formalmente [como sabemos que ya está]).

    No se, igual estoy interpretando mal tu comentario y diciendo alguna obviedad…

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  13. Bueno, josejuan, hasta este post no me había planteado la medibilidad del conjunto de Mandelbrot, y mi primera impresión viendo la “frontera” de este “monstruo” fue que probablemente no fuera medible (pongo frontera entre comillas pues ni me había preguntado si el conjunto era cerrado o no). Ignorante de mí, efectivamente, siendo un conjunto cerrado y acotado con interior no vacío queda justificado que el conjunto es medible Lebesgue con medida finita y positiva.

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  14. Argh… me dejas con la miel en los labios.

    Problema (perdónense las posibles imprecisiones):

    “Sea A un conjunto de puntos en R2 cuya superfície es no medible Lebesgue tal que el disco cerrado unidad es interior a A y tal que A es interior al disco cerrado de radio 2.

    La superfície de A es no medible Lebesgue por definición, ahora bien:

    1. ¿puede afirmarse que tiene superfície?
    2. en caso afirmativo ¿puede afirmarse que dicha superfície [no definida] está comprendida entre \pi y 4\pi ?

    Dicho de otra forma, en el sentido matemático de la medida de Lebesgue, no hay ningún número real (ni imaginario ni nada) finito o infinito que se identifique con la superfície de un conjunto “no medible”. Pero aun así, tanto nuestra intuición como otras herramientas matemáticas (acotación) permiten “encerrar” esa indefinición en un intervalo mucho más estrecho que la “completa indefinición”. Es como en \lim_{x\rightarrow \infty }\sin x, que sabemos que no está definido, pero que “sea lo que sea” está entre -1 y 1. ¿no?

    Llegamos a que podemos acotar entre dos números reales un número no definido… ¿cual es la forma correcta de interpretar dicho resultado?, ¿es incorrecto pensar que la superfície de dicho conjunto A está entre \pi y 4\pi ?

    O debemos conformarnos con un: “no está definido, por tanto no tiene sentido y punto”.

    Gracias.

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  15. no sé, definamos la función de dirichlet y traslademos una unidad verticalmente hacia arriba
    f(x) = 2 si x es racional y f(x)=1 si x es irracional. la integral de f(x) en cualquier intervalo no existe, sin embargo, el área de la recgión encerrada entre x=a, x=b, y = f(x) e y= 0 está acotada entre (b-a) y 2(b-a).
    Claro está que f no es continua en una cantidad intinita de puntos

    la curva que delimita el conjunto de mandelbrot es continua?? derivable??

    qué bueno se pone esto…

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  16. no me quedo claro cual fue su aporte a la biologia o no lo vi :/

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